北京市燕山地区2013年初中毕业暨一模考试

北京市燕山地区 2013 年初中毕业暨一模考试 数学试卷
学校
考 生 须 知

2013 年 5 月
成绩

班级

姓名

1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．答题纸共 6 页，在规定位置准确填写学校名称、班级和姓名。 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4．考试 结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。

一、选择题（下面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共 32 ．．．． 分，每小题 4 分） 1．若实数 a 与－3 互为相反数，则 a 的值为 A．

1 3
、 海

B．0.3

C．－3

D．3

2．春节假期，全国收费公路 7 座以下小型客车实行免费通行．据交通运输部统计，春节期间，全国收费公路(除四川、 西 藏 南 外 ) 共 免 收 通 行 费 8 4 6 0 0 0 0 0 0 元 ． 把

846 000 000 用科学记数法表示应为 A．0.846×108 C．8.46×108 A．7 B．8 B．8.46×107 D．846×106
主视图 左视图

3．已知某多边形的每一个外角都是 40°，则它的边数为 C．9 D．10

4．右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是 A． 圆锥 B．圆柱 C．长方体 D． 三棱锥

俯视图

5．燕山地区现有小学 7 所，初中校 4 所，高中校 1 所，现从这些学校中随机抽取 1 所学校对学生进行视力调查，抽取 的学校恰好为初中校的概率是 A．

1 12

B．

1 3

C．

7 12

D．

2 3
连接 BE 与对角线 AC 相交于
A E M B C D

6． 如图， 在□ABCD 中， AD=6， 点 E 在边 AD 上， 且 DE=3， 点 M，则
AM 的值为 MC

1 A． 2

1 B． 3

1 C． 4

1 D． 9

7．在一次体育达标测试中，九年级(3)班的 15 名男同学的引体向上成绩如下表所示： 成绩（个） 人数 8 1 9 2 11 3 12 4 13 3 15 2

这 15 名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是 A．12，13
y
16 16

B．12，12
y y

C．11，12

D．3，4 8． 如图，点 P 是⊙O 的弦 AB
y
16

B P A C

上任一点(与 A，B 均不重合)， 点 C 在⊙O 上，PC⊥OP，已知 AB=8，设 BP＝x，PC2＝y， y

O

4 O 4 8

x

O

4

8

x

O

4

8

x

O

4

8

x

与 x 之间的函数图象大致是

A．
3

B．

C．

D．

二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．分解因式： mn ? 4mn＝
2

. . 它靠在一侧墙上时， 梯子的顶
A D

10．把代数式 x2－4x－5 化为(x－m) ＋k 的形式，其中 m，k 为常数，则 2m－k＝ 11．如图，在一间房子的两墙之间有一个底端在 P 点的梯子，当 端在 A 点；当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在 D 点．已知 点 A 到地面的垂直距离为 2.4 米，则点 D 到地面的垂直距离 米(精确到 0.1). 12．如图，已知直线 l1 ： y ? ? x ? 2 与 l2 ： y ?
B P C

∠APB＝45° ，∠DPC＝30° ， 约是

1 1 x ? ，过直线 l1 与 x 轴的交点 P1 2 2
l1 y

[来源:学科网]

作 x 轴的垂线交 l 2 于 Q1 ，过 Q1 作 x 轴的平行线交 l1 于 P2 ， 交 l 2 于 Q2 ，过 Q2 作 x 轴的平行线交 l1 于 P3 ，??，这样一 上继续得到点 P 4 ，P 5 ，?， P n ，?．设点 P n 的横坐标为 xn ，

再过 P2 作 x 轴的垂线
l2
P2 Q3 Q2 P3 P1 Q1

直作下去 ，可在直线 l1 则 x2
x

O

＝

， xn ?1 与 xn 的数量关系

是

．

三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）

?1? 13．计算： 27 ? ? ? ? 2 cos30? ? (? ? 3)0 ． ? 3?
14． 解不等式 2 x ? 3 <
-4 -3 -2 -1 0

