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2017_2018学年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和课件新人教B版必修5_图文

2.2.2 等差数列的前n项和 课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.理解等差数列前 n 项和公式的推导过 程. 2.掌握等差数列前 n 项和公式. 3.熟练掌握等差数列 的五个量 a1,d,n,an,Sn 的关系. 一 二 三 四 一、等差数列的前n项和公式 【问题思考】 1.填空: 已知量 求和公式 首项、末项与项数 Sn= n (a 1 +a n ) 2 首项、公差与项数 Sn=na1+ n (n -1) 2 d (1 + ) 2 2.如何选用上述两个公式进行求和? 提示:(1)当已知首项 a1 和末项 an 及项数 n 时,用公式 Sn= 来求和,用此公式时常结合等差数列的性质. (2)当已知首项 a1 和公差 d 及项数 n 时,用公式 Sn=na1+ 来求和. (-1) d 2 一 二 三 四 3.做一做:(1)在等差数列{an}中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于( A.30 B.40 C.50 D.60 (2)已知等差数列{an}中,a1=-5,d=3,则S8=( ) A.44 B.40 C.15 D.5 答案:(1)C (2)A ) 一 二 三 四 二、等差数列的前n项和公式与函数的关系 【问题思考】 1.填空: 由于 Sn=na1+ 2 d=2n2+ 1 - 2 n, 当 d≠0 时,此公式可看作二次项系数为2,一次项系数为 1 - 2 , 2 常数项为 0 的二次函数,其图象为抛物线 y=2x + 1 - 2 x 上的点集, 坐标为(n,Sn)(n∈N+). 因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当 d<0时,Sn有最大值. (-1) 一 二 三 四 2.从函数的角度认识等差数列的前n项和,你有何新发现? 提示:(1)Sn=na1+2(n-1)d 可变形为 Sn=2dn2+ 1 - 2 n,令 1 2 d=A , a 1 =B,则 Sn=An +Bn(A 为常数),并且有如下结论:数列{an}是 2 2 等差数列?Sn=An2+Bn(A,B 为常数). (2) =a1+2(n-1),这说明 1 是等差数列. 一 二 三 四 3.做一做:在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅 当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为 . 解析:由题意知当d<0时,Sn存在最大值, ∵a1=7>0, ∴数列{an}中所有非负项的和最大. 又当且仅当n=8时,Sn取最大值, > 0, 7 + 7 > 0, 7 ∴ 8 ∴ 解得-1<d<-8. 9 < 0. 7 + 8 < 0, 答案: 7 -1,8 一 二 三 四 三、等差数列前n项和的性质 【问题思考】 1.填空: 等差数列的依次连续每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…成等差数列. ' 2.做一做:已知两个等差数列{an}与{bn},它们的前 n 项和的比 = +1,求10 . 10 +3 解法一:利用等差数列的性质, 10 得 10 = 法二:设 Sn=kn(n+3),S'n=kn(n+1), 所以10 = 10 19 2 (1 +19 ) 19 2 (1 +19 ) = 19 ' 19 = 19+3 19+1 = 11 . 10 11 10 -9 ' 10 -' 9 = · 10(10+3)-· 9(9+3) · 10(10+1)-· 9(9+1) = 10. 一 二 三 四 四、有关等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 【问题思考】 1.填空: (1)当等差数列{an}有偶数项时,设项数为 2n, 设 S 偶=a2+a4+a6+…+a2n, S 奇=a1+a3+a5+…+a2n-1, ①-②,得 S 偶-S 奇=nd. ①+②,得 S 偶+S 奇=S2n. ① ② ① ② ,得 = 奇 偶 2(2 +2 ) 2(1 +2-1 ) +1 +1 = 2 = . 2 一 二 三 四 (2)当等差数列{an}有奇数项时,设项数为 2n+1, 设 S 奇=a1+a3+a5+…+a2n+1, S 偶=a2+a4+a6+…+a2n, ③-④,得 S 奇-S 偶=a1+nd=an+1. ③+④,得 S 偶+S 奇=S2n+1=(2n+1)an+1. ③ ④ ③ ④ ,得 = 偶 奇 +1 2 (1 +2+1 ) 2(2 +2 ) = (+1)+1 +1 = . 偶 奇 +1 综上,等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质: 当项数为 2n 时,S 偶-S 奇=nd,S 偶+S 奇=S2n, = +1 ;当项数为 奇 偶 2n+1 时,S 奇-S 偶=a1+nd=an+1,S 偶+S 奇=S2n+1=(2n+1)an+1, = (+1)+1 +1 = . +1 一 二 三 四 2.做一做:一个等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项和 之比为1∶2,则公差d等于 . 解析:前 20 项中,S 奇=3×75=25,S 偶=3×75=50.又 S 偶-S 奇=10d, 1 2 ∴d= 50-25 10 5 答案: 2 = 2. 5 一 二 三 四 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打 “×”. (1)公式an=Sn-Sn-1对任意的n∈N+均成立. ( ) (2)等差数列的前n项和一定是关于n的二次函数. ( ) (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列 为等差数列. ( ) (4)在等差数列{an}中,若a1<0,d>0,则该数列的前n项和存在最大 值. ( ) (5)若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c,则该数列一定不是等

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