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高一数学下学期期末考试及答案

2011-2012 学年度数学期末试卷
第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选 评卷人 得分 择 题 (题型 注释) 1.已知 tan ? ? A. ?

1 2 , tan( ? ? ? ) ? ,那么 tan(? ? 2? ) 的值为( 2 5

).

3 4

B. ?

1 12

C. ?

9 8

D.

7 9
tan(? ? ? ) ? tan? 1 ?? . 1 ? tan(? ? ? ) tan? 12

【答案】B 【解析】

tan(? ? 2? ) ? tan[( ? ??) ??] ?

2.若 a

? (1,2), b ? (?3,1), 则 2a ? b ? :
B. (5,1) C. (?1,3) D. (?5,?3)

A. (5,3)

3.将函数 y ? sin( x ? 所得图像向左平移

? ) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将 3
).

? 个单位,则所得函数图像对应的解析式为( 3 1 ? 1 ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? sin( x ? ) 2 6 2 3 1 ? C. y ? sin x D. y ? sin(2 x ? ) 6 2
?
3

【答案】A 【解析】 y ? sin( x ?

) ? y ? sin( x ?

1 2

?
3

) ? y ? sin[ ( x ?

1 2

?

? 1 ? ) ? ] ? sin( x ? ) . 3 3 2 6

4.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图象如图所示,则正确的结论是( A. A ? 3, T ? 2? C. T ? 4 ?, ? ? ? 【答案】C 【解析】 ? ).

? )的周期为 T ,在一个周期内的 2 y
2

B. B ? ?1, ? ? 2

?

? 6

D. A ? 3, ? ?

? 6

2? 3

O

4? 3

x

-4

? A ? B ? 2, ? A ? 3, ?? ?? A ? B ? ?4, ?B ? ?1,

T 4? 2? ? ? (? ) ? 2? ? T ? 4? , 2 3 3

??

2? 2? 1 ? ? , T 4? 2 1 4? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? . 2 3 2 6


5.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? 12 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S9 ? ( A. 48 【答案】B 【解析】等差数列中 S9 ? B. 54 C. 60 D. 108

9(a1 ? a9 ) 9(a4 ? a6 ) 9 ?12 ? ? ? 54 2 2 2

6.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?

2

) 的最小正周期为 ? ,且

f (? x) ? f ( x) ,则(
A、 f ( x ) 在 ? 0,

)

? ? ? ?

?? ??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

B、 f ( x ) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 3? , ?4 4 ? ? 单调递增 ?

C、 f ( x ) 在 ? 0, 【答案】A

D、 f ( x ) 在 ?

【解析】解:因为函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为

? ,且 f (? x) ? f ( x) ,说明 w=2,并且是偶函数,那么函数解析式为
? f (x) ? sin(wx ? ?) ? co s(wx ? ?) ? 2 sin(wx ? ? ? ) 4 ? ? ? ?? ? ? ?? ? 4 2 4
故可以利用函数解析式 f (x) ? 2 cos 2x ,可选项为 A 7.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP =(cos ? ,sin ? ),

OQ =(2+sin ? ,2-cos ? ),则向量| PQ |的最大值是:
A. 2 【答案】B 8.函数 y ? 3sin(2 x ? B.

3

C. 3 2

D. 2 3

?
6

) ? 2 的单调递减区间是

(

)

A. ?? ? 2k? , ? 2k? ?, k ? Z 3 ? 6 ?

? ?

?

?

B. ? ? 2k? , ? ? 2k? ? , k ? Z 6 ?3 ?

??

5

?

C. ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z 3 ? 6 ? 【答案】D

? ?

?

?

D. ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z 8、 6 ?3 ?

??

5

?

?x ? y ? 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 9.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? 的取值范围是( xy ?y ? 2 ? 0 ?
A. ? 2, ? 2 【答案】B



? 5? ? ?

B. ? 2,

? 10 ? ? 3? ?

C. ? ,

? 5 10 ? ?2 3 ? ?

D. ? ,4 ? 4

?1 ?

