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高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理

宜宾市优学堂培训学校 第6讲 [考纲] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 正弦定理和余弦定理

知 识 梳 理
1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c sin A=sin B=sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C cos A= b2+c2-a2 ; 2bc

内容

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 常见变形 a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C

a2+c2-b2 cos B= 2ac ; cos C= a2+b2-c2 2ab

(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (1)已知三边,求三个角; 解决的问题 (2)已知两边和其中一边的对角, 求另一边和 (2)已知两边和它们的夹角, 求第三 其他两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 边和其他两角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解 3.三角形中常用的面积公式

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高).
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宜宾市优学堂培训学校 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径).

辨 析 感 悟
1.三角形中关系的判断 (1) 在 △ ABC 中 , sin A > sin B 的 充 分 不 必 要 条 件 是 A > B. ( ) (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . ( ) 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9. 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形. ( ) (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形. ( ) ( ) ( )

[感悟· 提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,

正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2.判断三角形形状的两种途径 弦)定理实施边、角转换. 一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦(余

考点一

利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 π C.6 ( ). π D.12

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,
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宜宾市优学堂培训学校 c=4 2,B=45° ,则 sin C=______.

规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一 边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角 定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C=( A.30° B.45° C.45° 或 135° D.60° ).

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A= ( A.30° B.60° ). D.150°

C.120°

考点二

判断三角形的形状

【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

规律方法 解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关 系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的
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宜宾市优学堂培训学校 关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另外,在变形过程中要注意 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. 【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是 ( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ). ).

(2)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC 的形状是 ( A.锐角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

考点三

与三角形面积有关的问题

【例 3】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

1 1 1 规律方法 在解决三角形问题中, 面积公式 S=2absin C=2bcsin A=2acsin B 最常 用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已 知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;

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宜宾市优学堂培训学校 (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

1.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题时要注意根 据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解. 2.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时可相互转化.如 a2=b2+c2-2bccos A 可以转化为 sin2 A=sin2 B+sin2 C-2sin Bsin Ccos A,利用 这些变形可进行等式的化简与证明.

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解三角形问题 【典例】 (12 分)(2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, 7 c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值.

[反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时, 一般全部化为角的关系, 或全部化 为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般 采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题 时,注意角的限制范围. (2)在本题第(2)问中,不会判断角 A 为锐角,易造成求错 cos A,导致 sin(A-B)

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宜宾市优学堂培训学校 的结果出错. 答题模板 第一步:定已知.即梳理已知条件,确定三角形中已知的边与角; 第二步:选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定 理和公式; 第三步:代入求值. 【自主体验】 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

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基础巩固题组 一、选择题 1.(2013· 绍兴模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=( A.30° B.45° C.60° D.120° 3 2.(2014· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC ).

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宜宾市优学堂培训学校 的长为( 3 A. 2 ). B. 3 C.2 3 D.2

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4, 则△ABC 的面积为( A.2 3+2 ). C.2 3-2 D. 3-1

B. 3+1

4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3, 则 c=( A.2 3 ). B.2 C. 2 D.1

5.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C +ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.钝角三角形 二、填空题 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. 7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2 -b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. 8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1, 1 b=2,cos C=4,则 sin B 等于________. B.锐角三角形 D.不确定 ).

三、解答题 1 9.(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2 c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值.

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10.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.

能力提升题组 一、选择题 → → 2 2 1.(2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中,若 BC=2,sin A= 3 ,则AB· AC的最 大值为( 1 A.3 ). 4 B.5 C.1 D.3

2.(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 二、填空题 1 3.(2013· 浙江卷)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3,
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). B.钝角三角形 D.以上均有可能

宜宾市优学堂培训学校 则 sin∠BAC=________. 三、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a-c)cos B. (1)求 cos B; → → (2)若BC· BA=4,b=4 2,求边 a,c 的值.

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