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2010年海淀区高三第一学期期中练习数学(理科) 参考答案及评分标准

海淀区高三第一学期期中练习





(理科)

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 (1) A (2) B (3) B (4) D (5) C (6) D (7) B (8) D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) (9) (12)
3 2

(10) 1

1 2

(答案写成坐标形式,扣 3 分) (11)

49 50

(13) ② ③
?m ?1 ? 2 , m 是奇数 ? ? ? ? m ? 2 , m 是偶数 ? 2 ?
* ?k , m ? 2 k ? 1( k ? N ) ? ? ? ? k ? 1, m ? 2 k ( k ? N * ) ?

(14) b 4 ? 3 , b m

b (也可以写成: m

或 bm ?

m 2

?

( ? 1) ? 3
m

( n ? Z ) ).

4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题共 12 分) 解: (I)由 S ? A B C ?
1 2 b c sin A ? 15 7 4

…………....……..….…2 分 ……………....……..….….4 分
3 4 3 4 ? 16 ,

可得, c ? 6 (II)由锐角△ABC 中 sin A ?
7 4

可得 co s A ?

…………………...…….....6 分 ……..….….8 分

由余弦定理可得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b c ? co s A ? 2 5 ? 3 6 ? 6 0 ? 有: a ? 4 由正弦定理:
c sin C ? a sin A

…….. …………....…….9 分 , …….. …………....…….10 分

即 sin C ?

c sin A a

6? ? 4

7 4 ? 3 7 8

................................12 分

高三年级数学(理科)考试参考答案 (第 1 页,共 5 页)

16. (本小题共 13 分) 解: (I)设等比数列 { a n } 的公比为 q . 由 a1 a 3 ? 4 可得 a 2 2 ? 4 , 因为 a n ? 0 ,所以 a 2 ? 2 依题意有 a 2 ? a 4 ? 2 ( a 3 ? 1) ,得 2 a 3 ? a 4 ? a 3 q 因为 a 3 ? 0 ,所以, q ? 2 所以数列 { a n } 通项为 a n ? 2
n ?1

……………………………………1 分 ……………………………………2 分 ……………………………………3 分

…………………………………………..4 分 ………………………………………...6 分 ………………………………………....8 分
2 (1 ? 2 )
n

(II) b n ? a n ? 1 ? log 2 a n ? 2 n ? n ? 1

可得 S n ? ( 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ... ? 2 n ) ? [1 ? 2 ? 3 ? ... ? ( n ? 1)] ?
? 2
n ?1

1? 2

?

( n ? 1) n 2

….......12 分

?2?

n(n ? 1 ) 2

…………………………………....13 分

17. (本小题共 13 分) 解: (I)由已知可得函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? 3 ,顶点为 ( 3 ,9 ) . .
? ? f (0) ? 0 ? ? b 方法一:由 ? ? ? 3 ? 2a ? 4 ac ? b 2 ? 9 ? 4a ?

..........2 分

得 a ? ? 1, b ? 6 , c ? 0
2 得 f ( x ) ? 6 x ? x , x ? [0, 6]

...........5 分 ...........6 分 ...........4 分 ...........5 分 ...........6 分
2

方法二:设 f ( x ) ? a ( x ? 3 ) ? 9
2

由 f ( 0 ) ? 0 ,得 a ? ? 1
f ( x ) ? 6 x ? x , x ? [0, 6]
2

(II) S ( t ) ?

1

OA ? AP ?

1

t ( 6 t ? t ), t ? ( 0 , 6 )

...........8 分 ...........9 分

2 2 3 2 3 S ' (t ) ? 6 t ? t ? t ( 4 ? t ) 2 2

高三年级数学(理科)考试参考答案 (第 2 页,共 5 页)

列表
t

(0, 4)

4 0 极大值

(4, 6)

S '( t )
S (t )





...........11 分

由上表可得 t ? 4 时,三角形面积取得最大值. 即 S ( t ) m ax ? S ( 4 ) ?
1 2 ? 4 (6 ? 4 ? 4 ) ? 1 6 .
2

...........13 分

18. (本小题共 14 分) 解: (I) a1 ?
1 2 , a2 ? 3 4 , a3 ? 7 8

…………………………………..3 分 ① ②

(II)由题可知: a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n ? n ? a n
a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ? 1 ? n ? 1 ? a n ? 1

②-①可得 2 a n ? 1 ? a n ? 1 即: a n ? 1 ? 1 ?
1 2 ( a n ? 1) ,又 a 1 ? 1 ? ? 1 2 1 2

…………………………..5 分 …………………………………..7 分

所以数列 { a n ? 1} 是以 ?

为首项,以

1 2

为公比的等比数列…………………..…..8 分 ………………………………………...9 分 ………………………………………...10 分

(Ⅲ)由(2)可得 a n ? 1 ? ( ) n ,
2
n

1

bn ?

n?2 2 n?2 2
n

由 bn ?1 ? bn ?

n ?1? 2 2
n ?1

?

?

n ? 1 ? 2(n ? 2) 2
n ?1

?