? ?

【解析】解:由已知不等式作出可行域,可知为三角形区域,边界点为(1,2(3,1) (4,2) 而

x 2 ? y2 x y y ? ? ,只需求出 的范围即可 xy y x x y 1 而由图像可知 ? [ , 2] x 3 x y 1 1 x y 10 ? ? ? t ? , t ? [ , 2]? ? ? [2, ] y x t 3 y x 3
最小值在 t=1,最大值在 t=1/3 时取得。 10.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n 【答案】A 【解析】 an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ? an ? ln( 即 an?1 ? an ? ln(n ? 1) ? ln n ,则: B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

1 n

) D. 1 ? n ? ln n

1 n

n ?1 ) ? an ? ln(n ? 1) ? ln n n

a2 ? a1 ? ln 2 ? ln1, a3 ? a2 ? ln 3 ? ln 2, ?????? an ? an ?1 ? ln n ? ln(n ? 1),
叠加得: an ? a1 ? ln n ? ln1 ? 2 ? ln n ? 0 ? 2 ? ln n

11、 已知 a=(1,2), b=(-3,2), 向量 ka+b 与向量 a-3b 垂直, 向量 ma+b 与向量 a-3b 平行 (k,m 为实数),k+3m 的值为 (A)17 【答案】B (B)18 (C)19 (D)20

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填 空 题 (题型 注释)

x y 11.若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是________________________.

【答案】 2 2

【解析】 2 ? 4 ? 2 2 ? 4 ? 2 2
x y x y

x ?2 y

? 2 2 (当且仅当“

x?

1 1 ,y? 2 4 ”时,取“=”).


12.已知 x, y ? R ? , 且x ? 4 y ? 1, 则xy 的最大值为 【答案】

1 16

【解析】均值定理的运用: x ? 4 y ? 1 ? 2 x ? 4 y ? 4 xy ? xy ? 13.已知点 P?a, b ? 是直线 y ? ? 【答案】9. 【解析】因为点 P?a, b ? 是直线 y ? ?

1 16

1 1 1 1 x ? 落在第一象限部分上的动点,则 ? 的最小值为 a b 4 4

1 1 x ? 上的动点,所以 4 4 a 1 1? a 1 1 1 4 3a ? 1 t ?1 b?? ? ? ? ? = ? ? ,令 3a ? 1 ? t , a ? 点 P?a, b ? 是直 2 a b a 1? a a ? a 4 4 4 3
1 1 1 4 3a ? 1 ? = ? ? =?9 a b a 1? a a ? a2

线第一象限部分上的动点,? a ? 0,? t ? 1 ,故

1 4 t ? ?5 t

? t ? 1?

1 1 ? ? ?9 a b

1 2 t? 4 ?5 t

? 9,

1 1 ? 的最小值为 9 a b

?x ? y ? 3 ( x ?1)2 ? y 2 ? 14.设 x , y 满足条件 ? y ? x ? 1 ,则 w ? e 的最小值 ?y ? 0 ?
答案】 e
4

【解析】略

?x ? 2 ? 0 ? 15.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内运动,则 z=x-y ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

的取值范围是________________
【答案】[-1,2] 【解析】先画出满足约束条件的可行域,如图阴影部分,∵z=x-y,∴y=x-z.

由图知截距-z 的范围为[-2,1],∴z 的范围为[-1,2].

评卷人

得分

三、解 答 题 (题型 注释)

16.已知 M (1 ? cos2x,1), N (1, 3 sin 2x ? a) ( x ? R, a ? R, a 是常数) , 且 y ? OM ? ON (其中 O 为坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (3)若 x ? [0, ] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值. 【答案】 (1) f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ? 1 ? a .(2)增区间为 [ k? ? 单调递减区间为 [k? ?

? 2

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) ,

?
6

, k? ?

