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【同步测控】2015-2016学年高中数学 1.5 二项式定理课件 北师大版选修2-3

§5 二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质,会用二项式定理的知识解决系数、 系数和、项、常数项、整除等相关问题. 0 n 1 n-1 n-r r n 1.(a+b)n=C a +C a b+…+C a b +…+C b. 这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n 的二项展开 式,(a+b)n 的二项展开式有 n+1 项,其中各项的系数C 称为二项式系 n-r r 数,C a b 称为二项展开式的第 r+1 项,又称为二项式通项. 【做一做 1】 设 P=1+5(x+1)+10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4+(x+1)5,则 P 等于( A.x5 ) B.(x+2)5 C.(x-1)5 D.(x+1)5 0 1 2 解析:P=C5 ·15·(x+1)0+C5 ·14·(x+1)1+C5 ·13·(x+1)2+ 5 3 4 C5 ·12·(x+1)3+C5 ·1·(x+1)4+C5 ·10·(x+1)5 =(1+x+1)5 =(x+2)5. 答案:B 2.在二项式定理中,如果设 a=1,b=x,则得到公 1 2 2 r 式:(1+x)n=1+C x+C x +…+C x +…+xn. 10 1 2 【做一做 2】 1+C10 + C10 +…+C10 = . 10 1 2 解析:在(1+x)10 的二项展开式中令 x=1,得 1+C10 + C10 +…+C10 =210=1 024. 答案:1 024 3.当 n 依次取 1,2,3,…时,(a+b)n 展开式的二项式系数如下图所示: 图中所示的表叫作二项式系数表,它有这样的规律:(1)表中每行两端都 是 1,而且除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和,即 C +1 = C + C ;(2)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 C = C - -1 . 【做一做 3-1 】 答) 答案:-20 为 1 6 的展开式中的常数项是 .(用数字作 【做一做 3-2 】 在(x-a) 的展开式中,x 的系数是 120,则实数 a 的值 . 答案:-1 10 7 1.应用二项式通项可以解决哪些问题? 剖析:二项式通项主要用于求满足条件的项或系数,求展开式的某一项 或系数. n-r r (1)运用二项式通项 Tr+1=C a b 解题,一般都需先转化为方程(组) 求出 n,r,然后代入通项求解. (2)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出 r,再求所需的 某项;有时需先求 n,计算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系. n 0 (3)在(a+b)n 展开式中令 a=b=1,得 C + C1 +…+C =2 ; 0 2 3 令 a=1,b=-1 得 C ? C1 + C ? C +…=0, n-1 0 2 4 3 5 故C + C + C +…=C1 + C + C +…= 2 .这种由一般到特殊的方法 是“赋值法 ”.当然也可根据题目自身的特点,对 a, b 赋予其他的值,以达到解 决问题的目的. 2.二项式系数的性质有哪些? 剖析:(1)如果 n 是偶数,则中间一项 第 + 1 项 的二项式系数最大;如 果 n 为奇数,则中间两项 第 大. 0 (2)所有二项式系数的和等于 2 ,即C + C1 +…+C =2 . n n 2 +1 +1 项与 + 2 2 1 项 的二项式系数相等并且最 (3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等,即 n-1 0 2 3 C + C +…=C1 + C +…=2 . 题型一 题型二 题型三 题型一 11 求二项式系数与项的系数问题 【例 1】 写出(x-y) 的展开式中 : (1)通项 Tr+1; (2)二项式系数最大的项 ; (3)系数绝对值最大的项 ; (4)系数最大的项; (5)系数最小的项; (6)二项式系数的和 ; (7)各项的系数的和. 分析:本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同 ,有 的仅差一负号.因此,系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最 小的项来解决.二项式系数的和可利用和为 2n 这一性质求解; 各项系数的和 可利用二项式定理或赋值法求解. 题型一 题型二 题型三 11-r r 解:(1)Tr+1=(-1)r·C11 x y. 5 6 5 6 5 6 (2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项 T6=-C11 x y ,T7=C11 xy. (3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项,因此,系 5 6 5 6 5 6 数绝对值最大的项也是中间两项 T6=-C11 x y ,T7=C11 xy. 6 (4)由(3)知,系数最大的项是 T7=C11 xy. 5 6 题型一 题型二 题型三 5 (5)由(3)知,系数最小的项是 T6=-C11 xy. 6 5 0 1 2 11 (6)展开式中,二项式系数的和为 C11 + C11 + C11 +…+C11 =211. 0 1 2 (7)展开式中,各项系数的和为 C11 ? C11 + C11 ? 3 11 C11 +…+(-1) C11 =(1-1) =0 =0. 11 11 11 本题是关于二项式系数的性质的应用的典型示例.此题起点较低,却 包含了各种题型,在学习中应予以重视. 题型一 题型二 题型三 题型二 求展开式中的有理项 【例 2】 求( ? 3 ) 展开式中的有理项. 1 1 27- 9 分析:展开式中的有理项就是通项公式中 x 的指数为整数的项. 9-r r r 解:∵ Tr+1=C9 ·( 2) ·(- 3) =(-1) ·C9 · 6

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