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2014年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试(数学理科答案)

2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 (数学理科答案)
一、选择题: A 卷答案:1---5CAACC B 卷答案:1---5DAADD 6---10CABDB 6---10DABCB 11-12DB 11-12CB

11.提示:曲线 f ( x) ? x3 ? 2 x ? 1关于(0,1)中心对称. 12.提示:函数图象不随 p, q 的变化而变化. 二、填空题: 13.

? ?1 4

14. 50?

15.

5 6
2

16. 8

16.提示:可转化为 y ? 3 ln x ? x 上的动点与直线 y ? x ? 2 上动点的问题. 三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解 法,参照标准酌情设定,且只给整数分) (Ⅰ)设等比数列 {an }的公比为 q ,由已知得 ? í 17.解: ? 又∵ a1 > 0 , q > 0 ,解得 ? í

ì ? a12 q = 2,

2 5 ? ? a1 q = 32,

?????2 分

ì , ? a1 = 1 ? ? ? q = 2,

??????3 分

∴ an = 2n- 1 ;???????5 分 (Ⅱ)由题意可得

bn b1 b2 b3 + + +L + = 2n - 1 , 1 3 5 2n - 1

2 n ?1 ? 1 ?
两式相减得

bn ? 2n ?1 , 2n ? 1

( n ? 2)

bn = 2n- 1 , 2n - 1

∴ bn ? (2n ? 1)2n?1 , ( n ? 2 )????????7 分 当 n = 1 时, b1 = 1 ,符合上式, ∴ bn = (2n - 1) 2 设 Tn = 1+ 3?2
1 n- 1
* , ( n ? N )??????????8 分

5?22 L + (2n - 1) 2n- 1 , 5?23 L + (2n - 3)?2n- 1 (2n - 1) 2n ,??????10 分

2Tn = 1?2 3?22

两式相减得

- Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2n
n

- (2n - 3)?2n

3,

∴ Tn = (2n - 3)2 + 3 .???????12 分(整理结果正确即可,不拘泥于形式) 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ,

AB ? AC ? A1B ? 2 .
(Ⅰ)证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ)若点 P 为 B1C1 的中点,求出二面角 P ? AB ? A1 的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题意得: A1B ? 面 ABC , ∴ A1B ? AC , 又 AB ? AC , AB ? A1B ? B ∴ AC ? 面 AB1B , ∵ AC ? 面 A 1 AC , ∴平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; ------3 分 ------5 分 ------2 分

(Ⅱ)解法 1:以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, 2,0), B1 (0, 4, 2) C1 (2,2,2) 因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P ?1 ,, 3 2? .

??? ? ??? ? AB ? (0, 2,0), AP ? (1,3, 2) 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), ??? ? ? ? AB ? n1 ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 则 ? ??? 得? ? 2y ? 0 AP ? n ? 0, ? ? ? 1
n1 ? (? 2 , 0 , 1 ) , 而平面 ABA1 的法向量 n2 ? (1,0,0),
令 z ? 1 ,则

------6 分

z
C1 B1 A1

------8 分 ------9 分 ------11 分
y x
C B A

n ?n 2 2 5 则 cos n1 , n2 ? 1 2 ? ? ?? n1 | n2 | 5 5
由图可知二面角 P ? AB ? A1 为锐角, 故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是

2 5 . ------12 分 5 解法 2:过 P 做 PP1//A1B1 交 A1C1 的中点于 P1,由(Ⅰ)可
知 P1A1 ? 平面A1 AB , 连 接 P1B, 则 ?P 1 BA 1 为二面角
P ? AB ? A1 的平面角,

------8 分 ,

在 Rt?P , A1 B ? 2, P 1 BA 1 中 , P 1A 1 ?1 1B ? 5

cos?P 1 BA 1 ?

A1 B 2 2 5 , ? ? P B 5 5 1
2 5 5

故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是

------12 分

19.解: (Ⅰ)由题意得 2 ?

t t 1 ? (1 ? ) ? ,解得 t ? 1 .?????3 分 2 2 2

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3

1 t t (2 ? t ) 2 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ; 2 2 2 8 1 t t 1 t t 4 ? t2 P(? ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ; 2 2 2 2 2 2 8 1 t t 1 t t 4t ? t 2 P(? ? 2) ? 2 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ; 2 2 2 2 2 2 8 P(? ? 3) ? 1 t t t2 ? ? ? . 2 2 2 8

故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

(2 ? t ) 2 8

4 ? t2 8

4t ? t 2 8

t2 8

????????7 分

? E? ? t ?

1 .???????8 分 2

由题意得: P(? ? 2) ? P(? ? 1) ?

?t 2 ? 4t ? 2 t ?1 ? 0 , P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? ?0, 2 4

P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

2t ? t 2 ? 0 ,又因为 0 ? t ? 2 4

所以解得 t 的取值范围是 1 ? t ? 2 .???????11 分

?

3 5 ? E? ? 2 2 .???????12 分

20.解:

y

M

c 3 (Ⅰ)依题意 e ? ? a 2

P

N

过焦点F与长轴垂直的直线x=c与椭圆

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

A

B

x

联立解答弦长为

2b 2 =1,?????2 分 a x2 ? y2 ? 1 4 .??????4 分

所以椭圆的方程

(Ⅱ)设P(1,t)

k PA ?

t ?0 t t ? 直线 l PA : y ? ( x ? 2) 1? 2 3 , 3 ,联立得:

t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 ? x ? y 2 ? 1. ? ?4


?4t

2

? 9 x 2 ? 16t 2 x ? 16t 2 ? 36 ? 0 ,


?