2? ](k ? Z ) .(3) a ? 1 . 3

【解析】 (1)数量积的坐标运算; (2)利用辅助角公式化简函数,由复合函数的单调性,解

不等式; (3)先确定得到 最值情况。 解: (1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x ? a , 所以 f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ? 1 ? a . (2)由(1)可得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 由 2k ? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? ? 7? ,将 2 x ? 看作 t,研究函数 y=sint 在 ? t ? 的 6 6 6 6

?
6

) ?1? a ,

(k ? Z ) ; 2 3 6 ? ? 3? ? 2? (k ? Z ) , 由 2k ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , 解得 k? ? ? x ? k? ? 2 6 2 6 3 2 6
所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ? 单调递减区间为 [k? ?

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

, 解得 k? ?

?

? x ? k? ?

?

?

?
6

, k? ?

(3) f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 2x ?

?

2? ](k ? Z ) . 3

3

, k? ?

?

6

](k ? Z ) ,

?
6

?

?
2

,即 x ?

?

6

) ? 1 ? a ,因为 0 ? x ?

?
2



所以

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? , 6

6

时, f ( x ) 取最大值 3 ? a ,

所以 3 ? a ? 4 ,即 a ? 1 . 17.已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边. (Ⅰ)若 cos A ?

1 , b ? 3c ,求 sin C 的值; 3

(Ⅱ)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状. 【答案】 (Ⅰ) B ?

?
2

, 所以 sin C ? cos A ?

1 .(Ⅱ) ?ABC 为等腰直角三角形 3

1 cos A ? , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 【解析】 出现余弦,应考虑
余弦定理, b ? c sin A ,等号两边均有边长,且次数相同,已考虑正弦定理,此题是正余弦 定理的综合应用,属于简单题

1 , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 ? 1 故△ABC 是直角三角形,且 B ? , 所以 sin C ? cos A ? . 2 3
(Ⅰ)由 cos A ? (Ⅱ)

a ? c cos B ? c ?

2 2 2 0 a2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2? b 2 ? , ? c ? a ? b ,即 ?C ? 90 ; 2ac 2a

b ? c sin A , 由 正 弦 定 理 可 得 sin B ? sin C sin A ? sin 900 sin A ? sin A ,
? sin B ? sin A ,又
A, B 均为锐角,
1 2 1 an ? an ? 1 ( n ? N * ) . 2 2

? A ? B .? ?ABC 为等腰直角三角形.
18.设 Sn 是正项数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? 2n ,设 cn ? anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 【答案】 (Ⅰ)? an ? n ? 1. (Ⅱ)? Tn ? n ? 2n?1

【解析】考查数列中 an, Sn 之间的关系, an ? ? 由 Sn ?

?S1 ,(n ? 1) ,可解得 {an } 的通项公式, ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2)

1 2 1 1 1 an ? an ? 1 得 出 Sn ?1 ? an ? 21? an ? ? 1 1 并 做 差 , 是 关 键 ; 2 2 2 2

cn ? anbn ? ? n ? 1? 2n 是差比数列,其和用错误相减法,

Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? 2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ?

? ? n ? 1? 2n ? n ? 2n ? ? n ? 1? 2n?1

相同次数对齐,注意最后一项的符号。

1 2 1 a1 ? a1 ? 1 ,解得 a1 ? ?1(舍去) , a1 ? 2 . 2 2 1 2 1 1 1 2 当 n ? 2 时,由 Sn ? an ? an ? 1 得, Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? 1 , 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 两式作差,得 Sn ? Sn ?1 ? an ? an ? an ? an ?1 ? an ?1 , 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 整理得 an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? 0 , an ? an?1 ? ? an ? an?1 ? ? 0 , 2 2 2 2
(Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ?

?an ? an?1 ??an ? an?1 ? ? ?an ? an?1 ? ? 0 , ?an ? an?1 ??an ? an?1 ? 1? ? 0 ,
数列 ?an ? 为正项数列, an ? an?1 ? 0 ,

? an ? an?1 ? 1 ? 0 ,即 an ? an?1 ? 1 ,数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列, ? an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1 .
(Ⅱ)

cn ? anbn ? ? n ? 1? 2n ,

? Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ?

