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导数与微分_图文

第三章

导数与微分

2017年8月8日星期二

学 习 目 标
(1)了解导数概念的某些实际背景;掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概 念。 (2)熟记函数C、xn(其中n为有理数),sinx,cosx, ex,ax,lnx,logax的导数公式;掌握两个函数四则运算 的求导法则和复合函数的求导法则,会求简单的初等 函数的导数。 (3)掌握微分的概念,理解函数在一点处的微分是函 数增量的线性近似值,会求简单的初等函数的微分。 (4)会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的 关系;掌握函数极值的定义,了解可微函数的极值点 的必要条件和充分条件;会求一些实际问题的最大值 与最小值。

内 容 提 要
导数的概念及其意义

求导数的方法

微分的概念及其意义

导数的应用

函数y=f(x)的导数 f ?( x ) ,就是当 △x→0时函数的增量△y与自变量的增量 ?y 在某个区间内可导时,如果 1.当函数y=f(x) △x的比 的极限,即 ? x f) ?? (x )x? f ?( x ) ? 0, ? 则f(x)为增函数;如果 ?y f ( x ? ?x f( ) 0, f ( x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 1.常用的导数公式如下: 则f(x)为减函数。 n n?1 ? (x x ) ? nx (n ? Q); C ? ? 0(函数 C为常数) y=f(x)在点 处的导数的几何意义, 0 2.设函数 f(x) 在x0附近有定义,如果对 x0附近所 就是曲线 y=f(x) 在点P(x0,f(x ) )处的切线 0 (sin x )? ? cos x; (cos x )? ? ? sin x 有的点,都有 的斜率 x x x 物体位移函数 (a )? ? a ln a s( t> )对于时间 t 的导数, f(x) f(x ) ) (e )?< ?f(x e x0) , (或f(x) 0 就是物体运动的速度。 函数 y=f(x) 的微分是 1 我们就说 f(x 的一个极大值(或极小 1 0)是函数f(x) ? (log x ) ? loga e. (ln x)? ? dy ? f ?( x )dx a x 值)。 x 可导函数 f(x) 在极值点处的导数为 0。 2.导数的运算法则: 函数的增量△ y 可以用 y的微分近似表示,即 如果函数f(x)在点x0处连续,且在点 x ? ? u?v ? uv ?0处两侧 uv ) ? y ? (f (u ?? vy )? ? ? dy u? 或 ? v? ?( x )dx 的导数异号,那么点x0是函数 f(x) 的极值点。 ? u f(x)在 u?[a,b] v ? uv 3.函数 上的最大值与最小值的求法: ( )? ? (1 )求f(x)在 v v 2(a,b)内的极值; ? ? y? ?y ? u比较,其 (2)将f(x)的各极值与 , x f(a) u f(b) x 3.复合函数的导数: 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。

应注意的几个问题
1.在运动问题中,求出的速度v为正,表示正向运 动;v为负,表示反向运动。 2. 函数f(x)在极值点x0处不一定可导。如图:
y y

x0

x

x0

x

3.在开区间内连续的函数不一定有最大值或最小值。
4.直线与曲线相切,直线与切线的公共点可能不止 一个。

参 考 例 题
例1.求曲线 y ? 5 x 上与直线y=2x-4平行的切线方程 。 解:设所求切线过曲线 y ? 5 x 上的x0点,由 y ? 5 x 得
y ? | x ? x0 ? 5 2 x0

因为所求切线与直线y=2x-4平行,而直线y=2x-4 的斜率是2,所以
5 2 x0 ?2

25 x0 ? 16

25 y0 ? 4
25 25 y? ? 2( x ? ), 4 16

因此,所求切线方程为 即 16x-8y+25=0

例2.如图,两个工厂A、B相距0.6km, 变电站C距A、B都是0.5km计划铺设 动力线,先由C沿AB的垂线至D,再 与A、B相连,D点选在何处时,动力 A 线最短? 解:设CD⊥AB,垂足为E,DE的长为xkm. 由AB=0.6,AC=BC=0.5,得 AE=EB=0.3,

C D E B

CE ? (0.5) 2 ? (0.3) 2 ? 0.4,CD=0.4-x
动力线总长
2

AD ? BD ? x 2 ? (0.3) 2

l ? 2 x 2 ? (0.3) 2 ? 0.4 ? x
2

2 ? ? 令 l ? [2 x ? (0.3) ? 0.4 ? x ] ? ? 2
2

2x x ? 0.09
2

?1 ?

2 x ? x 2 ? 0.09 x ? 0.09
2

?0

即 2 x ? x ? 0.09 ? 0, 求得唯一的极值点

3 x? ? 0.17 10

答:D点选在距AB 0.17km处时,动力线最短。

做 练 习
f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1. 若 f ?( x 0 ) ? 2, 则 lim 等于 k ?0 2k 1 A. - 1 B. - 2 C. 1 D. 2

(A)

2.

函数y ? a 的导数是
A. a -x B. -a -x ln a C. a -x ln a

?x

( B)
D. a x ln a

3.

f ?( x ) ? 0是可导函数 f ( x )单调递增的

( B)

A.必要不充分条件 C.充分且必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 若f ( x ) ? a sin x ? 1 sin 3 x在x ? ? 处有极值,那么 a ( ? A)
3 3
A. 2 B. 1 C. 2 3 3 D. 0

5.下列结论:
①极值点所对应的曲线上的点如果有切线,则一定是水平的; ②任何二次函数有唯一的极值点; ③任何三次函数有两个极值点; ④函数f(x)在[a,b]上的最大值就是函数f(x)在[a,b]上的最大 的极大值 其中正确的是 ( A)

A. ①②

B. ②③

C. ③④

D. ①④

布置作业
第145页 复习参考题A组13、14、15题

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