16t 2 ? 36 18 ? 8t 2 ? 2 x ? , x ? 可知 所以 M M 4t 2 ? 9 4t 2 ? 9
? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 则? ????????6 分 ? y ? 12t . M ? 4t 2 ? 9 ? ? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 同理得到 ? ? y ? 4t . N ? 4t 2 ? 1 ??????8 分 ?
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴, 不妨设这个定点为Q 又

?m,0?,??????10-分
4t 4t 2 ? 1 ? 2 8t ? 2 ?m 4t 2 ? 1


k MQ

12t 2 9 ? 4t ? 2 18 ? 8t ?m 4t 2 ? 9
,?



k NQ



kMQ ? kNQ

8m ? 32? t 2 ? 6m ? 24 ? 0

m ? 4 .?????12 分

21.解:(Ⅰ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ?1? ln( x ?1) ? x ,

F ' ( x) ? ln( x ? 1) ,

x ? (?1, 0) F ' ( x) ? 0, F ( x) 为减函数;

x ? (0, ??), F ' ( x) ? 0, F ( x) 为增函数,
所以 F ( x) 只有一个极小值点 x ? 0 ,极小值为 0.????????4 分 (Ⅱ) 设 G ( x) ? ln( x ? 1) ? f ( x2 ) ? ln( x ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ?
2

依题意即求

G ( x) 在 (?1, x2 ) 上存在零点时 a 的取值范围.

又当 x ? ?1 时, G( x) ? ?? ,且 G ( x) 在定义域内单调递增, 所以只需要 G( x2 ) ? 0 在 ? 0, ?? ? 即 即 上恒成立. 上恒成立.

2 ln( x2 ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ? ? 0 ,在 ? 0, ?? ?

? x2 ?1? ln( x2 ?1) ? ax22 ? x2 ? 0 ,在 ? 0, ?? ? 上恒成立.????7 分

10 若 a ? 0 ,显然不成立,因为由第一问知 F ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? x 在 (0,??) 为增函数,
故 F ( x) ? F (0) ? 0

20 ? x ? 1 ? 0 ,即 ln( x ? 1) ?

ax 2 ? x ? 0 在 ? 0, ?? ? 恒成立, x ?1

不妨设 h( x) ? ln( x ? 1) ?

ax 2 ? x , x ? ? 0, ??? x ?1

h ' ( x) ?

x(?ax ? 1 ? 2a) , x ? (0,??) , ( x ? 1) 2 x(?ax ? 1 ? 2a) 1 ? 2a ,???????9 分 ? 0, x1 ? 0, x2 ? 2 a ( x ? 1)
1 ? 2a ' ? 0, 若 x ? 0 ,h ( x) ? 0 ,所以 h( x) 为增函数,h( x) ? h(0) ? 0(不 a

h ' ( x) ?

若 a ? 0 ,则 x 2 ? 合题意), 若0 ? a ? 若a ?

1 1 ? 2a ) ,h' ( x) ? 0 , h( x) 为增函数,h( x) ? h(0) ? 0(不合题意), ,若 x ? (0, 2 a

1 ' ,若 x ? (0, ??) , h ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, h( x) ? h(0) ? 0 (符合题意), 2

综上所述,若 x ? 0 时, h( x) ? 0 f ( x) ? 0 恒成立,

则a ?

1 .???????????12 分 2

22.解:(Ⅰ)连接 AB,在 EA 的延长线上取点 F,如图①所示. ∵AE 是⊙O1 的切线,切点为 A, ∴∠FAC=∠ABC,.?????1 分 ∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC 是⊙O2 内接四边形 ABED 的外角, ∴∠ABC=∠ADE,?????2 分 ∴∠DAE=∠ADE.??????3 分 ∴EA=ED,∵ EA ? EB ? EC ,
2

∴ ED

2

? EB ? EC .??????5 分

(Ⅱ)当点 D 与点 A 重合时,直线 CA 与⊙O2 只有一个公共点, 所以直线 CA 与⊙O2 相切.?????6 分 如图②所示,由弦切角定理知:

?PAC ? ?ABC ?MAE ? ?ABE 又?PAC ? ?MAE 1 因?ABC ? ?ABE ? ? 180? 2
∴AC 与 AE 分别为⊙O1 和⊙O2 的直径.????8 分 ∴由切割线定理知:EA2=BE· CE,而 CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA =6×8=48,AE= 4 3 .故⊙O2 的直径为 4 3 .??????10 分 23.解: (Ⅰ)? ? ? cos? ,
2

M P O1 C B
图(2)

A O2 E

? 2 ? ? cos ? ???????2 分
x2 ? y2 ? x 1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
2

.???????4 分

(Ⅱ)设 P( 2 cos? , 2 sin ? ), C 2 ( ,0)

1 2

1? ? PC2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 2? ?

2

?

2 sin ?

?

2

1 ? 4 cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? 2sin 2 ? 4 ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ?
???????6 分

9 4

? cos ? ?

1 7 , , PC2 min ? ,???????8 分 2 2

PQ min ?

7 ?1 .????????10 分 2

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,

f ( x) ? x ? 2 ? x ?1 ? x

当x ? 2时 ,解得 x ? 3 ;
当 1 ? x ? 2 时,解得 x ? 1 ,? 无解

当x ? 1时 ,解得 x ? 1 ;???????????3 分
综上可得到解集 {x x (Ⅱ)依题意, 则

? 1或x ? 3}

.????????5 分

对?x ? R, 都有f ( x) ? 3 ,
,?????8 分

f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a ? ?ax ? 2? ? ?ax ? a? ? a ? 2 ? 3

a ? 2 ? 3或a ? 2 ? ?3

? a ? 5或a ? ?1(舍) , 所以 a ? 5. ???????10 分

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