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2015年高考数学一轮复习课时训练第6节 圆锥曲线的综合问题

第6节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 圆锥曲线的综合问题 练题感 提知能 题号 2、5、10、14 3、4、7、8、12、13、16 9、11、15 1、6 圆锥曲线间的综合问题 直线与圆锥曲线的综合问题 圆与圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线与其他内容的综合 A组 一、选择题 1.椭圆 + =1(a>b>0)的左顶点为 A,左、 右焦点分别为 F1,F2,D 是它短 轴上的一个端点,若 3 (A) (B) (C) (D) = +2 ,则该椭圆的离心率为( D ) 解析:设 D(0,b),则 =(-a,-b), 由3 = +2 =(-c,-b), =(c,-b), 得-3c=-a+2c, 即 a=5c, ∴e= = . 故选 D. 2.(2012 年高考福建卷)已知双曲线 - =1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( (A) (B)4 (C)3 (D)5 A ) 解析:抛物线 y2=12x 的焦点是(3,0), ∴c=3,b2=c2-a2=5. ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x, 焦点(3,0)到 y=± x 的距离 d= = . 故选 A. 3.(2013 湛江市高考测试)设 F1,F2 是椭圆 + =1(a>b>0)的左、 右焦点, 若直线 x=ma(m>1)上存在一点 P,使△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角 形,则 m 的取值范围是( (A)1<m<2 (B)m>2 (C)1<m< (D)m> 解析:依题意得,∠F1F2P=120°,焦点 F2 到直线 x=ma 的距离为 ma-c,|PF2|=2c,2c?cos 60°=ma-c=c, 即 m= =2e<2. 又 m>1,因此 1<m<2,故选 A. A ) 4.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、 B 两点,过原点与线段 AB 中点 直线的斜率为 ,则 的值为( (A) (B) (C) (D) A ) 解析:设交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为 M(x0,y0), 将 y=1-x 代入 ax2+by2=1 得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 故 x1+x2= ∴y1+y2=2,x0= = , ,y0= , ∴k= = = .故选 A. 5.(2013 佛山质检)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 + =1(a>b>0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点 构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( (A) (B) (C) (D) D ) 解析:因为双曲线的渐近线与椭圆的交点构成正方形,所以双曲线的 渐近线方程是 y=±x,该双曲线是等轴双曲线,设双曲线的实半轴、 半 焦距分别为 a1,c1,椭圆的长半轴、半焦距分别为 a2,c2,则 c1= a1,a1=c2,c1=a2,所以椭圆的离心率 e2= = = ,故选 D. 6.(2013 河北省衡水中学高三模拟)点 P 在双曲线 - =1(a>0,b>0) 上,F1、 F2 是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三条边长成 等差数列,则此双曲线的离心率是( (A) (B) (C)2 (D)5 D ) 解析:不妨设点 P 在双曲线的右支上,F1 为左焦点, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 r1-r2=2a,2r1=r2+2c, 解得 r1=2c-2a,r2=2c-4a, 代入 + =4c2 可得 c2+5a2-6ac=0, 两边同除以 a2 得 e2-6e+5=0, 解得 e=1 或 e=5. 又 e>1,所以 e=5.故选 D. 二、填空题 7.(2013 惠州三调)已知双曲线 - =1 的一个焦点与抛物线 y2=4 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 ,则该双曲线的方程 为 . x 的焦点为( ,0), x 解析:抛物线 y2=4 ∴c2=a2+b2=10, ∴e= = , ∴a=3,b=1, -y2=1. 答案: -y2=1 8.(2013 东莞模拟)已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围 是 . 解析:当 t=0 时,直线 AB 与抛物线 C 有公共点, 当 t≠0,则过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线方程为 = , 即 4x-ty-t=0, 由 得 2tx2-4x+t=0,Δ =16-4?2t2<0, 解得 t<- 或 t> . 答案:(-∞,- )∪( ,+∞) 9.过双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切线, 切点分别为 A、B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心 率为 . 解析:如图,由题知 OA⊥AF,OB⊥BF 且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°. 又 OA=a,OF=c, ∴ = =cos 60°= , ∴ =2. 答案:2 10.(2013 安徽蚌埠二模)点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2: - =1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线 的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于 解析:设 A(x0,y0), ∵A 在抛物线上, ∴x0+ =p, ∴x0= , 由 =2px0 得 y0=p 或 y0=-p. ∴双曲线渐近线的斜率 = =2. ∴e= = 答案: 三、解答题 11.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且椭圆经过圆 C:x2+y2-4x+2 y=0 的圆心 C. (1)求椭圆的方程; = . . (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程. 解:(1)圆 C 方程可化为(x-2)2+(y+ )2=6, 圆心 C(2,- ),半径 r= 设椭圆的方程为 + =1(a>b>0), 则 ∴ ∴所求椭

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