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高中数学必修五课件:3.4-2(2)《基本不等式》(人教A版必修5)_图文

?第2课时 基本不等式的应用

1.运用不等式求一些最值问题.

用a+b≥2 ab求最小值;用ab≤(a+2 b)2≤a2+2 b2求最大值.

2.若p,k为常数,a,b是正实数,则

(1)若a·b=k,当且仅当a=b时,a+b有最小值



(2)若a+b=p,当且仅当a=b时,a·b有最大值

.

? 3.运用以上结论求最值要注意下列三个问 题:
? (1)要求各数均为正数;
? (2)要求“和”或“积”为定值; 一正、 ? (“3二)定要、注三相意等是否具备等号成立”的.条件.简称

? 1.若x>4,则函数y=x+

()

? A.有最大值-6 值6

B.有最小

? C值解.析有:y最=x大-4值+x2-1 4+4≥2 ?x-4?·x-1 4D+.4=没6. 有最小

答案:B

2.设a、b为实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值为

()

A.6

B.4 2

C.2 2

D.8

解析:2a+2b≥2 2a+b=2 23=4 2. 答案:B

3.已知x,y是正数,且xy=4,则

y+ x

x 取得最小值 y

时,x的值是

()

A.1

B.2

C.2 2

D. 2

答案:B

? 4.不等式y=x(1-3x)(0<x< )的最大值

是解_析_:_∵__0<_x<_13_,.∴1-3x>0,∴x(1-3x)=

1 3

(3x)(1-3x)≤

1 3

[3x+?21-3x?]2=13×14=112.

5.已知x≥52,求f(x)=x2-x-4x2+5的最小值. 解:∵x≥52,∴x-2>0,∴f(x)=x2-x-4x2+5=?x-x-2?22+1 =(x-2)+x-1 2≥2.当且仅当x-2=x-1 2,即x=3时,等 号成立.故当x=3时,ymin=2.

[例 1] (1)若 x>0,求 f(x)=1x2+3x 的最小值; (2)若 x<0,求 f(x)=1x2+3x 的最大值; (3)若 x≠0,求 f(x)=???1x2+3x???的最小值.

[解] (1)∵x>0,由基本不等式 ab≤a+2 b(a,b∈R+)知: f(x)=1x2+3x≥2 1x2·3x=2 36=12. 当且仅当 3x=1x2,即 x=2 时,f(x)取最小值 12.

(2)∵x<0,∴-x>0,由基本不等式 ab≤a+2 b(a,b∈R+) 知: -f(x)=?-12x?+(-3x)≥2 ?-12x?·?-3x?=12, 即 f(x)≤-12. 当且仅当-1x2=-3x,即 x=-2 时,f(x)取最大值-12.

(3)∵x≠0,且1x2与 3x 同号,又由基本不等式 ab≤a+2 b(a, b∈R+)知: f(x)=???1x2+3x???=???1x2???+|3x|≥2 1|x2|·3|x|=12. 当且仅当???1x2???=|3x|,即|x|2=4,即 x=±2 时,f(x)取最小值 12.

迁移变式 1 设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则1a+

1b的最小值为

()

A.8

B.4

C.1

1 D.4

解析:∵ 3是 3a 与 3b 的等比中项, ∴( 3)2=3a·3b. 即 3=3a+b,∴a+b=1. 此时1a+1b=a+a b+a+b b=2+(ba+ab)≥2+2=4(当且仅当 a =b=12时取等号),故选 B. 答案:B

[例 2] 求 f(x)= xx2+2+43+1 的最小值. [分析] 如果把 f(x)= xx2+2+43+1 写成x2+x23++31+1= x2+3 + x21+3+1≥2+1=3,求得 f(x)的最小值为 3,则所得结 果是错误的,原因是忽视了等号成立的条件,事实上方程
x2+3= x21+3无解,所以等号不成立.正确的处理方法 是利用函数单调性求最值.

[解] f(x)= xx2+2+43+1=x2+x23++31+1= x2+3+ x21+3+1. 令 t= x2+3(t≥ 3), 则原函数变为 y=t+1t +1,在区间[ 3,+∞)上是增函数, 所以当 t= 3时,y=t+1t +1 取得最小值433+1. 所以,当 t= 3, 即 x=0 时,f(x)= x24+3+1 取得最小值433+1.

迁移变式 2 求函数 y=x4+x22+x22+1的最小值. 解:y=?x2+2x?22+-22x2-3=?x2+2?2-x2+2?x22+2?+1=(x2+2)+x2+1 2-2. 令 x2+2=t,则 y=t+1t -2,t≥2. 易证 y=t+1t 在[2,+∞)上为增函数, 因此 y=t+1t -2≥12. 所以 y=x4+x22+x22+1的最小值为12.