?1

x ?1 错误！未找到引用源。 ，并把解集在数轴上表示出来． 3
1 2 3 4
A F B C D E

15． 求证：AB＝DE．

如图，点 A，F，C，D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在

直线 AD 的两侧，且 BC∥EF，∠A＝∠D，AF＝DC．

2 16．已知 x ? 4 x ? 1 ? 0 ，求代数式 (

x?3 1 x2 ? 4 ? )? 的值． x?2 2? x 3

17．如图，直线 y＝2x－1 与反比例函数 y ? 知点 A 的坐标为(－1，m)． ⑴ 求反比例函数的解析式；

k 的图象交于 A，B x

y
B O C

两点，与 x 轴交于 C 点，已

x

⑵ 若 P 是 x 轴上一点， 且满足△PAC 的面积是 6，直接 写出点 P 的坐标． 18． 列方程或方程组解应用题:

A

由于面临严重的能源危机，世界各国都在积极研究用生物柴油替代石油产品，微藻是一种非常有潜力的生物 柴油来源．据计算，每公顷微藻的年产柴油量约为每公顷大豆年产柴油量的 110 倍．我国某微藻养殖示范基地的 一块试验田投产后年产柴油量可达 2200 万升， 而一块 面积比微藻试验田大 500 公顷的大豆试验田， 年产柴油量却 只有 40 万升．求每公顷微藻年产柴油量约为多少万升？ 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，四边形 ABCD 中，∠ADC ＝∠B ＝90°，
B E A D

∠C ＝ 60°，AD＝ 3 ，E 为 DC 中点，AE∥BC．
C

求 BC 的长和四边形 ABCD 的面积． 20．如图，△ABC 中，AC ＝B C 错误！未找到引用 B C 为直径作⊙O 交错误！未找到引用源。于点
D A F G

．以 源。错误！未找到引用源。 ，交错 错误！未找到引用源。 到引用源。交 AC 错误！未找
C

误！未找到引用源。于点 G．作直线错误！未找 ，交错误！ 到引用源。于点错误！未找到引用源。 ． 错误！未找到引用源。 ⑴求证：直线 EF 是错误！未找到引用源。的切线； ⑵若 BC＝6，AB＝4 3 ，求 DE 的长．
E B O

未找到引用源。的延长线于点

21．加快新能源和可再生能源发展是建设高效低碳的首都能源体系和“绿色北京”的重要支撑．“十一五”以来，北京 市新能源和可再生能源开发利用步伐不断加快，产业规模不断扩大．以下是根据北京市统计局发布的有关数据制作 的统计图表的一部分．
“十一五”期间北京市新能源和可再生能源消费量统计图 2010 年北京市各类能源消费量占 能源消费总量的百分比统计图
新能源和可 再生能源3.2% 煤炭 30.3% 油品 30.3% 电力 23.1% 天然气 13.1%

2010 年北京市新能源和可再生能源消费量及结构统计表 类 别 消费量(万吨标准煤) 太阳能 98 生物质能 36 地热能 78.5 风能 8 水能 2.8

注：能源消费量的单位是万吨标准煤，简称标煤． 请你结合上面图表中提供的信息解答下列问题： ⑴补全条形统计图并在图中标明相应数据； ⑵2010 年北京市能源消费总量约是多少万吨标煤（结果精确到百位）？

⑶根据北京市“十二五”规划，到 2015 年，本市能源消费总量比 2010 年增长 31%，其中新能源和可再生能源利 用量占全市能源消费总量的 6%．已知使用新能源每替代一万吨标煤，可减少二氧化碳排放量约为 2 万吨，请问 到 2015 年，由于新能源和可再生能源的开发利用，北京市可减少二氧化碳排放量约为多少万吨？ 22．阅读下列材料： 问题：如图⑴，已知正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，且 ∠EAF ＝45° ． 判断线段 BE、EF、FD 之间的数量关系，并说明理由． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．
A D

A

D

A

F

F G

H

B

E

C

B

E

C

E

G

F

图⑴

图⑵

图⑶

请你参考小明同学的思路，解决下列问题： ⑴ 图⑴中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系是 ；

⑵ 如图⑵，已知正方形 ABCD 边长为 5，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，且 ∠EAF＝45° ，AG⊥EF 于点 G，则 AG 的长为 ，△EFC 的周长为 ； ．

⑶ 如图⑶， 已知△AEF 中， ∠EAF＝45° ， AG⊥EF 于点 G， 且 EG＝2， GF＝3， 则△AEF 的面积为 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．己知二次函数 y1 ? x ? 2tx ? (2t ? 1) (t >1)的图象为抛物线 C1 ．
2

⑴求证：无论 t 取何值，抛物线 C1 与 x 轴总有两个交点； ⑵已知抛物线 C1 与 x 轴交于 A、 B 两点(A 在 B 的左
y

侧)，将抛物线 C1 作适当的平 的对应点分别为 D(m， n)， E(m
2 1

移，得抛物线 C2 ： y2 ? ( x ? t ) ，平移后 A、B
2

＋2，n)，求 n 的值． ⑶在⑵的条件下，将抛物线 C2 位于直线 DE 下方的 连同 C2 在 DE 上方的部分组成一个新图形， 记为
-1

部分沿直线 DE 向上翻折后，
1 2 3

O -1

x

图形 G ，若直线 点，请结合图象求 b 的取值范

1 y ? ? x ? b (b<3)与图形 G 有且只有两个公共 2
围．

24．如图⑴，两块等腰直角三角板 ABC 和 DEF，∠ABC ＝∠DEF ＝ 90° ，点 C 与 EF 在同一条直线 l 上，将三角板 A B C 绕 点 C 逆 时 针 旋 转

?

角

(

0? ? ? ? 90?

)

得

到

△ A' B ' C ．设 EF＝2，BC＝1，CE＝x． ⑴如图⑵，当 ? ? 90? ，且点 C 与点 F 重合时，连结 EB ' ，将直线 EB ' 绕点 E 逆时针旋转 45° ，交直线 A' D 于点 M，请补全图形，并求证： A' M ＝DM． ⑵如图⑶， 当 0? ? ? ? 90? ， 且点 C 与点 F 不重合时， 连结 EB ' ， 将直线 EB ' 绕点 E 逆时针旋转 45° ， 交直线 A' D 于点 M，求
D A' A B'
A

A' M 的值（用含 x 的代数式表示） ． DM
D

[来源:学&科&网]

D M A'

B'

25．定义：对于平面直角坐标系中的任意线段 AB 及点 P，任取线段 ．．AB 上一点 Q，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到 线段 ． ．．AB 的距离，记作 d（P→AB） 已知 O 为坐标原点，A(4，0)，B(3，3)，C(m，n)，D(m＋4，n)是平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解 答下列问题： ⑴点 A 到线段 OB 的距离 d(A→OB) ＝ ； ．

⑵已知点 G 到线段 OB 的距离 d（G→OB）＝ 5 ，且点 G 的横坐标为 1，则点 G 的纵坐标为 ⑶当 m 的值变化时，点 A 到动线段 CD 的距离 d (A→CD)始终为 2，线段 CD 的中点为 M． ①在图⑵中画出点 M 随线段 CD 运动所围成的图形并求出该图形的 面积．

②点 E 的坐标为(0，2)，m>0，n>0，作 MH⊥x 轴，垂足为 H．是否存在 m 的值，使得以 A、M、H 为顶点的三 角形与△AOE 相似，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．

y
4 3 2 1 -1 O 1 -1 2 3 A B

y
3 2 1

y
3 E 1 2 3 A

x

-1 O 1 -1 -2

x

-1 O 1 -1 -2

2 3 A

x

图⑴

图⑵

图⑶

北京市燕山地区 2013 年初中毕业暨一模考试 数学试卷参考答案及评分标准
说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分． 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） DCCA BABA

