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北京市燕山地区2013年初中毕业暨一模考试


北京市燕山地区 2013 年初中毕业暨一模考试 数学试卷
学校
考 生 须 知

2013 年 5 月
成绩

班级

姓名

1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2.答题纸共 6 页,在规定位置准确填写学校名称、班级和姓名。 3.试题答案一律书写在答题纸上,在试卷上作答无效。 4.考试 结束,请将答题纸交回,试卷和草稿纸可带走。

一、选择题(下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的,请将正确答案前的字母写在答题纸上;本题共 32 .... 分,每小题 4 分) 1.若实数 a 与-3 互为相反数,则 a 的值为 A.

1 3
、 海

B.0.3

C.-3

D.3

2.春节假期,全国收费公路 7 座以下小型客车实行免费通行.据交通运输部统计,春节期间,全国收费公路(除四川、 西 藏 南 外 ) 共 免 收 通 行 费 8 4 6 0 0 0 0 0 0 元 . 把

846 000 000 用科学记数法表示应为 A.0.846×108 C.8.46×108 A.7 B.8 B.8.46×107 D.846×106
主视图 左视图

3.已知某多边形的每一个外角都是 40°,则它的边数为 C.9 D.10

4.右图是某个几何体的三视图,则这个几何体是 A. 圆锥 B.圆柱 C.长方体 D. 三棱锥

俯视图

5.燕山地区现有小学 7 所,初中校 4 所,高中校 1 所,现从这些学校中随机抽取 1 所学校对学生进行视力调查,抽取 的学校恰好为初中校的概率是 A.

1 12

B.

1 3

C.

7 12

D.

2 3
连接 BE 与对角线 AC 相交于
A E M B C D

6. 如图, 在□ABCD 中, AD=6, 点 E 在边 AD 上, 且 DE=3, 点 M,则
AM 的值为 MC

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 9

7.在一次体育达标测试中,九年级(3)班的 15 名男同学的引体向上成绩如下表所示: 成绩(个) 人数 8 1 9 2 11 3 12 4 13 3 15 2

这 15 名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是 A.12,13
y
16 16

B.12,12
y y

C.11,12

D.3,4 8. 如图,点 P 是⊙O 的弦 AB
y
16

B P A C

上任一点(与 A,B 均不重合), 点 C 在⊙O 上,PC⊥OP,已知 AB=8,设 BP=x,PC2=y, y

O

4 O 4 8

x

O

4

8

x

O

4

8

x

O

4

8

x

与 x 之间的函数图象大致是

A.
3

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.分解因式: mn ? 4mn=
2

. . 它靠在一侧墙上时, 梯子的顶
A D

10.把代数式 x2-4x-5 化为(x-m) +k 的形式,其中 m,k 为常数,则 2m-k= 11.如图,在一间房子的两墙之间有一个底端在 P 点的梯子,当 端在 A 点;当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在 D 点.已知 点 A 到地面的垂直距离为 2.4 米,则点 D 到地面的垂直距离 米(精确到 0.1). 12.如图,已知直线 l1 : y ? ? x ? 2 与 l2 : y ?
B P C

∠APB=45° ,∠DPC=30° , 约是

1 1 x ? ,过直线 l1 与 x 轴的交点 P1 2 2
l1 y

[来源:学科网]

作 x 轴的垂线交 l 2 于 Q1 ,过 Q1 作 x 轴的平行线交 l1 于 P2 , 交 l 2 于 Q2 ,过 Q2 作 x 轴的平行线交 l1 于 P3 ,??,这样一 上继续得到点 P 4 ,P 5 ,?, P n ,?.设点 P n 的横坐标为 xn ,

再过 P2 作 x 轴的垂线
l2
P2 Q3 Q2 P3 P1 Q1

直作下去 ,可在直线 l1 则 x2
x

O



, xn ?1 与 xn 的数量关系





三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)

?1? 13.计算: 27 ? ? ? ? 2 cos30? ? (? ? 3)0 . ? 3?
14. 解不等式 2 x ? 3 <
-4 -3 -2 -1 0

?1

x ?1 错误!未找到引用源。 ,并把解集在数轴上表示出来. 3
1 2 3 4
A F B C D E

15. 求证:AB=DE.

