当前位置:首页 >> >>

2015-2016高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2

2.3.1

直线与平面垂直的判定

栏 目 链 接

1.掌握直线与平面垂直的定义及判定定理,能灵 活应用判定定理证明直线和平面垂直.

2.知道直线与平面所成角的概念,并会求简单的 角.

典 例 精 析

栏 目 链 接

题型一

直线和平面垂直的判定定理

例1 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的 平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为N.求 证:AN⊥平面PBM.
栏 目 链 接

分析:要证线面垂直,根据线面垂直的判定定理需证 线线垂直,已知AN⊥PM,只需在平面PBM中再找一 条与PM不平行的直线与AN垂直即可.

证明:设圆O所在的平面为α, ∵PA⊥α,且BM?α,∴PA⊥BM.

又∵AB为⊙O的直径,点M为圆周上一点,
∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A, ∴BM⊥平面PAM,而AN?平面PAM, ∴BM⊥AN. ∴AN与PM,BM两条相交直线互相垂直.
栏 目 链 接

故AN⊥平面PBM.
点评:判定定理需要五个条件,缺一不可,判定定 理实质是把证线面垂直转化为证线线垂直问题来处 理.

?跟踪训练 1.如图,在三棱锥PABC中,已知PA⊥平面 ABC,BC⊥AB,求证:BC⊥平面PAB. 证明:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴PA⊥BC. 又∵BC⊥AB,
栏 目 链 接

PA?平面PAB,AB?平面PAB,
PA∩AB=A, ∴BC⊥平面PAB.

题型二

求直线与平面所成的角

例2 如图,在四棱锥PABCD中,底面为直角梯 形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD, 且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB 的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值.

栏 目 链 接

(1)证明:∵N是PB的中点,PA=AB,
∴AN⊥PB. ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥AD. 又BA⊥AD,PA∩BA=A,
栏 目 链 接

∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB.
又∵AD∩AN=A,从而PB⊥平面ADMN. ∵DM?平面ADMN, ∴PB⊥DM.

(2)解析:如图,取 AD 的中点 G,连接 BG,NG,则 BG∥CD. ∴BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等. ∵PB⊥平面 ADMN, ∴∠BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt△BGN 中,sin∠BGN= BN 10 = . BG 5
栏 目 链 接

10 故 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值为 . 5 点评:求斜线与平面所成的角要注意:一作,二证,三求三个步骤.

2.已知:如图,MA⊥平面 ABC,Rt△BMC 中,斜边 BM=5, ∠MBC=60°,AB=4,求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值. 解析:∵MA⊥平面 ABC, ∴AC 为 MC 在平面 CAB 内的射影. ∴∠MCA 为直线 MC 与平面 CAB 所成的角. 又∵在 Rt△MBC 中,BM=5,∠MBC=60°, 3 5 3 ∴MC=BMsin∠MBC=5×sin 60°=5× = , 2 2 在 Rt△MAB 中,MA= MB2-AB2= 52-42=3, MA 3 2 3 在 Rt△MAC 中,sin∠MCA= = = . MC 5 3 5 2 2 3 ∴MC 与平面 CAB 所成角的正弦值为 . 5
栏 目 链 接

题型三 直线和平面垂直的应用 例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M, N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2.
栏 目 链 接

(1)证明:BC⊥平面AMN.
(2)求三棱锥NAMC的体积. (3)在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面 ACE?若存在,求出PE的长;若不存在,说明理 由.

(1)证明:因为 ABCD 是菱形,所以 AB=BC. 又∠ABC=60°,所以 AB=BC=AC, 又 M 为 BC 中点,所以 BC⊥AM. 而 PA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,所以 PA⊥BC. 又 PA∩AM=A,所以 BC⊥平面 AMN. 1 1 3 (2)解析:因为 S△AMC= AM· CM= × 3×1= . 2 2 2 又 PA⊥底面 ABCD,PA=2,所以 AN=1. 所以,三棱锥 NAMC 的体积 1 1 3 3 V= S△ AMC· AN= × ×1= . 3 3 2 6
栏 目 链 接

(3)解析:存在. 如图,取 PD 中点 E,连接 NE,EC,AE, 因为 N,E 分别为 PA,PD 中点,所以 NE 1 又在菱形 ABCD 中,CM AD, 2 所以 NE MC,即 MCEN 是平行四边形, 所以 NM∥EC, 又 EC?平面 ACE,NM?平面 ACE, 所以 MN∥平面 ACE, 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE, 1 此时 PE= PD= 2. 2 1 AD, 2

栏 目 链 接

点评:证明线面垂直的首选方法是线面垂直的判定定理, 栏 而有关几何体体积的计算往往要用到高,而高与面的垂 目 链 线有关,灵活确定底与高是求体积的关键. 接

?跟踪训练 3.已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面为菱形,且∠C1CB=∠C1CD= ∠BCD=60°. (1)证明:C1C⊥BD; CD (2)当 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?并证明这个结论. CC1
栏 目 链 接

证明:(1)连接 A1C1, AC,AC 与 BD 交于点 O,连接 C1O, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD,BC=CD, 又∵∠C1CB=∠C1CD, C1C 为公共边, ∴△C1BC≌△C1DC, ∴C1B=C1D. 又∵DO= OB, ∴C1O⊥BD, 又∵AC⊥BD,AC∩ C1O= O, ∴BD⊥平面 AC1C,
栏 目 链 接

又∵C1C?平面 AC1C, ∴C1C⊥BD. CD (2)当 =1 时,能使 A1C⊥平面 C1BD,证明如下:由(1)知, CC1 BD⊥平面 AC1C. ∵A1C?平面 AC1C, ∴BD⊥A1C. CD 当 =1 时,四棱柱的六个面全都是菱形,同 BD⊥A1C 的证 CC1 法可得 BC1⊥A1C. 又∵BD∩BC1=B, ∴A1C⊥平面 C1BD.
栏 目 链 接


更多相关标签: