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数学讲义选修2-1讲义2323


名思教育学科讲义系列

高二数学·选修 2-1


内部讲义)

名思教育集团教管部

I


第二章 圆锥曲线与方程



第一节 椭圆及其性质

第二节 双曲线及其性质

II

第二章
第2节
【课标解读】 :

圆锥曲线与方程
椭圆及其相关性质

经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握它们的定义,标 准方程、集合图形和相关的性质。

【考点解析】 :
1.理解并掌握椭圆的定义,了解椭圆标准方程的推导方法; 2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标, 会用待定 系数法确定椭圆的方程; 3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法.

【知识要点】 :
x2 y2 1.点 P(x0,y0)与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系: a b 点 P 在椭圆上? 点 P 在椭圆内部? 点 P 在椭圆外部? ; ; .

y=kx+m ? ? 2 2 x2 y2 2.直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系判断方法:联立?x y a b ? ?a2+b2=1 消去 y 得到一个一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,则有 位置关系 相交 相切 相离 3.弦长公式 解的个数 解 解 解 Δ 的取值 Δ Δ Δ 0 0 0



x2 y2 设直线方程 y=kx+m, 椭圆方程 2+ 2=1 (a>b>0).直线与椭圆的两个交点为 A(x1, y1), B(x2, a b y2), |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2或|AB|= 1 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k

1

【回归教材】 :
探究点一 直线与椭圆的位置关系 问题 1 已知直线和椭圆的方程,怎样判断直线与椭圆的位置关系?

问题 2 直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来判断? 探究点二 直线与椭圆的相交弦问题 问题 直线与椭圆相交,怎样求相交弦的弦长? x2 y2 例 2 已知椭圆 + =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点. 36 9 1 (1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度; 2 (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程.

x2 y2 跟踪训练 2 已知椭圆 + =1 的弦 AB 的中点 M 的坐标为(2,1), 求直线 AB 的方程, 并求 16 4 弦 AB 的长.

探究点三 椭圆中的最值(或范围)问题 问题 在椭圆的有关问题中,常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题,这类问题一般 思路是什么?

例 3 已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

跟踪训练 3 在本例中,设直线与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),求△AOB 面积的最 大值及△AOB 面积最大时的直线方程.

2

【例题精讲】 :
x2 y2 ☆1.已知椭圆 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,到另一焦点距离为 7,则 m 16 m 等于 ( A.10
2

) B.5
2

C.15

D.25 ( )

x y ☆2.椭圆 + =1 的焦距等于 2,则 m 的值为 m 4

A.5 B.8 C .5 或 3 D.16 ☆☆3.设 B(-4,0),C(4,0),且△ABC 的周长等于 18,则动点 A 的轨迹方程为 ( x y A. + =1 (y≠0) 25 9 (y≠0)
2 2

)
2

y x B. + =1 (y≠0) 25 9

2

2

x y C. + =1 (y≠0) 16 16

2

2

y x2 D. + =1 16 9

x2 ☆☆☆4.椭圆 +y2=1 上有动点 P,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求△PF1F2 的重心 M 的轨 9 迹方程. ☆5.若 P ( x, y ) 在椭圆 A.3 B.4

x2 y2 ? ? 1 上,则 x ? y 的最大值为( 9 16
C.5 D.6



x2 ? y 2 ? 1 两焦点为 F1、F2 , ☆☆6. 椭圆 点 P 在椭圆上, 则 PF 1 ? PF 2 的最大值为_____, 4
最小值为_____ ☆☆☆7.椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点为 F1、F2 , A(3,1) 点 P 在椭圆上,则 PF1 ? PA 的最 25 16

大值为____ _,

3

【新题速递】 :
一、椭圆的定义 活动与探究 1 ☆已知命题甲:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a,其中 a 为大于 0 的常 数;命题乙:P 点轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 迁移与应用 ☆1.下列说法中正确的是( ). A.已知 F1(-4,0),F2(4,0),到 F1,F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 B.已知 F1(-4,0),F2(4,0),到 F1,F2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆 C.到 F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1,F2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆 D.到 F1(-4,0),F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆 x2 y2 ☆☆2.椭圆 + =1 上一点 P 到其一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点的距离为 25 16 __________.

二、椭圆的标准方程 活动与探究 2 ☆求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0); (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26; (3)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 A( 3,-2)和 B(-2 3,1)两点. 迁移与应用 ☆1.已知椭圆焦点在 x 轴上,且 a=4,c=2,则椭圆方程为( x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 16 4 16 12 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D . + =1 4 12 12 4

).

3 ? ? 4 ? ☆2.已知椭圆过点 P? ?5,-4?和点 Q?-5,3?,求此椭圆的标准方程.
科网 ZXX

[来源:学

x2 4y2 ☆☆已知 P 为椭圆 + =1 上一点, F1, F2 是椭圆的焦点, ∠F1PF2=60° , 求△F1PF2 25 75 的面积.

三、焦点三角形 活动与探究 3

4

迁移与应用 ☆1. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆上. 若|PF1|=4, 则|PF2|=___________, 9 2

∠F1PF2 的大小为___________.

x2 y2 ☆☆2.已知 椭圆的方程为 + =1,椭圆上有一点 P 满足∠PF1F2=90° (如图).求 4 3 △PF1F2 的面积.

