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江苏省泰州中学2015-2016学年高二上学期第二次质量检测(理)数学试题

江苏省泰州中学高二年级第二次质量检测数学(理)试卷 2015.12 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1.命题“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是________.
2

1 ? 3i 的共轭复数是________. 1? i a?i 3.若复数 z ? (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? ________. i
2.复数 4.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的逆命题是________命题. (在“真”或“假”中选一个填空) 5.用反证法证明命题: “若 a, b ? N ,ab 能被 3 整除, 那么 a , b 中至少有一个能被 3 整除” 时, 假设应为________. 6.曲线 y ? x2 在点 (1,1) 处的切线方程为________. 7.如果 p : x ? 2, q : x2 ? 4 ,那么 p 是 q 的________. (在“充分不必要条件” 、 “必要不充分 条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要”中选择一个填空) 8.设 x, y , z 都是正数,则三个数 x ?

1 1 1 , y ? , z ? 的值说法正确的是________. y z x

①都小于 2 ②至少有一个不大于 2 ③至少有一个不小于 2 ④都大于 2 9.若抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上,则抛物线方程 为_________.

11.已知点 P 和 Q 的横坐标相同, P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍, P 和 Q 的轨迹分别为双 曲线 C1 和 C2 ,若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则 C2 的渐近线方程为________.

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 12.一个圆经过椭圆 16 4
________.

13.设函数 f ( x) ? ex (2x ?1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 , 则 a 的取值范围是________. 14.已知点 A(1,1), B, C 是抛物线 y 2 ? x 上三点,若 ?ABC ? 90 ,则 AC 的最小值为
0

________. 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 已知 p : x ?1 ? 2, q : ( x ?1)( x ? m) ? 0 . (1)若 m ? 4 ,命题“ p 且 q ”为真,求实数 x 的 取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 16.(本小题满分 14 分)

3 1 x2 y 2 椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P (1, ) ,离心率 e ? , A 为椭圆 C1 上一点, B 为抛物 2 2 a b
线y ?
2

3 上一点,且 A 为线段 OB 的中点. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求直线 AB 的方程. 2 3an 1 ,求 a2 、 a3 、 a4 的值,由此猜想数列 ?an ? 的通项 , an ?1 ? 2 an ? 3

17.在数列 ?an ? 中, a1 ?

公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 18.(本小题满分 15 分) 已知 ?ABC 的三边长为 a 、b 、 c ,且其中任意两边长均不相等,若

1 1 1 , , 成等差数列. ( 1) a b c

比较

c b 与 的大小,并证明你的结论; (2)求证:B 不可能是钝角. b a

19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 T :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,连结椭圆的四个顶点的菱形面积为 4, 2 a b 2

斜率为 k1 的直线 l1 与椭圆交于不同的两点 A, B ,其中 A 点坐标为 (?a, 0) . (1)求椭圆 T 的方程; (2)若线段 AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 M ,当 k1 ? 0 时,求 MA?MB 的最大值;

(3)设 P 为椭圆 T 上任意一点,又设过点 C (a, 0) ,且斜率为 k2 的直线 l2 与直线 l1 相交于点

N ,若

1 5 ? ? 4 ,求线段 PN 的最小值. k1 k2

20.(本小题满分 16 分) 设已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x2 ? 2ax ? 2a2 ? a ,其中 a ? 0 . (1)设 g ( x) 是 f ( x ) 的导函数,评论 g ( x) 的单调性; (2)证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内恒成立,且 f ( x) ? 0 在 (1, ??) 内 有唯一解.

参考答案

一、填空题(14*5 分) 1. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 3.-1 5. a , b 都不能被 3 整除 7.充分不必要 9. y ? 16 x或x ? ?12 y
2 2

2. 2 ? i 4.假 6. y ? 2 x ? 1 8. ( , ??) 10. 9 12. ( x ? ) ? y ?
2 2

1 4

3 11. y ? ? x 2
13. 8

3 2

25 4

14. 2

二、解答题 15. (14 分) (1) ??1,1? ; (2) ? ?3,1? 16.(14 分)

9 ?1 ? ?1 2 ? ?a 2 ? 4 ?a 4b 2 2 2 2 解: (1)据题意得: ? 又 a ? b ? c ,解得 ? 2 , c 1 b ? 3 ? ? ? ? ? a 2
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分

(2)设 A 点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 B 点坐标为 (2 x0 , 2 y0 ) ,分别代入椭圆和抛物线方程得
2 2 ? x0 y0 ? ?1 ? ? 4 3 2 消去 y0 并整理得: 3x0 ? 3x0 ?12 ? 0 , ? 3 ?(2 y ) 2 ? (2 x0 ) 0 ? ? 2

所以 x0 ? 3 或 x0 ? ?

4 3 3 ,当 x0 ? 3 时, y0 ? ? ; 3 2

当 x0 ? ?

4 3 时, y0 无解,所以直线 AB 的方程为 3

1 y?? x, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2
17. (15 分) 解: a1 ?

1 3 3 3 3 3 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? ,猜想 an ? ,下面用数学归纳法证明: 2 6 7 8 9 n?5 3 1 ? ,猜想成立; 当 n ? 1 时, a1 ? 1? 5 2
假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时猜想成立, 即 ak ?

3 . k ?5

则当 n ? k ? 1 时,

3ak ak ?1 ? ? ak ? 3

3 3? 3 k ?5 ? , 3 ( k ? 1) ? 5 ?3 k ?5
3 都成立. n?5

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立,
? 由①②知,对 n ? N , an ?