2013.05

二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．mn(n＋2)(n－2) 10．13 11．1.7 12．

1 ； xn ? 2 xn?1 ? 3 2

[来源:学科网]

三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式＝3 3 －3—2×

3 ＋1 2

?????????4 分 ?????????5 分 ?????????1 分 ?????????2 分

＝2 3 －2． 14．解：3(2x－3)＜x＋1， 6x－9＜x＋1，

5x＜10， x＜2． ∴原不等式的解集为 x＜2． 在数轴上表示为 ： 15．证明 ：∵AF＝DC， ∴ AF＋FC＝DC＋CF，即 AC＝DF． 又∵BC∥EF，∴∠BCA＝∠DFE， 在△ABC 和△DEF 中， ∠A＝∠D，∠BCA＝∠DFE， AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（ASA） ， ∴AB＝DE． 16．解：原式＝ (

?????????3 分 ?????????4 分 ?????????5 分 ?????????1 分 ?????????2 分

?????????4 分 ?????????5 分

x?3 1 3 ? )? x ? 2 x ? 2 ( x ? 2)(x ? 2)

＝

x?2 3 ? x ? 2 ( x ? 2)(x ? 2)
3 3 ＝ 2 ． 2 x ? 4x ? 4 ( x ? 2)
2

＝

?????? ???3 分

∵ x ? 4 x ? 1 ? 0 ，∴ x ? 4 x ? ?1，
2

∴ 原式＝

3 ＝1． ?1? 4

?????????5 分

17．解：⑴∵点 A(－1，m)在直线 y＝2x－1 上， ∴m＝2×(-1)－1＝－3， ∴点 A 的坐标为(－1，－3)． ∵点 A 在函数 y ? ?????????1 分

k 的图象上， x
?????????2 分

∴ k＝－1×(－3)＝3， ∴反比例函数的解析式为 y ? ⑵点 P 的坐标为(－

3 ． x

?????????3 分 ?????????5 分

7 9 ，0)或( ，0)． 2 2

18．解：设每公顷大豆年产柴油量约为 x 万升，则每公顷微藻年产柴油量约为 110x 万升， 根据题意得， ?????????1 分 ?????????2 分 ?????????3 分

40 2200 ? ? 500 ， x 110 x
解得：x＝0.04．

经检验：x＝0.04 是原方程的解，并符合题意． ?????????4 分 ∴110x＝110×0.04＝4.4(万升)． 答：每公顷微藻年产柴油量约为 4.4 万升． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解： 过 E 作 EF⊥BC 于 F， ∵∠B＝90°，∴AB∥EF， ∵AE∥BC，∠B＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形． ∵AE∥BC，∴∠AED＝∠C＝60°． 在 Rt△ADE 中，∠ADC＝90°，AD＝ 3 ，
B F E A D

?????????5 分

C

∴DE＝

AD AD 3 ＝1，AE＝ ＝2． ? sin 60 ? tan60? 3

?????????1 分

又∵E 为 DC 中点，∴CE＝DE＝1， 在 Rt△CEF 中，∠CFE＝90°，∠C＝60°， ∴CF＝CE·cos 60°＝

1 3 ，EF＝CE·sin 60°＝ ．?????????2 分 2 2 1 5 ＝ ． 2 2
?????????3 分

∴BC＝BF＋CF＝AE＋CF＝2＋

∴四边形 ABCD 的面积 S四边形ABCD ＝ S ?ADE ＋ S梯形ABCE ＝

1 1 AD·DE＋ (AE ＋ BC)·EF 2 2 1 1 5 3 × 3 ×1＋ ×(2＋ )× 2 2 2 2

＝

＝

13 3 ． 8
[来源:学§科§网]