5

【课堂练习】 :
一. 填空题: 1.与椭圆 2. 点 是椭圆 的面积为 有相同焦点且过点 上一点, . 3.已知 , 是椭圆 内的点, 是椭圆上的动点,则 的 椭圆方程是 是其焦点, 若 , 则

的最大值为______________,最小值 为___________. 二.解答题: 4.椭圆的焦距为 6 且经过点 ,求焦点在 轴上的椭圆的标准方程.

5.椭圆的一个焦点是 标为

,且截直线

,所得弦

的中点横坐

,求椭圆的标准方程.

6.已知方程 , ,对不同范围内的 曲线的类型,并画出显示其特征的草图.

值分别指出方程所代表的

[来源:Zxxk.Com]

6

7.已知直线 交椭圆 圆右焦点
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]





两点,点

坐标为(0,4),当椭
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

恰为

的重心时,求直线 的方程.

8.椭圆 中点,若 ,

与直线 为原点,

相交于 的斜率为



两点,





,求椭圆的方程.

7

2.1 椭圆及其性质(A)
一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中有只 有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是 A.2 B. 2( 3 ? 2 ) C. 2 5 ( D. 2( 3 ? 2 ) ) ) )

2.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是 ( A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 5 3 3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x A. ? B. C. D. x ? y ? 1 ? ?1 ? ?1 ?1 10 6 4 8 8 4 10 6 4.方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 A. (0,??) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) (



5. 过椭圆 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与椭圆的 另一焦点 F2 构成 ?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是( ) D. 1 (
1 2

A. 2 2 B. 2 C. 2 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 A.
1 4



B.

2 2

C.

2 4

D. )

7. 已知 k <4,则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ? 1 有( 9 4 9?k 4?k

A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴 17 x2 y2 8.已知 P 是椭圆 ? ? 1 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 ,则点 P 到左焦点 2 100 36 的距离是 ( ) 66 77 16 75 A. B. C. D. 5 5 8 8 9.若点 P 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? ,则 2
) B. 1 C.

?F1 PF2 的面积是(
A. 2
2 2

3 2

D.

1 2

10.椭圆 4x ? 9 y ? 144 内有一点 P(3,2)过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这弦所在 直线的方程为 A. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 C. 4 x ? 9 y ? 144 ? 0
8

( B. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. 9 x ? 4 y ? 144 ? 0



11.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 16 4

( D. 10



A.3
2 2

B. 11

C. 2 2

12.在椭圆

y x ? ? 1 内有一点 P(1,-1) ,F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使 4 3

|MP|+2|MF|的值最小,则这一最小值是 A.

( C.3 D.4



5 2

B.

7 2

二、 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.)

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 13.椭圆 2 4 m
14.设 P 是椭圆 为



x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 PF2 的最大值 4
。 。

;最小值为
2

15.直线 y=x- 1 被椭圆 x2+4y2=4 截得的弦长为

16.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,则点 M 的轨迹方程为 。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知三角形 ABC 的两顶点为 B(?2,0), C (2,0) ,它的周长为 10 ,求顶点 A 轨迹方程.

18、椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

19、 中心在原点, 一焦点为 F( 5 1 0, 求此椭圆的方程。

2

) 的椭圆被直线 y=3x-2 截得的弦的中点横坐标是 ,

1 2

9

20、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e= 点的最远距离是
7

3 2

,已知点 P(0, 3 )到椭圆上的
2

,求这个椭圆方程。

21、椭圆

9 X2 Y2 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y 1 ) , B(4, ) , C(x 2 , y 2 ) 与焦点 5 25 9

F(4,0)的距离成等差数列. (1)求证 (2)若线段 ; 的垂直平分线与 轴的交点为 ,求直线 的斜率 .

2 2 22、 椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、Q 两点, 且 OP ? OQ , 其中 O a2 b2 为坐标原点.

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b
3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2

(2)若椭圆的离心率 e 满足

10

2.2 椭圆及其性质(B)
一、选择题

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( ) 1.若焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 m 3 8 2 A. 3 B. C. D. 2 3 3
2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )

2 B. 2 ? 1 C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 2 3.设过点 P ( x, y ) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点,点 Q 与点 P ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA 且 OQ?AB ? 1 ,则点 P 的轨迹方程是( ) 3 2 3 2 2 2 A. 3 x ? y ? 1( x ? 0, y ? 0) B. 3 x ? y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2 3 2 3 2 2 2 C. x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) D. x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2
A. x2 4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12

x2 y 2 9 ? ? 1 上三个不同的点,则 5 .设 A( x1 , y1 ), B (4, ),C (x2 , y2 )是右焦点为 F 的椭圆 5 25 9 “ AF , BF , CF 成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的
(A)充要条件 (C)充分不必要条件 二、填空题 (B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要

6 .若椭圆长轴长与短轴长之比为 2 ,它的一个焦点是 2 15,0 ,则椭圆的标准方程是 __________. 7.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭 圆的标准方程是 . 8.已知 A( ?

?

?

1 1 ,0), B 是圆 F : ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平 2 2
.

分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为
2 2

9.如图,把椭圆

x y ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个 25 16

分 点 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 F P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, 是椭圆的一个焦 点,则 PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ? 三、解答题 ;

x2 y 2 4 10. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点 F1、 F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 P F1⊥PF2,,| P F1|= ,,| 3 a b
11

P F2|=

14 . 3

(I)求椭圆 C 的方程; (II) 若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、 B 两点, 且 A、 B 关于点 M 对称, 求直线 L 的方程。

x2 y2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共 a2 b 3 点 T,且椭圆的离心率 e= . 2
11.如图,椭圆 (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 2 的中点,求证:∠ATM=∠AF 1 T.

