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2012届高三第一轮复习数学课件(新人教B版):第10编 8独立性检验与回归分析_图文

学案8 独立性检验与回归分析

考纲解读 考向预测 填填知学情
? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点1

课内考点突破
规律探究

考点2

考 纲 解 读
回归分析 了解回归分析的思想、方法及其简单应用

独立性检验 了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.

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考 向 预 测
2012年高考,试题难度仍以中低档题为主,有可能在选 择、填空题中考查.

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名师伴你行

1、卡方(χ2)
B
A A 合计 n11 n21 n+1

B
n12 n22 n+2

合计
n1+ n2+ n

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名师伴你行

表中n+1=n11+n21,n+2=n12+n22, n 1+ =n11+n12,n2+=

n21+n22,n=n11+n12+n21+n22,χ2=

n(n 11n 22 - n12n 21 ) n1 + n 2 + n +1n + 2

2

.

用它的大小可以决定 是否拒绝原来的统计假设H0 .如 果算出的χ2值 较大 ,就拒绝H0,也就是拒绝“事件A 与B无关”,从而就认为它们是有关的. 2、两个临界值:3.841与6.635 经过对χ2统计量分布的研究,已经得到了两个临界 3.841与6.635 .当根据具体的数据算出的 值: χ2>3.841 时,有95%的把握说事件A与B有关;当 χ2>6.635 时,有99%的把握说事件A与B有关;当 χ2≤3.841 时,认为事件A与B是无关的. 返回目录

名师伴你行

3、a与回归系数b的确定
n n i

(x ∑ ? b=
i =1 n

- x )(y i - y ) =
i

x ∑y
i i =1 n

i

- n xy ? , a = y - b x.
2

(x ∑
i =1

- x)

2

x ∑
i =1 n

2
i

-n x

相关系数 r =

x ∑y
i i =1 n 2
i

i

- n xy
n 2
i

( ∑ - n x )( ∑ - n y ) x y
i =1 i =1

2

2

|r|≤1,并且|r|越接近1 r具有以下性质: ,线性 相关程度越强;|r|越接近0, 线性相关程度越弱 . 返回目录

名师伴你行

4、相关检验的步骤
1.作统计假设:x与Y不具有线性相关关系. 2.根据小概率0.05与n-2在附表中查出r的一个临界值r0.05. 3.根据样本相关系数计算公式计算出r的值. 4.作统计推断.如果|r|>r0.05,表明有95%的把握认为x与 Y之间具有线性相关关系. 如果|r|≤r0.05,我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻求回 归直线方程是毫无意义的.

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考点1 相关与无关的判定

每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土 的抗压强度Y(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:
X 150
Y
56.9

160
58.3

170 180 190 200 210 220 230 240 250 260
61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7

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(1)对变量Y与x进行相关性检验; (2)如果Y与x之间具有线性相关关系,求回归直 线方程. 【分析】 求回归直线方程和相关系数, 通常用计 算器来完成.在有的较专门的计算器中,可通过直接按 键得出回归直线方程的系数和相关系数 .而如果用一般

的科学计算器进行计算 ,则要先列出相应的表格 ,有
了表格中的相关数据 ,回归方程中的系数和相关系数 都容易求出. 返回目录

【解析】(1)由题目中的数据得如下表格:

i xi yi x iy i i xi yi x iy i

1
150 56.9

2
160 58.3

3
170 61.6

4
180 64.6

5
190 68.1

6
200 71.3

8535
7 210 74.1 15561

9328
8 220 77.4 17028

10472
9 230 80.2 18446

11628
10 240 82.6 19824

12939
11 250 86.4 21600

14260
12 260 89.7 23322

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x = 205, y = 72.6
12 12 2 i

x ∑
i =1

= 518 600,

∑y
i =1

2 i

= 54 572.94,

12

x ∑
i =1

i

y i = 182 943

r=

182943 - 12 × 205 × 72.6 (518600 - 12 × 205 )( 54572.4 - 12 × 72.6 )
2 2

≈ .999 0

查得r0.05=0.576, 因r>r0.05,说明变量Y与x之间具有线性相关关系. 返回目录

(2) b =

182943 - 12 × 205 × 72.6 518600 - 12 × 205
2

≈ .304 0

a=y-bx=10.28.
? 于是所求的线性回归方程是: y =0.304x+10.28.

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为了进行相关性检验,通常将有关数据列成表格, 然后借助于计算器算出各个量,为求回归直线方

程扫清障碍.

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在10年期间,一城市居民的年收入与某种商品的销售额 之间的关系有如下数据:
第几年 某商品销售额(万元) 第几年 某商品销售额(万元) 1 25.0 6 41.0 2 3 4 5

城市居民年收入(亿元) 32.2

31.1
30.0 7

32.9
34.0 8

35.8 37.1
37.0 39.0 9 10

城市居民年收入(亿元) 38.0

39.0
42.0

43.0
44.0

44.6 46.0
48.0 51.0

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(1)画出散点图;
(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线附近, 求Y与x之间的回归直线方程.

(1)略
? (2) y =1.447x-15.843.

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考点2

独立性检验

在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中, 有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院 的男性病人中有175人秃顶.请用独立性检验方法判断 秃顶与患心脏病是否有关系? 【分析】首先由题目中的数据画出2×2列联表, 然后根据表中的数据算出χ2的值,据χ2的值就可以判 断秃顶与心脏病是否有关系. 返回目录

【解析】根据题目所给的数据得到如下2×2列联表:
患心脏病 患其他病 合计

秃顶
不秃顶 合计

214
451 665

175
597 772

389
1048 1437

根据表中的数据,得到:χ2=
1 437 × (214 × 597 - 175 × 451) 389 × 1 048 × 665 × 772
2

≈ 16.373 > 6.635.

所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”. 返回目录

(1)独立性检验的关键是准确地计算 K2,在计算时,要充分利用2×2列联表. (2)学习相关和无关的判定一定要结合实际问题, 从现实中寻找例子,从而增强学习数学的兴趣.

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为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 在某城市的某校高中生中随机抽取了300名学生,得到 如下2×2列联表:
喜欢数学 不喜欢数学 合计


女 合计

37
35 72

85
143 228

122
178 300

判定性别与是否喜欢数学的关系.
经计算知χ2≈4.514>3.841. ∴ 95%的把握可判定高 中生的性别与是否喜欢数学课程有关系. 返回目录

1.独立性检验可以先考虑定义,然后再考虑用K2值, 以及相关系数r的值进行判断. 2.在进行回归分析之前一定要进行相关性检验,可 以用散点图,也可以用相关系数.

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