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内蒙古巴彦淖尔一中2018_2019学年高二数学上学期期中试题理

巴市一中 2018-2019 学年度上学期高二期中考试卷 高二数学(理科)试卷(A)
第I卷 一、选择题(每小题只有一个正确选项,每题 5 分,共 60 分) 1.若方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? k ? 0 表示一个圆,则 k 的取值范围是( A. k ? )

1 2

B. k ?

1 1 C. 0 ? k ? 2 2

D. k ?

1 2

2.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴为 4,短轴为 2,则该椭圆的离心率为() a 2 b2
B.

A.

3 2

5 2

C.

3

D.

5

3.已知双曲线的方程为

y2 x2 ? ? 1 ,则下列关于双曲线说法正确的是( 4 9



A. 虚轴长为 4

B. 焦距为 2 5

C. 离心率为
2

13 3
2

D. 渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0

4.双曲线 4 x ? y ? 16 ? 0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1 ,则点 P 到另一个焦点 的距离等于( A. 3 B. 5 ) C. 7 D. 9 与椭圆 交于 两点,则

5.设椭圆 C : 的值是( A. 2

x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 ,直线 4


B.

C. 4

D. 的焦点

6.已知椭圆 的对称轴与两条坐标轴重合,且长轴长的短轴长的 倍,抛物线 与椭圆 的一个顶点重合,则椭圆 的标准方程为( ) .

x2 x2 y2 2 ? y ? 1 B. ? ?1 A. 4 4 16
C.

x2 y 2 y2 x2 y2 x2 ? ? 1或 ? x 2 ? 1 D. ? y2 ? 1 或 ? ?1 16 4 4 4 4 16
1

7 .在平面直角坐标系 x?y 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为

x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为()
A. 5 B.

5 C. 3 D. 2 2
是椭圆两个焦点,若 , ,则椭圆

8.已知 是椭圆上一定点, 离心率为( A. ) B. 3 ? 1

3 ?1 2

C. 2 ? 3

D. 1 ?

3 2

9.抛物线 A. ?

上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 B. ?

17 16

15 16

C.

17 16

D.

15 16


10. 过抛物线 中点,且 A. 5 ,则线段 B. 6 C.

的焦点 的直线交抛物线于点 、 , 交其准线于点 , 若点 是 的长为( D. )

16 3

20 3

11.设 A, B 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 P 满足 ?APB ? 120? , 4 k
? ? 4 ? 2 ? ???12, ?? ? ? B. ? 0, ??? 6, ?? ? 3 ? ? 3 ?
? ? 4 ??? 6, ?? ? ? 3 ?

则 k 的取值范围是()A. ? 0,

C. ? 0,

? ?

2 ???12, ?? ? ? 3 ?

D. ? 0,

12.在平面直角坐标系

中,点 为椭圆 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的下顶点, , 在椭 a 2 b2
的倾斜角,若 ? ? ?

圆上,若四边形 心率的取值范围为( A. ? 0,

为平行四边形, 为直线 )

?? ? ? , ? ,则椭圆 的离 ?6 4?

? ? ?

6? ? 3 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

? 6 3? 3? , ? C. ? ? 2 ? ? 3 2 ?

D. ?

? 6 2 2? , ? 3 ? ? 3

高二数学(理科)试卷(A)第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

2

13.以 y ? ? x 为渐近线且经过点 ? 2, 0 ? 的双曲线方程为__________. 14.已知抛物线 15 . 设 为 抛 物 线 __________. 16.已知点 分别是双曲线 : 的焦点与圆 的圆心重合,则 m 的值是_____________.

的 焦 点 , 过 且 倾 斜 角 为 45? 的 直 线 交 于 , 两 点 , 则

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右两焦点,过点 的直线与 a 2 b2

双曲线的左右两支分别交于

两点,若 ?PQF2 是以 ?PQF 2 为顶角的等腰三角形,其中

?? ? ?PQF2 ? ? , ? ? ,则双曲线离心率 的取值范围为______. ?3 ?
三、解答题(共 70 分) 17.已知圆 的圆心为 (1)求圆 的标准方程; (2)若直线过点 ,且被圆 所截得弦长为 ,求直线的方程. ,直线 与圆 相切.

18.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 a 2 b2

,长轴长为 .

(1)求椭圆 的标准方程; (2)直线 与椭圆 交于 A,B 两点.若 , 求 的值.

x2 y 2 ? ? 1 有公共的焦点,且离心率为 3 . 19.已知双曲线 C 和椭圆 4 1
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程. (Ⅱ)经过点 M ? 2,1? 作直线 l 交双曲线 C 于 A , B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的 方程. 20 .已知曲线 上的任意一点 到点 ,且与 交于 (1)求曲线 的方程; (2)若 为 中点,求三角形
2

的距离与到直线

的距离相等,直线过点

两点.

的面积.

21.已知抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0? 过点 ? 2,1? ,直线 l 过点 P ? 0, ?1? 与抛物线 C 交于 A ,

3

B 两点.点 A 关于 y 轴的对称点为 A? ,连接 A? B .
(1)求抛物线线 C 的标准方程; (2)问直线 A? B 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

22.设椭圆 C : 为 (2, 0) .

x2 ? y 2 ? 1的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点,点 M 的坐标 2

(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明: ?OMA ? ?OMB .