12.如图,点 A、B 分别是椭圆

P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距 离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 36 20

12

第3节
【课标解读】 :

双曲线及其性质

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性 质,了解双曲线的渐近线以及与椭圆的区别。

【考点解析】 :
1.理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线标准方程的推导方法; 2.能根据双曲线的标准方程熟练地写出双曲线的焦点坐标, 会用 待定系数法确定双曲线的方程; 3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法.

【知识要点】 :
1. 定义 (1)第一定义:平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定长 2a(小于|F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线。 说明: ①||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)是双曲线; 若 2a=|F1F2|,轨迹是以 F1、F2 为端点的射线;2a>|F1F2|时无轨迹。 ② 设 M 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 若 M 点 在 双 曲 线 右 边 一 支 上 , 则 |MF1|>|MF2| , |MF1|-|MF2|=2a ; 若 M 在 双 曲 线 的 左 支 上 , 则 |MF1|<|MF2| , |MF1|-|MF2|=-2a , 故 |MF1|-|MF2|=± 2a,这是与椭圆不同的地方。 (2)第二定义:平面内动点到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离之比是常数 e(e>1) 的点的轨迹叫双曲线,定点叫焦点,定直线 L 叫相应的准线。 2. 双曲线的方程及几何性质 标准方程
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)

y2 a
2

?

x2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0)

图形

焦点

F1(-c,0) ,F2(c,0)
13

F1(0,-c) ,F2(0,c)

顶点 对称轴

A1(a,0) ,A2(-a,0) 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 x 轴上, c2=a2+b2

A1(0,a) ,A2(0,-a) 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 y 轴上, c2=a2+b2

离心率

e?

c | MF2 | ? a | MD |
a2 a2 , l2 : x ? ? c c
2

e?

c | MF2 | ? a | MD |
a2 a2 , l2 : y ? ? c c
2

l1 : x ?

l1 : y ?

准线方程

准线间距离为 2a 渐近线方程

c

准线间距离为 2a

c

x y x y ? ? 0, ? ? 0 a b a b

x y x y ? ? 0, ? ? 0 b a b a

3. 几个概念 (1) (2) 等轴双曲线: 实、 虚轴相等的双曲线。 等轴双曲线的渐近线为 y=± x, 离心率为 2 。 共轴双曲线: 以已知双曲线的实轴为虚轴, 虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴

x2 y2 x2 y2 双曲线,例: 2 ? 2 ? 1 的共轴双曲线是 2 ? 2 ? ?1 。 a b a b
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线,不一定是 共轴双曲线;②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

【回归教材】 :
x2 ? y 2 ? 1 ,则中心坐标为 例 1.设双曲线方程为 2

,焦点坐标为

,顶点

坐标为 ,实轴长为 ,虚轴长为 ,离心率为 ,准线方程 为 ,渐近线方程 ,对称轴方程为 ,实轴方程 为 ,共轴双曲线方程为 。 说明:根据双曲线的方程熟练地写出其性质,是学习双曲线基本要求,也是一项重要基 本功,对知识要点中的性质部分要熟记。 例 2.设曲线 C 的方程为 Ax2+By2=|(A· B≠0) ,则 ① C 表示椭圆的充要条件是 ②C 表示焦点在 X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在 Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是 ⑤C 表示焦点在 X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在 Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是 例 3.求以 2x ? 3y=0 为渐近线,且经过点(1,2)的双曲线方程 说明:双曲线是具有渐近线的曲线,学习时要注意如下两个问题

14

(1) 已知双曲线方程,求出它的渐近线方程。 (2) 求已知渐近线的双曲线方程;已知渐近线方程为 ax ? by ? 0 时,可设双曲线方程 为 a2x2-b2y2= ? (? ? 0) , 再利用其它条件确定入的值, 这求法实质上是待定系数法。 例 4.设动点 P(x,y)到定点 A(5,0)的距离与它到定直线 X=3 的距离之比为 3 ,求 其轨迹方程。

【例题精讲】 :
考点一:双曲线的定义:
1.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2
B. 4 2



A. 3 2

C. 3 3

D. 4 3

x2 y2 2.已知双曲线 =1 上的一点 P 到左焦点的距离为 14, 则 P 点到右准线的距离为( 64 36
A.22 3.已知双曲线 B.24 C.26 D.28

)

9 x2 y2 ? ? 1上一点 P 到左准线距离为 ,则点 P 到右焦点的距离为 2 9 16

4. 已知 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 右支上的一点, 双曲线的一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 . 设 a2 9
.

F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 ? 3 ,则 PF1 ?
5. 以知 F 是双曲线 的最小值为 6.设 M 是双曲线 面积为( A. 36 3 ) B. 16 3 ? C. 9 3 D. 3 3

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点, 则 PF ? PA 4 12

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 为左右焦点,若∠F1MF2=60°,则△F1MF2 的 16 9

7.设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 为左右焦点,若△F1PF2 的面积为 2 3 ,则∠ 9 2
15

F1PF2=( A.30°

) B.60°
2

C.90°

D.120°

8. 设 F1,F2 分别是双曲线 x ? 则 PF1 ? PF2 ? (

???? ???? ? y2 ? 1的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, 且 PF 1 ? PF 2 ?0, 9
B. 2 10 C. 5 D. 2 5

???? ???? ?

)A. 10

考点二:双曲线的方程:
9. 若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的( k ?3 k ?3

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 2 2 10.已知双曲线的两个焦点是椭圆 16x +25y =160 的两个顶点, 双曲线的两准线分别过椭圆的 两个焦点,则此双曲线的方程是( ) A.

x2 y2 =1 6 4

B.

x2 y2 =1 4 6

C.

x2 y2 =1 5 3

D.

x2 y2 =1 3 5

11.以 y=±

1 x 为渐近线,且焦点在坐标轴上,焦距为 10 的双曲线 2

12.已知曲线 C : 的方程.

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 求双曲线 2 a b 3

13.已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的距 2 a b 2

离为

2 5 求双曲线 C 的方程. 5
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? 若顶点到 x, 2 a b 3
)

14.已知双曲线

渐近线的距离为 1,则双曲线方程为 15.过点(2,-2)且与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线的双曲线方程是(
A.-

x2 y2 + =1 4 2

B.

x2 y2 =1 4 2

C.-

x2 y2 + =1 2 4
)

D.

x2 y2 + =1 2 4

16.若双曲线
A. 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32
B.

3

C.

考点三:双曲线的几何性质:

3 2

D. 1

16

17.设 F 1 和 F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正三 a 2 b2
) A.

角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

18.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r= ( 6 3
B.2 C.3 D.6

)

A. 3

19.设双曲线 为( )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2, 焦距为 2 3 , 则双曲线的渐近线方程 a2 b2

A. y ? ? 2 x

B . y ? ?2 x

C.y??

2 x 2
)

D. y ? ?

1 x 2
B.2 C. 3

20. 双曲线 D.1

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为 ( 4 12

A. 2 3

21.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为 60 则双曲线 C 的离心率为 .

o



22.双曲线的两条渐近线方程为 y=±

3 x,则它的离心率为( ) 4
D.

A.

5 4

B.2

C.

5 5 或 4 3
?

5 15 或 2 2

23.设 △ ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 心率为 24.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2,则双曲线的离心率是 a2 b2

【新题速递】 :
1.

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 t 的取值范围是 4 ? t t ?1



x2 y2 ? ? ?1 的准线方程是 2.双曲线 16 9
3.焦点为 F1(-4,0)和 F2(4,0) ,离心率为 2 的双曲线的方程是
17

. .

4.设圆过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲 9 16


线中心的距离是 5.已知双曲线与椭圆

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程. 3 49 24

6.双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,两准线间距离为 交所得弦的中点的横坐标是 ?

9 1 ,并且与直线 y ? ( x ? 4) 相 2 3

2 ,求这个双曲线方程 3

【课堂练习】 :
(一) 选择题

x2 ? y 2 ? 1 的离心率 e 为( 1.双曲线 4
A、



5 2

B、

3 2

C、

1 2

D、

3 2

18

2.已知双曲线以椭圆 程。 A、

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,且它的离心率为 2,则该双曲线的方 25 9

x2 y2 ? ?1 12 4

B、

x2 y2 ? ?1 4 12

C、

x2 y2 ? ?1 9 27


D、

x2 y2 ? ?1 27 9

3.双曲线的渐近线方程为 y ? ? A、

5 3

B、

5 4

3 ,则它的离心率 e 为( 4 5 5 4 C、 或 D、 4 3 3

(二) 填空题 4.与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点( ? 5, 15 )的双曲线方程 5 20
2

5.双曲线 4 y ?

x2 ? 1 的渐近线方程是 9

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1、F2,此双曲线上一点 P 到 F1 的距离为 12,则点 P 6.双曲线 25 9
到 F2 的距离 7.双曲线

x2 y2 ? ? 1 上有一点 P 到左准线的距离 4.5,则点 P 到右焦点的距离为 9 16

8.以椭圆 x2+4y2=64 的焦点为顶点,一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 的,双曲线方程

(三) 解答题: 给定双曲线 x ?
2

p ? 1 ,过点 B(1,1)能否作直线 m,使 m 与所给双曲线交于两点 2

Q1 及 Q2,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程,如果不存在 说明理由。

19

2.3 双曲线及其性质(A)
一、选择题 1.下列曲线中离心率为
2 2

x y x2 y2 A. - =1 B . - =1 2 4 4 2 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D . - =1 4 6 4 10 2 2 x y 2.双曲线 - =1 的渐近线方程是( ) 25 4 2 5 A.y=± x B.y=± x 5 2 4 25 C.y=± x D.y=± x 25 4 2 2 3.双曲线与椭圆 4x +y =1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 y= 2x,则双曲 线的方程为( ) A.2x2-4y2=1 B.2x2-4y2=2 2 2 C.2y -4x =1 D.2y2-4x2=3 x2 y2 4.设双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程 a b 为( ) A.y=± 2x B.y=± 2x 2 1 C.y=± x D.y=± x 2 2 2 2 5.直线 l 过点( 2,0)且与双曲线 x -y =2 仅有一个公共点,则这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 x2 y2 6.已知双曲线 2 - 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支 a b 上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( ) 4 5 7 A. B C. 2 D. 3 3 3 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 5 x2 y2 7.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线 2 - 2=1 的 2 a b 离心率 e=______. 8.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 a=10,c-b=6,则顶点 A 运动的轨迹方程是________________. x2 y2 9 .与双曲线 - = 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( - 3 , 2 3) 的双曲线方程为 9 16 __________. 三、解答题 10.根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15 ? (1)经过点? ? 4 ,3?,且一条渐近线为 4x+3y=0; π (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为 . 3

6 的是( 2

)

20

y2 11.设双曲线 x2- =1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2),求直线 AB 的方程. 2

1.B [∵e= 2.A

6 c2 3 b2 1 ,∴e2= 2= ,∴ 2= ,故选 B.] 2 a 2 a 2

3 3.C [由于椭圆 4x2+y2=1 的焦点坐标为?0,± ?, 2? ? a 3 则双曲线的焦点坐标为?0,± ?,又由渐近线方程为 y= 2x,得 = 2,即 a2=2b2, b 2? ? 1 1 3 又由? ?2=a2+b2,得 a2= ,b2= ,又由于焦点在 y 轴上,因此双曲线的方程为 2y2 2 4 ?2? 2 -4x =1.故选 C.] 4.C [由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐近线方程为 2 y =± x.] 2 5.C [点( 2,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双 曲线仅有一个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.] 6.B [||PF1|-|PF2||=2a,即 3|PF2|=2a, 2a 所以|PF2|= ≥c-a,即 2a≥3c-3a,即 5a≥3c, 3 c 5 则 ≤ .] a 3 13 7. 3 解析 a+b=5,ab=6,解得 a,b 的值为 2 或 3. c 13 又 a>b,∴a=3,b=2.∴c= 13,从而 e= = . a 3 2 2 x y 8. - =1(x>3) 9 16 解析 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立直角坐标系,则 B(-5,0),C(5,0), x2 y2 而|AB|-|AC|=6<10.故 A 点的轨迹是双曲线的右支,其方程为 - =1(x>3). 9 16 x2 y2 9. - =1 9 4 4 x2 y2 解析 ∵所求双曲线与双曲线 - =1 有相同的渐近线,∴可设所求双曲线的方程为 9 16 x2 y2 - =λ (λ≠0).∵点(-3,2 3)在双曲线上, 9 16 ?-3?2 ?2 3?2 1 ∴λ= - = . 9 16 4 x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 4 4

21

15 15 ? 10.解 (1)因直线 x= 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为? ? 4 ,-5?,而 3<|-5|,故 4

? ? ? ?4? 3 ? - =1, x y b 双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为 - =1,由? a a b 4? b ? ?a =? ?3? ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

15

?a2=9, ? x2 y2 解得? 2 故所求的双曲线方程为 - =1. 9 16 ?b =16. ? (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点.依题意,它的焦点在 x 轴上. 因为 PF1⊥PF2,且|OP|=6, 所以 2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以 c=6. π 又 P 与两顶点连线夹角为 , 3 π 所以 a=|OP|· tan =2 3,所以 b2=c2-a2=24. 6 x2 y2 故所求的双曲线方程为 - =1. 12 24 11.解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y-2=k(x-1), y=kx+2-k ? ? 即 y=kx+2-k,由? 2 y2 ?x - 2 =1 ?

得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0, 当 Δ>0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 k?2-k? 则 1= = , 2 2-k2 ∴k=1,满足 Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 方法二 (用点差法解决) y2 1 x2 1- =1 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 , y2 2 2 x2- =1 2 1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2). 2 y1-y2 2?x1+x2? ∵x1≠x2,∴ = , x1-x2 y1+y2 2×1×2 ∴kAB= =1,∴直线 AB 的方程为 y=x+1, 2×2 y2 代入 x2- =1 满足 Δ>0. 2 ∴直线 AB 的方程为 y=x+1.

? ? ?

2.3 双曲线及其性质(B)
一、填空题
22

1.与椭圆

4 x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点且以 y ? ? x 为渐近线 的双曲线方程为 3 49 24



答案:

x2 y 2 ? ?1 9 16


2.已知定点 A,B ,且 AB ? 6 ,动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,则 PA 的最小值是 答案:5
[来源:学科网 ZXXK]

π x2 y 2 3.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的一条渐近线的倾斜角为 ? (0 ? ? ? ) ,其离心率 2 a b
为 答案: sec? .

4.双曲线 mx2 ? 2my 2 ? 4 的 一条准线是 y ? 1 ,则实数 m 为 答案: ?



2 3

[来源:Z.xx.k.Com]

5.若一直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐近线,则 l 与 C 的公共点个数为 答案:1 6.双曲线 面积是 答案: 9 3 二、解答题



π x2 y 2 ? ? 1 上有点 P,F1,F2 是双曲线的焦点,且 ?F1 PF2 ? ,则 △F1PF2 的 3 16 9


7. 已知动点 P 与双曲线 x ? y ? 1的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值, 且 cos ?F 1PF 2的
2 2

最小值为 ?

1 ,求动点 P 的轨迹方程. 3

解:? x 2 ? y 2 ? 1 ,? c ?

2.

设 PF1 ? m , PF2 ? n ,则 m ? n ? 2a (常数 a ? 0 ) ,所以点 P 是以 F1,F2 为焦点, 2 a 为长轴的椭圆, 2a ? 2c ? 2 2 ,

[来源:学§科§网]

?a ? 2 .

m2 ? n2 ? F1F2 由余弦定理,有 cos ?F1PF2 ? 2mn

2

(m ? n)2 ? 2mn ? F1F2 ? 2mn

2

?