如图,点 A,F,C,D 在同一直线上,点 B 和点 E 分别在

直线 AD 的两侧,且 BC∥EF,∠A=∠D,AF=DC.

2 16.已知 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,求代数式 (

x?3 1 x2 ? 4 ? )? 的值. x?2 2? x 3

17.如图,直线 y=2x-1 与反比例函数 y ? 知点 A 的坐标为(-1,m). ⑴ 求反比例函数的解析式;

k 的图象交于 A,B x

y
B O C

两点,与 x 轴交于 C 点,已

x

⑵ 若 P 是 x 轴上一点, 且满足△PAC 的面积是 6,直接 写出点 P 的坐标. 18. 列方程或方程组解应用题:

A

由于面临严重的能源危机,世界各国都在积极研究用生物柴油替代石油产品,微藻是一种非常有潜力的生物 柴油来源.据计算,每公顷微藻的年产柴油量约为每公顷大豆年产柴油量的 110 倍.我国某微藻养殖示范基地的 一块试验田投产后年产柴油量可达 2200 万升, 而一块 面积比微藻试验田大 500 公顷的大豆试验田, 年产柴油量却 只有 40 万升.求每公顷微藻年产柴油量约为多少万升? 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.如图,四边形 ABCD 中,∠ADC =∠B =90°,
B E A D

∠C = 60°,AD= 3 ,E 为 DC 中点,AE∥BC.
C

求 BC 的长和四边形 ABCD 的面积. 20.如图,△ABC 中,AC =B C 错误!未找到引用 B C 为直径作⊙O 交错误!未找到引用源。于点
D A F G

.以 源。错误!未找到引用源。 ,交错 错误!未找到引用源。 到引用源。交 AC 错误!未找
C

误!未找到引用源。于点 G.作直线错误!未找 ,交错误! 到引用源。于点错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 ⑴求证:直线 EF 是错误!未找到引用源。的切线; ⑵若 BC=6,AB=4 3 ,求 DE 的长.
E B O

未找到引用源。的延长线于点

21.加快新能源和可再生能源发展是建设高效低碳的首都能源体系和“绿色北京”的重要支撑.“十一五”以来,北京 市新能源和可再生能源开发利用步伐不断加快,产业规模不断扩大.以下是根据北京市统计局发布的有关数据制作 的统计图表的一部分.
“十一五”期间北京市新能源和可再生能源消费量统计图 2010 年北京市各类能源消费量占 能源消费总量的百分比统计图
新能源和可 再生能源3.2% 煤炭 30.3% 油品 30.3% 电力 23.1% 天然气 13.1%

2010 年北京市新能源和可再生能源消费量及结构统计表 类 别 消费量(万吨标准煤) 太阳能 98 生物质能 36 地热能 78.5 风能 8 水能 2.8

注:能源消费量的单位是万吨标准煤,简称标煤. 请你结合上面图表中提供的信息解答下列问题: ⑴补全条形统计图并在图中标明相应数据; ⑵2010 年北京市能源消费总量约是多少万吨标煤(结果精确到百位)?

⑶根据北京市“十二五”规划,到 2015 年,本市能源消费总量比 2010 年增长 31%,其中新能源和可再生能源利 用量占全市能源消费总量的 6%.已知使用新能源每替代一万吨标煤,可减少二氧化碳排放量约为 2 万吨,请问 到 2015 年,由于新能源和可再生能源的开发利用,北京市可减少二氧化碳排放量约为多少万吨? 22.阅读下列材料: 问题:如图⑴,已知正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 边上的点,且 ∠EAF =45° . 判断线段 BE、EF、FD 之间的数量关系,并说明理由. 小明同学的想法是:已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是他将△DAF 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△BAH,然后通过证明三角形全等可得出结论.
A D

A

D

A

F

F G

H

B

E

C

B

E

C

E

G

F

图⑴

图⑵

图⑶

请你参考小明同学的思路,解决下列问题: ⑴ 图⑴中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系是 ;

⑵ 如图⑵,已知正方形 ABCD 边长为 5,E、F 分别是 BC、CD 边上的点,且 ∠EAF=45° ,AG⊥EF 于点 G,则 AG 的长为 ,△EFC 的周长为 ; .

