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用基本不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重 要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ① a ? b ? 2ab ? ab ?

2 2

a2 ? b2 当且仅当 a = b 时，“=”号成立； (a、b ? R)， 2

2

?a?b? ? ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ? 当且仅当 a = b 时，“=”号成立； ? (a、b ? R )， 2 ? ?

③ a ? b ? c ? 3abc ? abc ?

3 3 3

a3 ? b3 ? c3 (a、b、c ? R ? )， 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立； 3

?a?b?c? ? ? (a、b、c ? R ) ,当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 3 ? ?

3

④ a ? b ? c ? 33 abc ? abc ? ?

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 。 2

二、函数 f ( x) ? ax ? (1)函数 f ( x) ? ax ?

b (a、b ? 0) 图象及性质 x

y

? b 2 ab a

b x b x

?a、b ? 0? 图象如图： ?a、b ? 0? 性质：

o

? 2 ab

x

b a

(2)函数 f ( x) ? ax ?

①值域： (??,?2 ab ] ? [2 ab ,??) ； ②单调递增区间： ( ??, ?

b b ]，[ , ??) ；单调递减区间： (0, a a

b b , 0) . ] ， [? a a

-1-

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、 已知 x ?

5 ，求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

练习 （1） y ?

1 1 x 2 ? 3x ? 1 , x ? (0, ? ) , x ? 3 (3) y ? 2sin x ? , ( x ? 0) （2） y ? 2 x ? sin x x x ?3

类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、 当 时，求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

练习 ① y ? x 2 (3 ? 2 x)(0 ? x ? )

3 2

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例 3、若 x、y ? R ? ，求 f ( x) ? x ?

4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x

类型Ⅳ：条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足

8 1 ? ? 1 ，求 x ? 2 y 的最小值。 x y

-2-

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、y 满足 xy ? x ? y ? 3 ，试求 xy 、 x ? y 的范围。

类型

条件求最值

a b

例 6、若实数满足 a ? b ? 2 ，则 3 ? 3 的最小值是

练习 若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ，求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数； 二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不 出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错； 三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

-3-

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