2a 2 ? 4 ? 1. mn

? m?n? 2 ? mn ≤ ? ? ?a , ? 2 ?
23

2

? 当且仅当 m ? n 时, mn 取得最大值 a 2 .
此时 cos ?F 1PF 2 取得最小值

2a 2 ? 4 ? 1, a2

由题意

2a 2 ? 4 1 ? 1 ? ? ,解得 a 2 ? 3 , 2 a 3

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 2 ? 1 .
? P 点的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

8.已知 F1,F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右两焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的 a 2 b2

? 直线交双曲线于点 P ,若 ?PF 1F 2 ? 45 时,求双曲线的渐近线方程.

c 2 y0 2 解:由 F2 (c, 0) ,设 P(c,y0 ) ,则 2 ? 2 ? 1 , a b
那么 y0 ? b ?
2

? c2 ? b2 ? 1 ?? , 2 ?a ? a

[来源:Zxxk.Com]

? 因为 ?PF 1F 2 ? 45 ,所以 F 1F 2 ? y0 ,即 2c ?

b2 . a

也就是 4a2 (a2 ? b2 ) ? b4 ,得 b2 ? (2 ? 2 2)a2 . 故渐近线方程为 y ? ? 2 ? 2 2 x .

9.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听 到一声巨响,正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期 4s.已知各观测点到该中 心的 距离都是 1020m.试确定该巨响发生的位置. (假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各 点均在同一平面上) . 解:以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴的正向建立平面直角坐标系. 设 A,B,C 分别是西、东、北观测点,

0) B(1020,, 0) C (0, 1020) . 则 A(?1020,,

24

设 P( x,y ) 为巨响发生点, 由 A,C 同时听到巨响,得 PA ? PC , 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上, PO 的方程为 y ? ? x . 因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故 PB ? PA ? 340 ? 4 ? 1360 .

x2 y 2 由双曲线定 义知 P 点在以 A,B 为焦点的双曲线 2 ? 2 ? 1 上,依题意得 a ? 680 , a b
c ? 1020 , b2 ? c2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 ,
故双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 6802 5 ? 3402

[来源:学+科+网]

用 y ? ? x 代入上式,得 x ? ?680 5 , 由 PB ? PA ,得 x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即 P(?680 5, 680 5) ,所以 PO ? 680 10 . 故巨响发生在接报中心的西偏北 45 ,距中心 680 10 m 处.
?

讲 义 答 案
第一节 椭圆及其相关性质

【知识要点】 :
x2 y2 x2 y2 + <1 2+ 2=1 a b a2 b2 x2 y2 + >1 2 > a2 b2 1 = 0 <

【回归教材】 :
探究点一 直线与椭圆的位置关系 1. 利用直线与椭圆方程联立 求解 Δ 根据 Δ 与 0 的大小关系即可 2. 不能 探究点二 直线与椭圆的相交弦问题 (1)a=6,b=3,y=(1/2)x,2x^2-36=0,L=5^0.5|x1-x2|/2=10^(1/2)/2 (2)设 l 交椭圆于(x1,y1),(x2,y2) x1^2/36+y1^2/9=1 x2^2/36+y2^2/9=1
25

相减得(x1-x2)(x1+x2)/36+(y1-y2)(y1+y2)/9=0,P 为中点,(x1+x2)/2=4,(y1+y2)/2=2 斜率 k=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2,L 方程为 y=(-1/2)(x-4)+2=-x/2+4 探究点三 椭圆中的最值(或范围)问题 -

y=x
C 1 -2 11

【例题精讲】 :
D B A x^2/(25/9)+y^2/(16/9)=1

【新题速递】 :
A C 7 B (25/4)*根号 3 2 13/16

【课堂练习】:
参考答案: 填空题: 1. 解答题: 4. 5.设所求椭圆方程为 将 联立消去 与 得 . 设 , ,则 . ,解出 、 ,所 ,由 ,得 , 2. 3. ,

求椭圆方程为

6.当 时,方程的图形为直线 ;当 时方程的图形为中心在 原点、焦点在 轴上的椭圆;当 时方程的图形为以原点为圆心、2 为半径 的圆;当 时方程的图形为中心在原点、焦点在 轴上的椭圆.画图略. 7.设 , , 中点为(3,-2).又 两式相减得到 可得 、 ,由 得 及 , 为 , , ,
[来源:学科网 ZXXK]

的重心有 . 所以 .

在椭圆上,故

即为 的斜率 ,由点斜式可得 的方程为



[来源:学科网]

26

8、由直线方程与椭圆方程联立消去
. 设 ,


, , 可得 , ,所以 , 则 ?①;又由 ?②. 由

①,②解得



椭圆及其性质(A)
一、 选择题: ACDD ADBD BBDC 二、 填空题
13、3 或

16 3

14、

4



1

15、

2 38 5

2 2 16、 4 x ? 4 y ? 1 25 21

三、 解答题

17、

x2 y2 ? ? 1 (x ? ?3) 9 5

18、解: (1)当

为长轴端点时,



,椭圆的标准方程为:



(2)当 19、设椭圆:
x2 a
2

为短轴端点时,
? y2 b2



,椭圆的标准方程为:



,则 ? 1 (a>b>0)
1 2 3 2

a2+b2=50?①又设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,弦
1 2

AB 中点(x0,y0)∵x0= ,∴y0= -2=-

? y 2 x2 ? 1 ? 1 ?1 2 2 y 2 ? y2 x 2 ? x2 y ? y2 a 2 x0 a 2 b2 由? ? 1 ?? 1 ? k AB ? 1 ?? ? ? 3 ? a 2 ? 3b 2 …② ? 2 2 2 2 x1 ? x2 a b b 2 y0 ? y2 ? x2 ? 1 ? 2 b2 ?a

解①,②得:a2=75,b2=25,椭圆为: 20、 ∵e2== a
2

y 2 x2 ? 75 25

=1

? b2 a
2

b 3 x2 y2 ? 1 ? ( )2 ? ? a ? 2b ∴椭圆方程可设为: ? ? 1(b ? 0) 2 a 4 4b b2
2 2

设 A(x,y)是椭圆上任一点,则:│PA│ =x +(y- ) =-3y -3y+4b +
?