⑶ 如图⑶, 已知△AEF 中, ∠EAF=45° , AG⊥EF 于点 G, 且 EG=2, GF=3, 则△AEF 的面积为 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.己知二次函数 y1 ? x ? 2tx ? (2t ? 1) (t >1)的图象为抛物线 C1 .
2

⑴求证:无论 t 取何值,抛物线 C1 与 x 轴总有两个交点; ⑵已知抛物线 C1 与 x 轴交于 A、 B 两点(A 在 B 的左
y

侧),将抛物线 C1 作适当的平 的对应点分别为 D(m, n), E(m
2 1

移,得抛物线 C2 : y2 ? ( x ? t ) ,平移后 A、B
2

+2,n),求 n 的值. ⑶在⑵的条件下,将抛物线 C2 位于直线 DE 下方的 连同 C2 在 DE 上方的部分组成一个新图形, 记为
-1

部分沿直线 DE 向上翻折后,
1 2 3

O -1

x

图形 G ,若直线 点,请结合图象求 b 的取值范

1 y ? ? x ? b (b<3)与图形 G 有且只有两个公共 2
围.

24.如图⑴,两块等腰直角三角板 ABC 和 DEF,∠ABC =∠DEF = 90° ,点 C 与 EF 在同一条直线 l 上,将三角板 A B C 绕 点 C 逆 时 针 旋 转

?



(

0? ? ? ? 90?

)





△ A' B ' C .设 EF=2,BC=1,CE=x. ⑴如图⑵,当 ? ? 90? ,且点 C 与点 F 重合时,连结 EB ' ,将直线 EB ' 绕点 E 逆时针旋转 45° ,交直线 A' D 于点 M,请补全图形,并求证: A' M =DM. ⑵如图⑶, 当 0? ? ? ? 90? , 且点 C 与点 F 不重合时, 连结 EB ' , 将直线 EB ' 绕点 E 逆时针旋转 45° , 交直线 A' D 于点 M,求
D A' A B'
A

A' M 的值(用含 x 的代数式表示) . DM
D

[来源:学&科&网]

D M A'

B'

25.定义:对于平面直角坐标系中的任意线段 AB 及点 P,任取线段 ..AB 上一点 Q,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到 线段 . ..AB 的距离,记作 d(P→AB) 已知 O 为坐标原点,A(4,0),B(3,3),C(m,n),D(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.根据上述定义,解 答下列问题: ⑴点 A 到线段 OB 的距离 d(A→OB) = ; .

⑵已知点 G 到线段 OB 的距离 d(G→OB)= 5 ,且点 G 的横坐标为 1,则点 G 的纵坐标为 ⑶当 m 的值变化时,点 A 到动线段 CD 的距离 d (A→CD)始终为 2,线段 CD 的中点为 M. ①在图⑵中画出点 M 随线段 CD 运动所围成的图形并求出该图形的 面积.

②点 E 的坐标为(0,2),m>0,n>0,作 MH⊥x 轴,垂足为 H.是否存在 m 的值,使得以 A、M、H 为顶点的三 角形与△AOE 相似,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

y
4 3 2 1 -1 O 1 -1 2 3 A B

y
3 2 1

y
3 E 1 2 3 A

x

-1 O 1 -1 -2

x

-1 O 1 -1 -2

2 3 A

x

图⑴

图⑵

图⑶

北京市燕山地区 2013 年初中毕业暨一模考试 数学试卷参考答案及评分标准
说明:与参考答案不同,但解答正确相应给分. 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) DCCA BABA

2013.05

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.mn(n+2)(n-2) 10.13 11.1.7 12.

