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一道预赛试题的渊源与推广_图文

8 — — 3 4  

数 学教学 

2 0 1 3 年第8 期 



道预赛试题 的渊源 与推广 

4 3 0 0 7 9 华 中师范大学数学与统计 学学院 程 汉波 杨春波 

2 0 1 1 年 全 国高 中数 学 联赛 浙江 省 预赛 第 
2 2 题为:  

同源 题l ( 2 0 0 9 年 伊 朗数 学 奥 林 匹 克 试 
已知 a , b , c≥ 0 , 且 满 足 a+b +C= 3 ,   求 证 
1   —  1   1   +  + 

题目   设a 、b 、C∈ R+ ,且  + 、 , / 6 +  


≤   ‘  

3  

3 , 求 

+  

+  

≥ 兰 , 并 指 出 等 号 成 立 条 件 .  
这是一道 构思精 巧的不等 式试题, 形 式简  洁 、优美 , 看似 简单, 然而, 在本 科生专业 选修  课 《 竞赛数学 》的课堂上, 未有学生在课 堂上  给 出准 确 无 误 的 证 明, 可见该题实属不易.  
1 . 试 题 解 答 

分析: 所证不等式等价于 
6 2+ c 2   C 2+ a 2   3  
2 ’   2+ 6 2+ c 2 。 2+ c 2+ n 2  

+  

将该不等式 中 a   、b   、c  分别用 a 、b 、C   替换 即得到以上 2 0 1 1 年浙江省预赛试题 .   同 源 题2 ( 2 0 0 0 年 澳 门数 学奥 林 匹 克试 
题 )己知 a 、b 、C≥ 0 , 且 满足 a b c≥ 1 , 求证:  
1   1   +   而

证 明: 由柯西不等式得 ,  

  +   1  

≤1  
+  

, \ ,  ±  +  ± !  +  ! ±  、 .  
2+a+b ’2+b+C ’2+ C + a/  

[ ( 2 +a+b ) +( 2 +b +C ) +( 2 +C +口 ) ]  

分 析:欲 证 不 等 式 等 价 于 
一 1
+ b+ C 。 1+ C+ a  

≥f 、 / /  
所 以 
a+ b  

+、 /  

+、 / 而

)   ,  

+  十 一

  ≥2 , .  

b+ C  

C+ a  

+ a + b ’ 2+ b+  2  

6+2 ( a +b +c )   再运用柯西不等 式,  

≥ 

f 佣

+  

+   而   +   ) 。  

由柯西不等式变形形式得 ,  
a+ b  



+  而

b+ c  

+  c +n  
1+ C+ a  



( 佣

+瓜

+  

)  
’  

3+ 2   f 0+ b +c 1  

( 佣


+瓜

+  

)  

由 “ 试 题 解 答 ”过 程 知 ,  

2 ( a +b +C ) +2 ( 、 / / a +6 、 / / 6 +C  

+ 瓜   +厕 厕 )   ≥2  +6 +  +2 ( b +、 /   +C   +、 /  +0 +缅 1   3 ( a +b +C ) +(   +、 / / 6 +   )  
= =

( 、 /  

+、 /  

+、 /  

)  ≥ 4 ( a+b  

+ c ) +2 ( 、 / / n 6 +、 / / 6 c +、 /  )≥ 4 ( 0 +b +c ) +  
6  n 6 c≥ 4( a+ b +C ) +6 .   所 以  +   +  

3 ( a +b +C +3 ) .  

所 以  = C= + 毒  + 寿  ≥ 耋 ,   当 a=b 1时等号成立 .  
2 . 试 题 探 源 

≥2 , 当 a=b :C = 1时等号成立 .   3 . 试题推广  推 广1   设a 、 b 、 C ∈R+ , 且n +6 +C =3 ,  
n≥ 2 , n∈N  , 求证:  
a  + b  
  .

笔 者 发现类 似 的题 目早在 数学 竞赛 中出   现 过, 只 是 由其稍微 改编而 来, 与本 赛题 是 同  
源.  

b n+ c n  
.  