3 2

2

2

2

9 4

f(y) (-b≤y≤b)

27

讨论:1°、-b>- 1

2

? 0<b<

1 2

3 时,│PA│ 2 max = f(-b)=(b+ ) 2

2

=( 矛盾。不合条件。2°、-b≤- 1
?
2

7 )2 ? b ? 7 ?
2

3 2

但 b> 1 ,
2
2

2

1 b≥ 1 时,│PA│ 2 max = f(- )=4b +3=7 ? b =1 2 2

∴所求椭圆为: x

4

? y2 ? 1

21、证明:(1)由椭圆方程知







由圆锥曲线的统一定义知: ,∴ 理 .



∵ 即 .

,且

,∴



(2)因为线段

的中点为

,所以它的垂直平分线方程为

又∵点



轴上,设其坐标为

,代入上式,得

又∵点



都在椭圆上,∴





将此式代入①,并利用

的结论得

28

22、[解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代 入 上 式 得 2 x1 : x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 ① 又将 y ? 1 ? x代入
x2 y2 2a 2 ? 2 ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2 , 2 a b a ? b2 a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2 2 2 2 a2 c b 1 b 1 1 b2 2 (2) ? e 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? , 又由(1)知 b 2 ? 2 3 2 2 a 3 2a ? 1 a a a
? 1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5 , 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a 2 ? 1 3 4 2 2 2

椭圆及其性质(B) 答案
一选择题
1 解:设 P(x,y) ,则 Q(-x,y) ,又设 A(a,0) ,B (0, b ) ,则 a?0,b?0,于是

? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 3 P=2 P A 可得 a= x, , 由B b=3y, 所以 x?0, y?0 BP =(x,y-b), PA =(a-x,-y) 2 ??? ? ???? ??? ? 3 3 2 2 又 AB =(-a,b)=(- x,3y) ,由 OQ ? AB =1 可得 x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2 2 解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ?ABC 的周长为 4a= 4 3 ,所以选 C x2 y 2 2b2 a2 ? 2且 ? c ? 1 ,据此求出 e 3 解:不妨设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a?b?0) ,则有 a c a b 2 = ,选 B 2 4 解析: 椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), ∴ 半焦距 c ? 2 , 相应于焦点
F 的准线方程为 x ? ? . ∴ D.

7 2

a2 5 ( x ? 1)2 2 ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ? y ? 1 ,选 c 2 5

4 4 ,F(4,0) ,由焦半径公式可得|AF|=5- x1, 5 5 4 9 4 |BF|=5- ×4= ,|CF|=5- x2,故 AF , BF , CF 成等差数列 5 5 5 4 4 9 ?(5- x1)+(5- x2)=2× ? x1 ? x2 ? 8 故选 A 5 5 5
5 解:a=5,b=3,c=4,e= 二填空题 6、

x2 y2 ? ?1 80 20

29

?b 2 ? 4 ? ? 2 y2 ?a ? 2b, c ? 2 3 ? ? ?a 2 ?16 ? x ? ?1 为所求; 7、解:已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ?F (?2 3,0) 4 2 2 8、 x ? y ? 1 3 x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线 9、解析:如图,把椭圆 25 16 F 是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对 交椭圆的上半部分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, 2 a ,又 | P 称性知, | PF 1 1 |?| P 7F 1 |?| PF 1 1 | ? | PF 1 2 |? 2a ,同理其余两对的和也是 4F 1 |? a ,
7 a =35 ∴ PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?
三解答题 10 解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b =a -c =4,
2
2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5 , 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

2

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2). 由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以直线 l 的方程为 y ? 所以

x2 y2 ? 所以椭圆 C 的方程为 =1. 9 4

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2
即 8x-9y+25=0.

解得 k ?

8 , 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9

(经检验,符合题意)

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ① ? 1 ? 1, 9 4 2 2 x2 y2 ② ? ? 1, 9 4 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 由①-②得 9 4
因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

2

2



y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 , 9 9 x1 ? x2 8 所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.) 9
11 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基本思想 方法和综合解题能力。

30

解: (I)过点 A 、 B 的直线方程为

x ? y ? 1. 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2
因为由题意得 有惟一解,

1 y ? ? x ?1 2

1 2 2 a ) x ? a 2 x 2 ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 有惟一解, 4 所以 ? ? a2b2 (a2 ? 4b2 ? 4) ? 0 ( ab ? 0 ) , 故 a 2 ? 4b 2 ? 4 ? 0. a 2 ? b2 3 3 ? , 所以 a 2 ? 4b 2 . 又因为 e ? ,即 a2 4 2 x2 1 2 2 ? 2 y 2 ? 1. 从而得 a ? 2, b ? , 故所求的椭圆方程为 2 2 6 6 6 6 (II)由(I)得 c ? , 故 F1 (? , 0), F2 ( , 0), 从而 M (1 ? , 0). 2 2 2 4 x2 ? 2 y 2 ? 1, 2 1 由 解得 x1 ? x2 ? 1, 所以 T (1, ). 2 1 y ? ? x ?1 2 2 1 6 ,得 因为 tan ?AFT ? 1, 又 tan ?TAM ? , tan ?TMF2 ? 1 ? 2 2 6 2 1 ? 6 2 6 tan ?ATM ? ? ? 1, 因此 ?ATM ? ?AFT 1 . 1 2 1? 6
2 即 (b ?