? [例3] 若正数a,b满足ab=a+b+3,则 ab的取值范围为________.

[解] 由 ab=a+b+3 求出 b,将 ab 转化为关于 a 的函数,再求 范围. 由已知,得 b(a-1)=a+3,由于 a,b 都是正数,所以 a>1,且 b=aa+ -31.于是 ab=a·aa+ -31=[(a-1)+1]·aa-+13=a+3+aa-+13=a- 1+a-4 1+5≥2 ?a-1?·a-4 1+5=9. 当且仅当 a-1=a-4 1(a>1),即 a=3 时,等号成立,此时 b=3. 所以 ab 的取值范围为[9,+∞).

? [点评] 本例的求解建立在函数思想上,通 过已知的等式,将两个变元转化为一个变 元.利用均值不等式,求函数的值域,是 解决这类问题常用的方法.

? 迁移变式3 已知x,y∈(0,+∞),且x+y =5,若lgx+lgy≤lgk恒成立,则k的最小值 是________.
解析:因为 x,y∈(0,+∞),所以 xy≤(x+2 y)2,所以 lgx+lgy
=lg(xy)≤lg(x+2 y)2=lg245.当且仅当 x=y=52时取得等号,所以
kmin=245.

? [例4] 如图1所示,动物园要围成相同面积 的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙, 其他各面用钢筋网围成.
? (1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的 长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面 积最大?
? (2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼 的长、宽各设计为多少时,可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小?

? [分析] 设每间虎笼长x m、宽y m,则问题 (1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值, 而问题(2)则是在xy=24的前提下求4x+6y 的最小值.因此,使用基本不等式解决即 可.

[解] 解法 1:(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m,则由条件 知 4x+6y=36,即 2x+3y=18.设每间虎笼面积为 S,则 S= xy. 由于 2x+3y≥2 2x·3y=2 6xy, ∴2 6xy≤18,得 xy≤227,即 S≤227,当且仅当 2x=3y 时等 号成立. 由?????22xx=+33yy,=18, 解得?????xy==43..5, 故每间虎笼长为 4.5 m、宽为 3 m 时,可使每间虎笼面积最大.

(2)由条件知 S=xy=24.设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. ∵2x + 3y≥2 2x·3y= 2 6xy = 24,∴l = 4x + 6y =2(2x + 3y)≥48, 当且仅当 2x=3y 时等号成立. 由?????x2yx==234y,, 解得?????xy= =64, . 故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

解法 2:(1)设每间虎笼长为 x m、宽为 y m,则由条件知 4x+ 6y=36,即 2x+3y=18,x=9-32y. ∵x>0,∴0<y<6,S=xy=(9-32y)y=32(6-y)·y. ∵0<y<6,∴6-y>0,∴S≤32·[?6-2y?+y]2=227.当且仅当 6-y =y,即 y=3 时,等号成立,此时 x=4.5. 故每间虎笼长为 4.5 m、宽为 3 m 时,可使每间虎笼面积最大.

(2)由条件知 S=xy=24.设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y.由

xy = 24 , 得

x



24 y

.∴l



4x



6y



96 y



6y



6(

16 y



y)≥6×2 1y6·y=48.当且仅当1y6=y,即 y=4 时等号成立, 此时 x=6.

故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

? 迁移变式4 某公司一年购买某种货物400

吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一

年的总存储费用为4x万元,要使一年的总

运费与总存储费用之和最小,则x=

_解_析__:_每_年__购吨买.次 数



400 x

















400 x

×4



4x≥2 6400=160,当且仅当16x00=4x,即 x=20 时等号成立.

答案:20

? 1.使用均值不等式求最值、证明不等式要 注意使用的前提条件有三条:一正(各数为 正)、二定(和或积为定值)、三相等(等号在 允许取值的范围内能取到),要熟练掌握均 值不等式的各种变形.
? 2.在一个题目中,若多次使用均值不等式, 取等号的条件要求很严格,即每次使用均 值不等式等号都成立且字母取值保持一 致.

? 3.对于不满足基本不等式结构的函数,可 以通过因式分解、通分等手段转化成为和 为定值或积为定值的结果.
? 4.求函数y= +bx(a>0,b>0)的最值要 掌握,特别是应用均值不等式等号不成立 时,要用单调性的方法来研究最值.
? 5.应用基本不等式解决实际问题时,要注 意把要求最值的变量设为函数,列函数解 析式时,要注意所设变量的范围.


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