? ? n ? 1? 2n ,①

2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ?
?Tn ? 2 ? 21 ? ? 2 2 ? 23 ?

? n ? 2n ? ? n ? 1? 2n?1 ,②

? 2 n ? ? ? n ? 1? 2 n ?1 ? ? n ? 2 n ?1 ,

? Tn ? n ? 2n?1
19.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4 , an ? 2an?1 ? 2n ( n ? 2, n ? N ) .
*

(Ⅰ)求 a 2 和 a 3 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) an ? (n ? 1)2n a2 ? 2a1 ? 22 ? 12; a3 ? 24 ? 8 ? 32 ;

【解析】an ? 2an?1 ? 2n 通常将两边同除以 2n 变形出常数, 再构造新数列 ? 解,关键是如何变形出新数列。

? an ? 通常就可求 n ? ?2 ?

(Ⅰ) 据a ? 4 , an ? 2an?1 ? 2n 得 a2 ? 2a1 ? 22 ? 8 ? 4 ? 12; a3 ? 2a2 ? 23 ? 24 ? 8 ? 32 ; 1 (Ⅱ) an ? 2an?1 ? 2n 两边同时处以 2 得:
n

an an ?1 ?a ? ? n ?1 ? 1 所以数列 ? n 是以 2 为首项,1 n n ? 2 2 ?2 ?

为公差的等差数列,

an ? 2 ? (n ? 1) 1 ? n ? 1,? an ? (n ? 1)2n n 2 20.某企业生产 A, B 两种产品,每生产 1 吨产品所需的劳动力、煤、电消耗及利润如下表:
产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 4 5 9 4 电(千瓦时) 3 10 利润(万元) 7 12

A 产品

B 产品

因条件限制,该企业仅有劳动力 200 个,煤 360 吨,供电局最多供电 300 千瓦时,试问该 企业生产 A, B 两种产品各多少吨时能获得最大利润?并求最大利润. 【答案】生产 A 产品 20 吨, B 产品 24 吨时能获得最大利润 428 万元。 【解析】本试题主要是考查了线性规划问题中最优解的求解和运用。 解:设生产 A x 吨生产 B y 吨。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。1 分

? 4 x ? 5 y ? 200 ?9 x ? 4 y ? 360 ? 由题意: ? 3 x ? 10 y ? 300,目标函数 z ? 7 x ? 12 y ,上。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 ? x?0 ? y?0 ?
述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域。作直线

l 0 : 7 x ? 12 y ? 0 ,并作平行于直线 l 0 的一组直线,与可行域相交,其中有一条直线经过
可行域上的点 M,且与直线 7 x ? 12 y ? 0 的距离最大,其中 M 点是直线 4 x ? y ? 200和直 线 3 x ? 10 y ? 300的交点,????????????????????????7 分 图(略) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 解方程组 ?

? 4 x ? 5 y ? 200 得 x ? 20, y ? 24 ,此时 z ? 7 ? 20 ? 12 ? 24 ? 428 (万元) , 3 x ? 10 y ? 300 ?

当 x ? 20, y ? 24 时, z 最得最大值。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分 答:该企业生产 A 产品 20 吨, B 产品 24 吨时能获得最大利润 428 万元。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

? y ? x, ? 21.已知 z ? 2 x ? y ,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?
(1)作出可行域; (2)求 z 的最大值.

【答案】作出可行域

Z m a x? 3

?x ? 0 ? 22.(本题满分 12 分)设不等式组 ? x ? 3 y ? 4 ?3 x ? y ? 4 ?
(1)在直角坐标系中画出平面区域 D (2)若直线

表示的平面区域为 D。

y ? kx ?

4 分平面区域 D 为面积相等的两部分,求 k 得值。 3

【答案】 (1)略(2)7/3 【解析】(1)根据直线定界,特殊点定域的原则画出可行域,不注意边界是虚线还是实线。 (2)先把总面积求出来,然后可据一侧的面积等于总面积的一半求解即可。


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