12[解](1)由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ? 3 5 3 5 3 ,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 由于 y ? 0, 只能 x ? , 于是 y ? 2 2 2 2 (2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0. |m?6| 设点 M 的坐标是(m,0) ,则 M 到直线 AP 的距离是 , 2 |m?6| ?| m ? 6 |,又 ? 6 ? m ? 6, 解得 m ? 2, 于是 2 椭圆上的点 ( x, y ) 到点 M 的距离 d 有
31

d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于 ? 6 ? x ? 6,?当x ?

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15, 9 9 2

9 时, d取得最小值 15 . 2

第二节 双曲线及其相关性质

【知识要点】 :
【回归教材】 :
1 解:中心(0,0) ,焦点坐标(± 3 ,0) ,顶点坐标(± 2 ,0) ,实轴长为 2 2 ,虚

轴长为 2,离心率为

2 6 4 3 3 ,准线间距离为 ,准线方程为 x ? ? ,渐近线方程为 3 2 3

y??

2 (? 2 ? x? 2 ) ,共轴双曲线 x ,对称轴方程 x=0 , y=0 ,实轴方程 y=0 , 2

x2 x2 2 2 ? y ? ?1 ,即 y ? ? 1。 2 2
x2 y2 ? ? 1( AB ? 0) 2 解:C 的方程可化为 1 1 A B
则①C 表示椭圆的充要条件是 A ? 0, B ? 0, A ? B ,即 A ? 0, B ? 0, A ? B , ②B>A>0, ③A>B>0, ④AB<0, ⑤A>0,B<0, ⑥A<0,B>0, ⑦A=B>0, 说明:方程 Ax2+By2=1,可表示圆、椭圆、双曲线,而圆、椭圆、双曲线是有心曲线,故 Ax2+By2=1 表示有心曲线。 解法一,当 x=1 时,代入渐近线方程 y ?
2 2 x ,得 y ? 3 ? 2 。 3
1 1 1 1

∴ 点(1,2)一定在 2x-3y=0 的上方,∴ 双曲线的实轴所在的坐标轴一定是 y 轴 可设方程为

y2 x2 y2 x2 ? x y ?? x y ? ? ? 1 ,其渐近线方程为 ? 2 ? 0, ? ? ?? ? ? ? 0 2 2 2 a b a b ? b a ?? b a ?
∴b ?



b 3 ? a 2

3 a 2



又 ∵(1,2)在双曲线上,∴ ①代 入 ②

4 1 ? 2 9 a a2 4

4 1 ? 2 ?1 ② 2 a b 32 ? 1,? a 2 ? , b 2 ? 8 9



所求双曲线方程为

32

y2 x2 ? ?1 32 8 9
解法二:方程 4x -9y2= ? ,是所有渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 的双曲线系方程,即共渐近
2

线方程,因为(1,2)点适合此方程

∴ 4-36= ? ,∴ ? =-32

y2 x2 ? ?1 ∴ 方程为 4x -9y =-32,即 32 8 9
2 2

4. 错解:根据双曲线的第二定义 A(5,0)为焦点,∴C=5,又

a2 ?3 c
x2 y 2 ? ?1 15 10

∴ a =15

2

b2=c2-a2=25-15=10

∴ P 点的轨迹方程为双曲线

而此双曲线的离心率应为

c 5 15 ? ? ? 3 a 3 15

∴所以双曲线的中心不在坐标原点。

正确解答:由动点运动的条件可得: 化简后得:2x2- y2-8x+2=0

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 3 x?3

.【例题精讲】 :

【课堂练习】 :参考答案
(一) 选择题 (1)A (2)B (二) 填空题 (4)

(3)C

1 x2 y2 ? ? 1 (5) y ? ? x 6 10 40

(6)22 或者 2

(7)13.5

(8)

x2 y2 ? ?1 48 16

(三) 解答题 解:假设所求的直线 m 存在,其方程为 y=k ( x-1 ) +1 代入双曲线方程整理得:

(2 ? k 2 ) x 2 ? (2k 2 ? 2k ) x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ①
设 Q1(x1y1),Q2(x2y2),则 x1 , x 2 必是方程①的两根 即 x1 ? x 2 ?

2k 2 ? 2k k2 ?2

33

若 B 是 Q1、Q2 的中点,就有 ∴ k 应满足

x1 ? x2 ? 1 ,而 x1 ? x2 ? 2 2

∴应有

2k 2 ? 2k ?2 k2 ?2

(2k 2 ? 2k ) 2 ? 4(2 ? k 2 )(?k 2 ? 2k ? 3) ? 0
2k 2 ? 2k ?2 k2 ?2




由③ ? k=2 代入②得,-8<0,即 k=2 不满足 ∴①无解,故这样的直线 M 不存在。

34



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