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2013年北京市春季普通高中会考数学试卷

2013 年北京市春季普通高中会考数学试卷 第一部分 选择题(每小题 3 分,共 60 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.如果集合 A= {?1, 2} , B ? {x x ? 0} ,那么集合 A A. ? B. {?1}
2

B 等于(



C. {2}

D. {?1, 2} ) C. {x | 0 ? x ? 2} ) D. {x | x ? 0 ,或 x ? 2}

2.不等式 x ? 2 x ? 0 的解集为( A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 0}

3.如果向量 a= (?2,3) ,b= (1,5) ,那么 a·b 等于( A.-13 B.-7 C.7 D.13

4.如果直线 y ? 3x 与直线 y ? ?mx ? 1 垂直,那么 m 的值为( A. ?3 B. ?



1 3

C.

1 3

D. 3 )

5.如果 a ? 0 ,那么 a ? A.2 B.3

1 ? 1 的最小值为( a
D.5

C.4

6.要得到函数 y ? 2sin( x ?

?
6

) 的图象,只要将函数 y ? 2sin x 的图象(



? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 3
A.向左平移

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 3
B.向右平移 )

7.在等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , S5 ? 25 ,那么 a5 等于( A.9 B.8 C.7 D .6

3 x 8.在函数 y ? cos x , y ? x , y ? e , y ? ln x 中,奇函数是(



A. y ? cos x 9. cos A. ?

B. y ? x

3

C. y ? e

x

D. y ? ln x

11? 的值为( 6



3 2

B. ?

2 2

C.

2 2

D.

3 2


10.函数 f ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的最小正周期为( A.

? 2

B. ?

C. 2?
x

D. 4? )

11.已知函数 f ? x ? ? a (a ? 0, a ? 1) 在 ?0,1? 上的最大值是 2,那么 a 等于(

A.

1 4

B.

1 2

C.2

D .4 )

12.在 ?ABC 中, ?A ? 60 , AC ? 2 3 , BC ? 3 2 ,那么 ? B 等于( A. 45 B. 30 或 60 C. 135 D. 45 或 135

13.口袋中装有 4 个大小、 材质完全相同的小球,球的颜色分别是红色、 黄色、 蓝色和白色, 从口袋中随机摸出 2 个小球,摸到红色小球和白色小球的概率是( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

14. 为了解某学校门前公路的交通状况, 从行驶 过的汽车中随机抽取 200 辆进行统计分析, 绘制 出关于他们车速的频率分布直方图 (如图所示) , 那么车速在区间 [60,70) 的汽车大约有 ( A.20 辆 C.60 辆 B.40 辆 D.80 辆 )

15.已知平面 ? , ? ,直线 a , b ,下面的四个命 题

a / /b ? ① ??b ?? ; a ???

a ??? ② ? ? a / /b ; b ?? ?

a ?? ? ? ③b ? ? ? ? a ? b ; ? ? ?? ?

a ??? ? ④ b ? ? ? ? a / / b 中,所有正确命题的序号是( ? / /? ? ?
A.①② B.②③ C.①④ D.②④



?x ? y ? 16.当 x, y 满足条件 ? y ? 0 时,目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值是( ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?



A.1 B. 1.5 C.4 D.9 17.针对 2020 年全面建成小康社会的宏伟目标,十八大报告首次提出“实现国内生产总值 和城乡居民人均收入比 2010 年翻一番”的新指标,按照这一指标,城乡居民人均收入在这 十年间平均年增长率 x 应满足的关系式是( ) A. 1 ? 10 x ? 2 C. (1 ? x) ? 2
10

B. 10(1 ? x) ? 2 D. 1 ? x ? 2
10

18.一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积 是( ) A.12 B.18 C. 24 D. 30

19.将长度为 1 米的绳任意剪成两段,其中一段的长度小于 0.4 米的概率是( A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5



20.记时钟的时针、分针分别为 OA, OB ( O 为两针的旋转中心) .从 12 点整开始计时,经 过 m 分钟, OA ? OB 的值第一次达到最小,那么 m 的值是( A.30 B. )

360 11

C. 31

D.

2? 11

第二部分 非选择题(共 40 分) 一、填空题(共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 21.计算 ( ) ? log 3 1 的结果为

1 2

?1

. . .

22.已知圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1,那么圆心 C 到坐标原点 O 的距离是 23.某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值为

24.已知数列 {an } 是公差为 d 的等差数列,且各项均为正整数,如果 a1 ? 1 , an ? 16 ,那 么 n ? d 的最小值为 二、解答题(共 4 个小题,共 28 分) 25. (本小题满分 7 分) .

E 是棱 CC1 的中点. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(Ⅰ)证明: AC1 / / 平面 BDE ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD

D1 A1 B1

C1

E C B
? ?

D A
26. (本小题满分 7 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? , ? ( 0 ? ? ?

, ? ? ? ? )的顶点与原点 O 重合,始边 2 2 5 3 与 x 轴的正半轴重合, 终边分别与单位圆交于 A, B 两点, A, B 两点的纵坐标分别为 , . 13 5
(Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求 ?AOB 的面积

27. (本小题满分 7 分) 已知圆 C : x ? y ? 5m (m ? 0) ,直线 l 过点 M (?m,0) 且与圆 C 相交于 A,B 两点.
2 2 2

(Ⅰ)如果直线 l 的斜率为 1,且 | AB |? 6 ,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与 y 轴交于点 P ,如果 | PA |? 2 | PM | ,求直线 l 的斜率.

28. (本小题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 满足: ① f ( x ) 的一个零点为 2; ② f ( x ) 的最大值为 1 ③对任意实数 x 都有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) . (Ⅰ)求 a, b, c 的值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ?

x? A ? x, 是定义域为 (0,1) 的单调递增函数, 0 ? x0 ? x ' ? 1 , ? f ( x), x ? B

当 x0 ? B 时,证明: x ' ? B .


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