4

高二数学(理科)试卷(A)参考答案 一、选择题 二、填空题 13. 1-6 DADDCD 7-12 ABBCAA

x2 y 2 ? ? 1 14. 15. 16. 4 4

三、解答题 17.(1) .(2) 到直线 ,半径 . ; 的距离为 , 或 .

详解: (1)由题意得圆心

.所以圆的圆心为 ∴圆的标准方程为

(2)①当直线的斜率存在时,设直线方程为 即 又由题意得 ∴直线的方程为 ,∴圆心到直线的距离为 ,解得 . ,满足条件. . .∴ . ,解得 .

②当的斜率不存在时,可得直线方程为 综上可得直线的方程为 18. (1) ; (2) 或

【详解】 (1)∵椭圆 ∴ , ,∴

的焦距为 ,∴椭圆 C 的标准方程为 ,将直线 AB 的方程为

,长轴长为 , . 代入椭圆方程得 ①.

(2)设

, 则 又 由 OA⊥OB,知 将①代入,得 19.(Ⅰ) x ?
2

, .



,又∵满足

,∴



y2 ? 1 (Ⅱ) y ? 4 x ? 7 2

5

试题解析: (I)由题意得椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F ? 3, 0 , F2 ?3,0? , 4 1

?

?

设双曲线方程为 ∵e ?
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 c 2 ? a 2 ? b2 ? 3 , a 2 b2

c ? 3 ∴ c ? 3a ,∴ c 2 ? 3a 2 ? 3 ,解得 a 2 ? 1 , a
2

y2 ∴ b ? 2 ,∴双曲线方程为 x ? ? 1. 2
(II) 由题意知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ?1 ? k ? x ? 2? , 即 y ? k ? x ? 2? ? 1 。

y ? k ? x ? 2? ? 1
由{

y2 x ? ?1 2
2
2 2

消去 x 整理得

? 2 ? k ? x ? ? ?2 k ? 4 k ? x ? 4 k ? 4 k
2

2

?3? 0,

∵直线 l 与双曲线交于 A , B 两点, ∴{

2 ? k2 ? 0 ? ? ?2k ? 4k 2
2

?

?

2

? 4 2 ? k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 3 ? 0

?

??

?



解得 k ? 2 。设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ?

4k 2 ? 2k 4k 2 ? 2k AB ,又 为 的中点∴ ? 4, M 2,1 ? ? k2 ? 2 k2 ? 2

解得 k ? 4 .满足条件。∴直线 l的方程为y ? 4 ? x ? 2? ?1 ,即 y ? 4 x ? 7 . 20. (1) ; (2) . ,由抛物线定义可知,曲线是以点 . , 中点,所以 ,所以直线的斜率为 为焦点,

试题解析: (1)设曲线上任意一点 直线 (2)设 所以 ,所以直线方程为 与轴交点,则 ,由 消去得

为准线的抛物线,所以曲线的方程为 , ,则 , ,因为 为 ,即

,此时直线与抛物线相交于两点.设 为 ,所以 , ,

6

所以三角形

的面积为

.

21.(1) x2 ? 4 y ;(2)答案见解析. 解析:(1)将点 ? 2,1? 代入抛物线 C : x 2 ? 2 py 的方程得,

p ? 2 .所以,抛物线 C 的标准方程为 x2 ? 4 y .
(2) 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? 1 , 又 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 A? ? ?x1, y1 ? . 由

1 2 x , 2 2 { 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 . 则 ? ? 16k ? 16 ? 0 , x1 ? x2 ? 4 , x1 ? x2 ? 4k . 所以 4 y ? kx ? 1, y?
2 x2 x12 ? y ?y x ?x ? 2 1 ? 4 4 ? 2 1. x2 ? ? ? x1 ? x1 ? x2 4
2 x2 x ?x ? 2 1 ? x ? x2 ? . 4 4

k A?B

于是直线 A? B 的方程为 y ?

所以 y ?

2 x2 ? x1 x2 x ?x x ? x ? ? 2 1 x ?1 . ? 2? 4 4 4

当 x ? 0 时, y ? 1 ,所以直线 A? B 过定点 ? 0,1? . 22. 解: (1) 由已知得 F (1, 0) , l 的方程为 x=1.由已知可得, 点 A 的坐标为 (1,

2 2 ) 或 (1, ? ). 2 2

所以 AM 的方程为 y ? ?

2 2 x? 2 或 y ? x? 2 . 2 2

(2)当 l 与 x 轴重合时, ?OMA ? ?OMB ? 0? . 当 l 与 x 轴垂直时,OM 为 AB 的垂直平分线,所以 ?OMA ? ?OMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? 2, x2 ? 2 ,直线 MA,MB 的斜率之和为 kMA ? kMB ?

y1 y ? 2 .由 x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? kx1 ? k , y2 ? kx2 ? k 得
kMA ? kMB ?

x2 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? y 2 ? 1得 .将 y ? k ( x ? 1) 代入 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
7

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .
所以, x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 4k 3 ? 4k ? 12k 3 ? 8k 3 ? 4k ? 0. 2k 2 ? 1

则 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ?

从而 kMA ? kMB ? 0 ,故 MA,MB 的倾斜角互补,所以 ?OMA ? ?OMB . 综上, ?OMA ? ?OMB .

8


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