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2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(数学文)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试· 湖北卷(数学文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1.(2014·湖北高考文科·T1)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则 A= ( A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}

)

C.{2,4,7} D.{2,5,7} 2.(2014·湖北高考文科·T2)i 为虚数单位, A.1 B.-1 C.i D.-i 3.(2014·湖北高考文科·T3)命题“? x∈R,x2≠x”的否定是 ( A.? x? R,x2≠x C.? x? R,x2≠x B.? x∈R,x2=x D.? x∈R,x2=x 则 2x+y 的最大值是 ) = ( )

4.(2014 · 湖北高考文科 · T4) 若变量 x,y 满足约束条件 ( )

A.2 B.4 C.7 D.8 5.(2014·湖北高考文科·T5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概 率记为 p1,点数之和大于 5 的概率记为 p2,点数之和为偶数的概率记为 p3,则 A.p1<p2<p3 C.p1<p3<p2 B.p2<p1<p3 D.p3<p1<p2 ( )

6.(2014·湖北高考文科·T6)根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0

得到的回归方程为 A.a>0,b<0 C.a<0,b<0

=bx+a,则

(

)

B.a>0,b>0 D.a<0,b>0

7.(2014·湖北高考文科·T7)在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标 分别是 (0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2). 给出编号为① ,② ,③ ,④的四个图 ,则该四面体的正视图和 俯视图分别为 ( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 8.(2014·湖北高考文科·T8)设 a,b 是关于 t 的方程 t2cosθ+tsinθ=0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 A.0 B.1 C.2 D.3 9.(2014·湖北高考文科·T9)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为 A.{1,3} C.{2B.{-3,-1,1,3} ,1,3} D.{-2,1,3} ( ) =1 的公共点的个数为 ( )

10.(2014·湖北高考文科·T10)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出 土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也. 又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似 公式 V≈ L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么,近似公式 V≈ L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A. B. C. D. ( )

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

11.(2014·湖北高考文科·T11)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的 方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙 设备生产的产品总数为 件. =(1,-3),| |=| |, · =0,则| |= . ,

12.(2014· 湖北高考文科· T12)若向量

13.(2014· 湖北高考文科· T13)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a=1,b= 则 B= .

14.(2014·湖北高考文科·T14)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 9, 则输出 S 的值为 .

15.(2014·湖北高考文科·T15)如图所示,函数 y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.

若? x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数 a 的取值范围为

.

16.(2014· 湖北高考文科· T16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位 时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位: 米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= .

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为

辆/小时. 辆/小时.

(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加

17.(2014·湖北高考文科·T13)已知圆 O:x2+y2=1 和点 A(-2,0),若定点 B(b,0)(b≠-2)和常数λ满 足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=λ|MA|,则 (1)b= (2)λ= . .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满 足函数关系: f(t)=10cos t-sin t,t∈[0,24).

(1)求实验室这一天上午 8 时的温度. (2)求实验室这一天的最大温差. 19.(2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若 不存在,说明理由. 20.(2014 · 湖北高考文科 · T13) 如图 , 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,E,F,P,Q,M,N 分别是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1 的中点.求证:

(1)直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)直线 AC1⊥平面 PQMN. 21.(2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分 14 分)π为圆周率,e=2.71828?为自然对数的底数. (1)求函数 f(x)= 的单调区间. (2)求 e3,3e,eπ,πe,3π,π3 这 6 个数中的最大数与最小数. 22.(2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0) 的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程. (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1).求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三 个公共点时 k 的相应取值范围. 参考答案

1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.B 11.1800 12.2

13. 或 14.1067 15. 16. (1)1900 (2)100 17. (1)(2) cos -sin

18.【解析】(1)f(8)=10=10=10cos -sin × - =10.

故实验室上午 8 时的温度为 10℃. (2)因为 f(t)=10-2 =10-2sin 又 0≤t<24, 所以 ≤ t+ < ,-1≤sin 当 t=2 时,sin 当 t=14 时,sin =1; =-1. ≤1. ,

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. 19.【解析】(1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0, 解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)·4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.

(2)当 an=2 时,Sn=2n. 显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. 当 an=4n-2 时,Sn= =2n2.

令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n. 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41. 20.【解析】(1)连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,知 AD1∥BC1, 因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP? 平面 EFPQ,且 BC1? 平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)连接 AC,BD,则 AC⊥BD.

由 CC1⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C, 所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1? 平面 ACC1,

所以 BD⊥AC1. 因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点, 所以 MN∥BD,从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN=N,所以直线 AC1⊥平面 PQMN. 21.【解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 因为 f(x)= , 所以 f'(x)= .

当 f'(x)>0,即 0<x<e 时,函数 f(x)单调递增. 当 f'(x)<0,即 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (2)因为 e<3<π,所以 eln3<elnπ,πlne<πln3, 即 ln3e<lnπe,lneπ<ln3π. 于是根据函数 y=lnx,y=ex,y=πx 在定义域上单调递增,可得 3e<πe<π3,e3<eπ<3π. 故这 6 个数的最大数在π3 与 3π之中,最小数在 3e 与 e3 之中. 由 e<3<π及(1)的结论,得 f(π)<f(3)<f(e), 即 由 < < . < ,得 lnπ3<ln3π,

所以 3π>π3; 由 < ,得 ln3e<lne3, 所以 3e<e3. 综上,6 个数中的最大数是 3π,最小数是 3e.

22.【解析】(1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1, 即 =|x|+1,

化简整理得 y2=2(|x|+x). 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2= (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.①

①当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ②当 k≠0 时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=(ⅰ)若 .③ .

由②③解得 k<-1,或 k> . ∪{0}时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点,

即当 k∈(-∞,-1)∪

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. (ⅱ)若 即当 k∈ 当 k∈ 故当 k∈ (ⅲ)若 即当 k∈ 或 由②③解得 k∈ ,或- ≤k<0.

时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ∪ 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.

由②③解得-1<k<- ,或 0<k< . ∪ 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点,

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 综合(1)(2)可知,当 k∈(-∞,-1)∪ ∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点;当 k∈ ∪ ∪

时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k∈ 三个公共点.

时,直线 l 与轨迹 C 恰好有


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