?????????5 分
A F D G

20．⑴证法一：如图，连结 OD， ∴∠A＝∠ABC ∵OD＝OB， ∴∠ABC＝∠BDO， ∴∠BDO＝∠A， ∴OD∥AC，

∵AC＝BC 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ，

E

B

O

C

?????????1 分 ?????????2 分

∵ DF ? AC ，∴错误！未找到引用源。 ， ∴直线错误！未找到引用源。是⊙O 的切线．

证法二：如图，连结 OD，CD， ∵BC 是⊙O 直径，∴∠BDC＝90°，即 CD⊥AB． ∵AC＝BC 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ， ∴AD＝BD，即 D 是 AB 的中点． ?????????1 分 ∵O 是 BC 的中点， ∴DO∥AC． ∵错误！未找到引用源。⊥AC 于 F ， ∴ EF ? DO ， ∴直线错误！未找到引用源。是⊙O 的切线． ?????????2 分
E B O D G A F

C

⑵解法一：如图，连结 CD，由⑴证法二，∠BDC＝90°，D 是 AB 的中点，AB＝4 3 ， ∴AD＝BD＝2 3 ． 在 Rt△ADC 中，AC＝6，AD＝2 3 ， 由勾股定理得：CD＝ AC 2 ? AD2 ＝2 6 ， 又∵错误！未找到引用源。⊥AC， ∴DF＝ ??????3 分
E B D G A F

O

C

AD ? CD ＝ 2 3 ? 2 6 ＝2 2 ， AC 6
???????4 分

∴CF＝ CD2 ? DF 2 ＝4，

又∵DO∥CF， ∴

ED OD ED 3 ，即 ? ? ， EF CF ED ? 2 2 4
?????????5 分

解得 ED＝6 2 ．

解法二：如图，连结 OD，CD，错误！未找到引用源。 ， 同解法一得∠BDC＝90°，CD＝2 6 ， ?????????3 分

∵错误！未找到引用源。是⊙O 直径，∴∠BGC＝90°， 在△ABC 中，有 ∴BG＝

1 1 ? AB ? CD ＝ ? AC ? BG ， 2 2
?????????4 分
A F D G
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

AB ? CD ＝ 4 3 ? 2 6 ＝4 2 ， AC 6

又∵∠BGC＝∠CFE＝90°错误！未找到引用源。 ， ∴错误！未找到引用源。 ，∴∠E＝∠GBC．

错误！未找到引用源。在 Rt△BGC 中，错误！未找到引用源。BC＝6，BG＝4 2 ， ∴CG＝ BC2 ? BG2 ＝2， tan∠GBC＝
E B O

C

CG 1 ＝ ， BG 3
1 1 BC＝3，tan∠E＝tan∠GBC＝ ， 2 3

错误！未找到引用源。在 Rt△EOD 中，OD＝ ∴ED＝

OD ＝6 2 ． tan ?E

?????????5 分

21．解：⑴ 补全统计图如右图，所补数据为 98＋36＋78.5＋8＋2.8 ＝223.3． ⑵ 2010 年北京市总能耗量约是 223.3÷3.2%≈7000(万吨标煤)．???3 分 ⑶到 2015 年，由于新能源和可再生能源的开发 利用北京市可减少二氧化碳排放量约为 7000×（1＋31%）×6%×2＝1100.4（万吨） ．?????????5 分 22．⑴线段 BE、EF、FD 之间的数量关系是 EF＝BE＋FD ；?????????1 分 ⑵AG 的长为 5 ，△EFC 的周长为 10 ； ⑶△AEF 的面积为 15 ． ?????????3 分 ?????????5 分 ???2 分

五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23．⑴ 令 y1 ? 0 ，得△＝ (?2t ) ? 4(2t ?1) ? 4t ? 8t ? 4 ? 4(t ?1) ， ????1 分
2 2 2