18.(15 分) (1)解:大小关系为

b c , ? a a

证明如下:要证

b c , ? a a

只需证

b c ? , a b

由题意知 a 、 b 、 c ? 0 , 只需证 b ? ac ,
2



1 1 1 , , 成等差数列, a b c



2 1 1 1 , ? ? ?2 b a c ac

∴ b ? ac ,
2

又 a 、 b 、 c 任意两边均不相等, ∴ b ? ac 成立.
2

故所得大小关系正确. (2)证明:假设 B 是钝角,则 cos B ? 0 ,

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? b 2 ac ? b 2 ? ? ? 0. 而 cos B ? 2ac 2ac 2ac
这与 cos B ? 0 矛盾,故假设不成立, ∴ B 不可能是钝角. 19.(16 分) 解: (1)由
2 2

c 3 2 2 得 3a ? 4c , ? a 2
2

又 a ? b ? c ,∴ a ? 2b , 又由题意得

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 , 2

解得 a ? 2, b ? 1 ,

故椭圆 T 的方程为

x2 ? y 2 ? 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4分 4

解得 x ? ?2 或 x ?

2 ? 8k12 2 ? 8k12 4k1 ,则 B ( , ), 1 ? 4k12 1 ? 4k12 1 ? 4k12

?8k12 2k1 因而线段 AB 中点坐标为 ( , ), 2 1 ? 4k1 1 ? 4k12
∵ k1 ? 0 ,则线段 AB 的垂直平分线为 y ?

2k1 8k12 1 ? ? ( x ? ), 1 ? 4k12 k1 1 ? 4k12
6k1 , 1 ? 4k12

设点 M 坐标为 (0, y0 ) ,令 x ? 0 得 y0 ? ?

则 MA? MB ? (?2, y0 )? ( xB , yB ? y0 )

?

? 6k1 4k1 6k1 4(16k14 ? 15k12 ? 1) 7k12 ? 2 ? ?2(2 ? 8k 2 ) , ? ( ? ) ? ? 4 1 ? ? 2 2? 1 ? 4k 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 1 ? 4k12 (1 ? 4k12 ) 2 ? (1 ? 4k1 ) ?

∵欲求 MA?MB 的最大值,故可令 7k12 ? 2 ? t ? 0 , 则

7k12 ? 2 t 49 49 49 , ? ? ? ? 2 2 t ? 2 225 (1 ? 4k1 ) 240 2 225 (1 ? 4? ) 16t ? ? 120 2 16t ? ? 120 7 t t
15 161 ,即 k1 ? ? 时, MA?MB 取最大值 4 14

故当 t ?

4(1 ?

49 289 )? , . . . . . . . . . . . . . . .10 分 240 60

(3)直线 l2 方程为 y ? k2 ( x ? 2) ,联立 y ? k1 ( x ? 2) 得 N (

2(k1 ? k2 ) 4k1k2 , ), k2 ? k1 k2 ? k1



1 5 ? ? 4 得 4k1k2 ? k2 ? 5k1 , k1 k2 2(k1 ? k2 ) 4k1k2 2(k1 ? k2 ) k2 ? 5k1 ? ? ? ?3 k2 ? k1 k2 ? k1 k2 ? k1 k2 ? k1

∴ xN ? y N ?

故点 N 在定直线 x ? y ? 3 上运动. 设与 x ? y ? 3 平行的直线为 y ? ? x ? b , 将 y ? ? x ? b 代入

x2 ? y 2 ? 1化简整理得 5x2 ? 8bx ? 4b2 ? 4 ? 0 , 4

由 ? ? (?8b)2 ? 4 ? 5(4b2 ? 4) ? 0 得 b ? ? 5 , 结合图形可知线段 PN 的最小值即为 y ? ? x ? 5 与 x ? y ? 3 之间的距离, 故 线 段

PN













5 ?3 2

?

3 2 ? 10 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 分 2

20. (16 分) (1)由已知,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

a g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2 ln x ? 2(1 ? ) , x 1 1 2( x ? )2 ? 2(a ? ) 2 2a 2 4 , 所以 g ?( x) ? 2 ? ? 2 ? x x x2
当0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a 时, g ( x) 在区间 (0, ), ( , ??) 上单调递增, 4 2 2

在区间 ( 当a ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a , ) 上单调递减; 2 2

1 时, g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增. 4 a x ? 1 ? ln x (2)由 f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2ln x ? 2(1 ? ) ? 0 ,解得 a ? , x 1 ? x ?1 x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x 2 x ? 1 ? ln x ) ln x ? x 2 ? 2( ) ? 令 ? ( x) ? ?2( x ? , ?1 1? x 1 ? x ?1 1 ? x ?1 e(e ? 2) e?2 2 ? 2( ) ?0, 则 ? (1) ? 1 ? 0, ? (e) ? ? ?1 1? e 1 ? e?1
故存在 x0 ? (1, e) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 . 令 a0 ?

x0 ? 1 ? ln x0 , u ( x) ? x ? 1 ? ln x ( x ? 1) , ?1 1 ? x0
1 ? 0 知,函数 u ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增. x

由 u ?( x ) ? 1 ? 所以 0 ?

u (1) u ( x0 ) u (e) e?2 ? ? a0 ? ? ? 1, ?1 ?1 1 ? 1 1 ? x0 1? e 1 ? e?1

即 a0 ? (0,1) , 当 a ? a0 时,有 f ?( x0 ) ? 0 , f ( x0 ) ? ? ( x0 ) ? 0 , 由(1)知,函数 f ?( x0 ) 在区间 (1, ??) 上单调递增, 故当 x ? (1, x0 ) 时,有 f ?( x0 ) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ?( x0 ) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时,有 f ?( x0 ) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ?( x0 ) ? 0 ; 所以,当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 , 综上所述,存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 内恒成立,且 f ?( x) ? 0 在 (1, ??) 内 有唯一解.


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