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数学 必修2 课堂练习 4.2.3


4.2.3 直线与圆的方程的应用

1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.

直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的步骤: 第一步: 建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中 的几何元素, 将平面几何问题转化为代数问题; 第二步: 通过代数运算, 解决代数问题; 第三步: 把代数运算结果“翻译”成几何结论. 这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”, 又简称为“一建 二算三译”.

解决与圆相关的实际问题的步骤 剖析: 解决此类问题的基本步骤如下: ( 认真审题, 1) 明确题意; 2) ( 建立直角坐标系, 用坐标表示点, 用方 程表示曲线, 从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型; 3) ( 利用 直线与圆的方程的有关知识求解问题; 4) ( 把代数结果还原为对实际 问题的解释.

题型一

用坐标法证明几何问题

【例 1】 如图所示, 在半径为 1 的圆 O 上任取 C 点为圆心, 作一 圆与圆 O 的直径 AB 相切于点 D, C 与圆 O 交于点 E, 圆 F.求证: EF 平分 CD.

证明: AB 所在直线为 x 轴, AB 的中点 O 为原点建立平面 以 以 直角坐标系, 如图所示, 则圆 O 的方程为 x2+y2=1.①

设圆 C 的圆心为 C( 1, 1) x y ,
2 2 则可得圆 C 的方程为( 1)2+(y-y1) =y1 , x-x

2 即 x2+y2-2x1x-2y1y+x1 =0.② 2 ①-②, 2x1x+2y1y-1-x1 =0.③ 得

③式就是直线 EF 的方程 设 CD 的中点为 H, 其坐标为
y y1 x1 , 2

, H 代入③式, 将 得

1 2 2 2 2 2 2 2 2x1 +2y1· 2 -1-x1 =2x1 + y1 -1-x1 = x1 + y1 -1=0, CD 的中点 H 在 即

EF 上. 故 EF 平分 CD.

利用直线与方程解决平面几何问题时, 要先充分利用圆 的方程、 直线和圆的位置关系、 圆与圆的位置关系等有关知识, 正确 使用坐标方法, 使实际问题转化为代数问题, 然后通过代数运算解决 代数问题, 最后解释代数运算结果的实际含义.

题型二

实际应用问题

【例 2】某圆拱桥的示意图如图所示, 该圆拱的跨度 AB 是 36 m, 拱高 OP 是 6 m, 在建造时, 每隔 3 m 需用一个支柱支撑, 求支柱 A2P2 的长.( 精确到 0.01 m)

解: 如图, 以线段 AB 所在的直线为 x 轴, 线段 AB 的中点 O 为坐 标原点建立平面直角坐标系, 那么点 A, P 的坐标分别为( B, 18, , 18, , 0, . 0) ( 0) ( 6)

设圆拱所在的圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为点 A, P 在圆拱所在的圆上, B, 则有 D = 0, 182 -18D + F = 0, 182 + 18D + F = 0,解得 E = 48, F = -324. 62 + 6E + F = 0, 故圆拱所在的圆的方程是 x2+y2+48y-324=0. 将点 P2 的横坐标 x=6 代入上式, 解得 y=-24+12 6≈5.39( ( m) 负值舍去) . 答: 支柱 A2P2 的长约为 5.39 m.

在实际问题中, 遇到有关直线和圆的问题, 通常建立坐标 系, 利用坐标法解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点: ①若曲线是

轴对称图形, 则可选它的对称轴为坐标轴; ②常选特殊点作为直角坐

标系的原点; ③尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系, 会简化运算过程.

1.将直线 x+y=1 绕点( 0) 1, 逆时针旋转 90° 后与圆 x2+( 2=r2( y-1) r>0) 相切, r 的值是( 则
2 A. 2

)
3 2 C. 2

B. 2

D.1

解析: x+y=1 绕点( 0) 将 1, 逆时针旋转 90° 所得直线的方程为 后, x-y=1.又圆的圆心坐标为( 1) 0, , 故直线与圆相切时有 r= 答案: B
|0-1-1| 2

= 2, 于是 r 的值为 2.

2.与圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x2+y2-4x+3=0, a=( 则 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 2+y2-4x+3=0 化为标准形式为( 2+y2=1, x x-2) 圆心为( 0) 2, , ∵2, 关于直线 x-y-1=0 对称的点为( 1) ( 0) 1, , ∴ 2+y2-ax-2y+1=0 的圆心为( 1) x 1, . ∵ +y -ax-2y+1=0, x 即为 ∴ =1, a=2. 即 2 答案: C
a
2 2 2 a 2 a 2 a x- 2 +( y-1) = 4 , 圆心为 2 ,1

,

3.圆 C: 2+y2+x-6y+3=0 上有两个点 P 和 Q 关于直线 kx-y+4=0 x 对称, k= 则 . 解析: 由题意得直线 kx-y+4=0 经过圆心 C 解得 k=2. 答案: 2
1 - 2 ,3 k , 所以-2-3+4=0.

4.如图所示, 已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆, 车辆只能在 道路中心线一侧行驶, 一辆宽为 2.7 m, 高为 3 m 的货车能不能驶入这 个隧道?

解: 如图所示, 以截面半圆的圆心为坐标原点, 半圆的直径 AB 所 在的直线为 x 轴, 建立直角坐标系, 那么半圆的方程为 x2+y2=42(y≥0) .

将 x=2.7 代入半圆的方程, y= 42 -2.72 = 8.71<3, 得 即在离中心线 2.7 m 处, 隧道的高度低于货车的高度.因此货车 不能驶入这个隧道.

5.如图所示, 是☉O 的直径, 是☉O 的一条弦, AB⊥ AB CD 且 CD, 为垂足.利用坐标法证明 E 是 CD 的中点. E

证明: 如图所示, O 为原点, 以 以直径 AB 所在直线为 x 轴建立平 面直角坐标系,

设☉O 的半径为 r, |OE|=m,

则☉O 的方程为 x2+y2=r2,

设 C( b1) D( b2) m, , m, .
2 则有 m2+b1 =r2, 2+b2 =r2, m 2

即 b1, 2 是关于 b 的方程 m2+b2=r2 的根, b 解方程得 b=± r2 -m2 , 不妨设 b1=- r2 -m2 , 2= r2 -m2 , b 则 CD 的中点的坐标为 m,
r2 -m2 - r2 -m2 2

, m, . 即( 0)

故 E( 0) CD 的中点, E 是 CD 的中点. m, 是 即


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