3?n 2
n ?1

? 0 可得 n ? 3

由 bn ? 1 ? bn ? 0 可得 n ? 3 所以 b1 ? b 2 ? b3 ? b 4 ? b5 ? ? ? b n ? ? 故 b n 有最大值 b3 ? b 4 ?
1 8
1 8

………………………………………....11 分

所以,对任意 n ? N * ,有 b n ? 如果对任意 n ? N * ,都有 b n ? 则 ( b n ) m ax ? t 2 ? 解得 t ?
1 2
1 4 t ,故有: 1 8

………………………………………....12 分
t ? t ,即 b n ? t ?
2 2 2

1 4

1 4

t 成立,

?t ?

1 4

t,

………………………………………....13 分

或t ? ?

1 4

高三年级数学(理科)考试参考答案 (第 3 页,共 5 页)

所以,实数 t 的取值范围是 ( ? ? , ? 19. (本小题共 14 分) 解: (I) 当 a ? 1 时, f ( x ) ?
f ?( x ) ? x ? 2x ? 3
2

1

1 ]? [ , ?) ? 4 2

………………………………14 分

x ? 3x
2

x ?1



………………1 分 ………………3 分

( x ? 1)

2

, x ? ?1
3 4

所以 f ( x ) 在点 (3, f (3)) 处的切线方程为 y ? (II)
2

( x ? 3) ,即 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 ………………5 分

x ? ?1

………..…………6 分
? [ x ? ( a ? 2 )]( x ? a ) ( x ? 1)
2 2

f ?( x ) ?

x ? 2 x ? a (a ? 2) ( x ? 1)
2



………..…………8 分

①当 a ? 0 时, (0, 2 ] 上导函数 f ? ( x ) ? 在

x ? 2x ( x ? 1)
2

?0, 所以 f ( x ) 在 [0, 2 ] 上递增, 可得 f ( x ) 的

最小值为 f (0) ? 0 ;………………………………………………………………..…………10 分 ②当 0 ? a ? 2 时,导函数 f ? ( x ) 的符号如下表所示
x

[0, a )

a

( a , 2]

f ?( x )



0 极小



f (x)
2 2

所以 f ( x ) 的最小值为 f ( a ) ?

a ? a (a ? 2) a ?1

? ?a ;
2

………………..………12 分

③当 a ? 2 时,在 [0, 2 ) 上导函数 f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [0, 2 ] 上递减,所以 f ( x ) 的最小值 为 f (2) ?
4 ? 2a (a ? 2) 3 ?? 2 3 a ?
2

4 3

a?

4 3

…………………..………14 分

20. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ) A1 有如下的三种可能结果: A1 : , ; A1 : , ; A1 : 0, …………………………3 分
3 2 2 3 7 1 1 1 1 5

(Ⅱ) ? a , b ? { x | ? 1 ? x ? 1} ,有
a?b ?1 ? ? ( a ? 1)( b ? 1) 1 ? ab ? 0且 a?b 1 ? ab ? ( ? 1) ? ( a ? 1)( b ? 1) 1 ? ab ? 0.

所以

1 ? ab a?b

1 ? ab

? { x | ? 1 ? x ? 1} ,即每次操作后新数列仍是 Γ 数列.

又由于每次操作中都是增加一项,删除两项,所以对 Γ 数列 A 每操作一次,项数就减少一 项,所以对 n 项的 Γ 数列 A 可进行 n ? 1 次操作(最后只剩下一项)……………………7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 A9 中仅有一项.

高三年级数学(理科)考试参考答案 (第 4 页,共 5 页)

对于满足 a , b ? { x | ? 1 ? x ? 1) 的实数 a , b 定义运算: a ? b ? 种运算满足交换律和结合律。 因为 a ? b ?
a?b 1 ? ab

a?b 1 ? ab

,下面证明这

,且 b ? a ?

b?a 1 ? ba
a?

,所以 a ? b ? a ? b ,即该运算满足交换律;

b?c

因为 a ? ( b ? c ) ? a ?

b?c 1 ? bc

?

1 ? bc ? a ? b ? c ? abc b?c 1 ? a b ? b c ? ca 1? a ? 1 ? bc a?b

且 (a ? b) ? c ?

?c a ? b ? c ? abc ? c ? 1 ? ab ? a?b 1 ? ab 1 ? a b ? b c ? ca 1? ?c 1 ? ab a?b

所以 a ? ( b ? c ) ? ( a ? b ) ? c ,即该运算满足结合律. 所以 A9 中的项与实施的具体操作过程无关 选择如下操作过程求 A9 : 由(Ⅰ)可知 易知 ?
5 7 ? 5 6
5 6

………………………………………..….12 分

1 2

?

1 3

?

5 7 1 4


? 1 4 ? 0 ;? 1 5 ? 1 5 ? 0 ;? 1 6 ? 1 6 ? 0;

5 7

? 0 ;?

所以 A 5 :

, 0, 0, 0, 0 ;

易知 A5 经过 4 次操作后剩下一项为 综上可知: A9 :
5 6

.

..............................................................................................14 分

说明:其它正确解法按相应步骤给分.

高三年级数学(理科)考试参考答案 (第 5 页,共 5 页)


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