C n + an  


3  

十虿  

十  

互 。  
( 下 转 第8 — 4 8 页)  

8 一  

数 学教 学 

2 0 1 3 年第8 期 
( 2 1 4 0 3 1   江 苏省 无锡 市第 一 中学 李广 

+丁 2 . ( C 2 ) 2

+ - . .+ 

> 

修供题)   8 9 5 .已知 正整数 n≥ 2 ,a i (  = 1 , 2 , … ,   ( 2 3 9 4 6 1 安徽省 明光市涧溪 中学 盛宏礼 
供题)  

n ) 是满足∑a i= l 的任 意n 个 正 实 数,  

8 9 4 .设 0 】 、0 2 、n 3 、n 4 是 任意 给定 的满  足a l a 2 a 3 a 4 =1 的 四个 正数, 试 求 最 小 的正 整  数n o , 使得当整 数 n≥礼 0 时, 不等式 0  +0 呈 +  

有, 求 出其最大值: 若没有, 说明理 由.  

问 ( a l a 2  ̄  ̄  ̄ a n ) , ( i   = 1   a i ) 是 否 有 最 大 值 ? 若  
( 3 6 1 0 0 0 福 建 省 厦 门 第 一 中 学  吴 亨 平 

n  +n 2≥   +   +二 +二 都成立 .  
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

徐 小平供题)  
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  

巍 一   一  
钺  
~  
、  









( 上接 第8 ~ 3 4 页)   证 明:由柯西不等式的分式变形形式得,  
a ”+ b   b ”+ C 札   C  + a  

Pn + q ”  

q  + r  

, m+ P  

干  
面  
(  

十  
万+、 何 

  。

= _  十  
+   F  )  




+  

+  

3+ 2( P  + q ”+r   )  

( 、   +   ——— 

+  
广一

)   ?  

类似 于 “ 试 题 解 答 ”过 程 , 可得 

类似 于 “ 试题解答 ”过程 , 可得,   、 / 0 n+b n +、 / / 6 札 +C n +、 / / c   +a  

(   瓦 +   4 ( P n+q  +7 , n ) + 2 ( 、 /   ≥4 ( p 佗 +q 扎+r 礼 ) +6  
6.  

+   )   ≥   +、 /   +、 /   )   ≥4 ( P+q +r ) +  
+  

≥3 ( 0 n+b  +C n ) +( 、 /   +、 /   +、 /  )  
由于 n ≥ 2 , 所 以 y=   数, 故  在 X> 0 时 是 凸 函 

所 以 

+  

(   +   +   1  



≥2 , 当 P= q= r= 1 时等 号 成 立 .   注: 在 上 面 同源 题 2  的 结 论 中,直 接 
令n   = p  , b= q n , C= r  ,  即可 得 到 该不 等 

9.  

( 3  
≥  

式.   参考文献  … 中 国数 学会普 及工作委 员会 .2 0 1 2年  高 中数 学联赛 备考 手册 『 M1 . 上海 :华 东师范  大学 出版社, 2 0 1 2 .   f 2 ] 侯典 峰.一道伊 朗 国家选拔 考试 题 的 

推 广2   ( 2 0 0 4 年 波 罗 的海 数 学 竞 赛 试 

题) 设P , q , r∈R+ , J tp q r≥ 1 , n∈ N, 求证:  
1   1   1  

+ 

+ 

≤  ‘  

证 明 : 所 证 不 等 式 等 价 于 蒜
1+  q   +  r +  1   。   +  r   +  pn  

+  

证明 『 J ] . 数学通讯, 2 O L O ( 3 ) ( 下半月) : 6 2 — 6 3 .   『 3 1 王建荣, 方 明. 一道 伊 朗国家选拔考试  题 的推广 r J ] . 数学通讯, 2 O L O ( 8 ) ( 下半月) : 6 1 .  
f 4 ] 范 花妹 , 秦 庆雄 .一道 伊 朗 国家 选拔 
月1 : 5 6 — 5 7 .  

考试题 的再推广 『 J ] . 数 学通 讯, 2 0 1 0 ( 1 2 ) ( 下半 

由柯 西不等式得 ,  


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