∵t >1，∴△＝ 4(t ? 1) >0，
2

∴无论 t 取何值，方程 x ? 2tx ? (2t ?1) ? 0 总有两个不相等的实数根，
2

∴无论 t 取何值，抛物线 C1 与 x 轴总有两个交点． ⑵解法一：解方程 x ? 2tx ? (2t ?1) ? 0 得，
2

?????????2 分

x1 ? 1 ， x2 ? 2t ? 1，
∵t >1，∴ 2t ? 1 ? 1 ．得 A(1，0)，B( 2t ? 1 ，0)，

?????????3 分

∵D(m，n)，E(m＋2，n)， ∴DE＝AB＝2， 即 2t ? 1 ? 1 ? 2 ，解得 t ? 2 ． ∴二次函数为 y1 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ( x ? 2)2 ? 1， 显然将抛物线 C1 向上平移 1 个单位可得抛物线 C2 ： y2 ? ( x ? 2) 2 ， 故 n ? 1． 解法二：∵D(m，n)在抛物线 C2 ： y2 ? ( x ? t )2 上， ∴ n ? (m ? t )2 ，解得 m ? t ? n ， ∴D( t ? n ，n)，E( t ? n ，n)， ∵DE＝2，∴ t ? n －( t ? n )＝ 2 n ＝2， 解得 n ? 1 ．
2

?????????4 分

?????????5 分

?????????3 分

?????????4 分 ?????????5 分

⑶由⑵得抛物线 C2 ： y2 ? ( x ? 2) ，D(1，1)，E(3，1)， 翻折后，顶点 F(2，0)的对应点为 F＇(2，2)， 如图，当直线 y ? ? 此时 b ?

1 x ? b 经过点 D(1，1)时，记为 l1 ， 2

3 ，图形 G 与 l1 只有一个公共点； 2 1 5 当直线 y ? ? x ? b 经过点 E(3，1)时，记为 l2 ，此时 b ? ，图形 G 与 l2 有三个公共点； 2 2 1 当 b ? 3 时，由图象可知， 只有当直线 l : y ? ? x ? b 位于 l1 与 l2 之间时， 图形 G 与直线 l 有且只有两个公共点， 2 3 5 ∴符合题意的 b 的取值范围是 ? b ? ． ?????????7 分 2 2
?????????1 分
D M A' B' A

24．解：⑴补全图形如右图⑴． ② 如图⑵，连结 AE， ∵△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形， ∠ABC＝∠DEF＝90° ，AB＝1，DE＝2， ∴BC＝1，EF＝2，∠DFE＝∠ACB＝45° ． ∴ A' C ? AC ? 2 ， DF ? 2 2 ， ? EFB ' ＝90° ． ∴ A' D ? DF ? A' C ? 2 ， ∴点 A' 为 DF 的中点． ∴ EA ' ⊥DF， EA ' 平分∠DEF． ∴ ?MA ' E ＝90° ， ?A' EF ＝45° ， A' E ? 2 ． ∵ ?MEB ' ＝ ?A' EF ＝45° ， ∴ ?MEA ' ＝ ?B ' EF , ∴Rt△ MA ' E ∽Rt△ B' FE ， ∴
E D M A'

E

图⑴

F(C)

B

l

?????????2 分

B'

A

F(C)

B

l

图⑵ ?????????3 分

A' M A' E ＝ ，∴ A' M ? 2 ， B' F EF 2

∴ DM ? A' D ? A' M ? 2 ? 2 ? 2 ， 2 2 ∴ A' M ＝ DM ． ?????????4 分
G D M

⑵如图⑶，过点 B ' 作 B ' G ⊥ B ' E 交直线 EM 于点 G，连结 A' G ．

∵ ?EB ' G ＝90° ， ?B ' EM ＝45° ，∴ ?B' GE ＝45° ． ∴ B' E ＝ B' G ． ∵ ?A' B' C ＝ ?EB ' G ＝90° ，∴ ?A' B ' G ＝ ?CB' E ． 又∵ B ' A' ＝ B' C ， ∴△ A' B ' G ≌△ CB' E ． ?????????5 分 ∴ A' G ＝CE＝x， ?A' GB ' ＝ ?CEB ' ． ∵ ?A' GB ' ＋ ?A' GM ＝ ?CEB ' ＋ ?DEM ＝45° ， ∴ ?A' GM ＝ ?DEM ， ∴ A' G ∥DE． ∴ ??????????6 分

A' M A' G x ? ? ． DM DE 2

??????????7 分
y
C2 M2 C1 M1

25．解：⑴点 A 到线段 OB 的距离 d(A→OB)＝ 2 2 ； ??1 分 ⑵点 G 的纵坐标为 －2 或 1 ? 10 ． ?????3 分

1 -1 O -1 C3 1 M3 A C4 M4 F

x

⑶①如图⑴，当点 C 在以 A 为圆心，半径为 2 的⊙A 的右半圆上时，点 M 在圆弧 M1FM4 上运动； 当点 C 从 C1 到 C2 时，点 M 在线段 M1M2 上运动； 当点 C 从 C4 到 C3 时，点 M 在线段 M4M3 上运动；

图⑴

当点 D 在以 A 为圆心，半径为 2 的⊙A 的左半圆上时，点 M 在圆弧 M2OM3 上运动； ∴点 M 随线段 CD 运动所围成的封闭图形是图中实线部分，面积为 16+4π． ???5 分 ②存在． 由 A(4，0)，E(0，2)，得

OE 2 1 ? ? ． OA 4 2

y
E 1 -1 O -1 1 H2 A H1 F M2 M M M1

（i）当点 M 位于左侧圆弧上时，m≤0，不合题意； （ii）如图⑵，当点 M 位于线段 M1M2 上时， ∵MH＝2，∴只要 AH＝1，就有△AOE∽△MHA， 此时 OH1＝5，OH2＝3． ∵点 M 为线段 CD 的中点，CD=4， ∴OH1＝5 时，m＝3；OH2＝3 时，m＝1．

x

图⑵

?????????? 7 分

（iii）解法一：如图⑶，当点 M 位于右侧圆弧 M1FM4 上 时，连结 GM，其中点 G 是圆弧的圆心，坐标为（6，0） ． 设 MH3＝x，∵AH3> M3H3 ∴AH3＝2x，∴GH3＝2x－2，又 GM＝2， 在 Rt△MGH3 中，由勾股定理得： (2 x ? 2) ? x ? 2 ，
2 2 2

y
E 1 -1 O -1 1 A G H3 F M2 M1 M

x

M M 8 ， x2 ? 0 （不合题意，舍去） ， 图⑶ 5 36 16 此时 AH 3 ? ， OH 3 ? OA ? AH 3 ? ， 5 5 26 ∵点 M 为线段 CD 的中点，CD=4，∴m＝ ． 5 26 综上所述，存在 m＝1 或 m＝3 或 m＝ ，使得以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似． 5

解得 x1 ?

3

4

?????????8 分 解法二：如图⑶，当点 M 位于右侧圆弧 M1FM4 上时，连结 GM，其中点 G 是圆弧的圆心，坐标为（6，0） ． 设 OH3＝x，则 GH3＝x－6．又 GM＝2，
2 2 2 ∴M3H3＝ GM 3 ? GH3 ＝ 2 ? ( x ? 6) ＝ ? x ? 12x ? 32

2

2

∵AH3> M3H3 ∴△AOE∽△A H3M3， 则

2 AH3 x?4 2 ＝ ＝ ，即 5 x ? 56x ? 144 ? 0 ， 2 M 3H3 ? x ? 12x ? 32 1

解得 x1 ?

36 26 ， x2 ? 4 （不合题意，舍去） ，此时 m＝ ． 5 5 26 综上所述，存在 m＝1 或 m＝3 或 m＝ ，使得以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似． 5
?????????8 分