1 ; xn ? 2 xn?1 ? 3 2

[来源:学科网]

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解:原式=3 3 -3—2×

3 +1 2

?????????4 分 ?????????5 分 ?????????1 分 ?????????2 分

=2 3 -2. 14.解:3(2x-3)<x+1, 6x-9<x+1,

5x<10, x<2. ∴原不等式的解集为 x<2. 在数轴上表示为 : 15.证明 :∵AF=DC, ∴ AF+FC=DC+CF,即 AC=DF. 又∵BC∥EF,∴∠BCA=∠DFE, 在△ABC 和△DEF 中, ∠A=∠D,∠BCA=∠DFE, AC=DF, ∴△ABC≌△DEF(ASA) , ∴AB=DE. 16.解:原式= (

?????????3 分 ?????????4 分 ?????????5 分 ?????????1 分 ?????????2 分

?????????4 分 ?????????5 分

x?3 1 3 ? )? x ? 2 x ? 2 ( x ? 2)(x ? 2)



x?2 3 ? x ? 2 ( x ? 2)(x ? 2)
3 3 = 2 . 2 x ? 4x ? 4 ( x ? 2)
2



?????? ???3 分

∵ x ? 4 x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 4 x ? ?1,
2

∴ 原式=

3 =1. ?1? 4

?????????5 分

17.解:⑴∵点 A(-1,m)在直线 y=2x-1 上, ∴m=2×(-1)-1=-3, ∴点 A 的坐标为(-1,-3). ∵点 A 在函数 y ? ?????????1 分

k 的图象上, x
?????????2 分

∴ k=-1×(-3)=3, ∴反比例函数的解析式为 y ? ⑵点 P 的坐标为(-

3 . x

?????????3 分 ?????????5 分

7 9 ,0)或( ,0). 2 2

18.解:设每公顷大豆年产柴油量约为 x 万升,则每公顷微藻年产柴油量约为 110x 万升, 根据题意得, ?????????1 分 ?????????2 分 ?????????3 分

40 2200 ? ? 500 , x 110 x
解得:x=0.04.

经检验:x=0.04 是原方程的解,并符合题意. ?????????4 分 ∴110x=110×0.04=4.4(万升). 答:每公顷微藻年产柴油量约为 4.4 万升. 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解: 过 E 作 EF⊥BC 于 F, ∵∠B=90°,∴AB∥EF, ∵AE∥BC,∠B=90°,∴四边形 ABCD 是矩形. ∵AE∥BC,∴∠AED=∠C=60°. 在 Rt△ADE 中,∠ADC=90°,AD= 3 ,
B F E A D

?????????5 分

C

∴DE=

AD AD 3 =1,AE= =2. ? sin 60 ? tan60? 3

?????????1 分

又∵E 为 DC 中点,∴CE=DE=1, 在 Rt△CEF 中,∠CFE=90°,∠C=60°, ∴CF=CE·cos 60°=

1 3 ,EF=CE·sin 60°= .?????????2 分 2 2 1 5 = . 2 2
?????????3 分

∴BC=BF+CF=AE+CF=2+

∴四边形 ABCD 的面积 S四边形ABCD = S ?ADE + S梯形ABCE =

1 1 AD·DE+ (AE + BC)·EF 2 2 1 1 5 3 × 3 ×1+ ×(2+ )× 2 2 2 2





13 3 . 8
[来源:学§科§网]

?????????5 分
A F D G

20.⑴证法一:如图,连结 OD, ∴∠A=∠ABC ∵OD=OB, ∴∠ABC=∠BDO, ∴∠BDO=∠A, ∴OD∥AC,

∵AC=BC 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,

E

B

O

C

?????????1 分 ?????????2 分

∵ DF ? AC ,∴错误!未找到引用源。 , ∴直线错误!未找到引用源。是⊙O 的切线.

证法二:如图,连结 OD,CD, ∵BC 是⊙O 直径,∴∠BDC=90°,即 CD⊥AB. ∵AC=BC 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 , ∴AD=BD,即 D 是 AB 的中点. ?????????1 分 ∵O 是 BC 的中点, ∴DO∥AC. ∵错误!未找到引用源。⊥AC 于 F , ∴ EF ? DO , ∴直线错误!未找到引用源。是⊙O 的切线. ?????????2 分
E B O D G A F

C

⑵解法一:如图,连结 CD,由⑴证法二,∠BDC=90°,D 是 AB 的中点,AB=4 3 , ∴AD=BD=2 3 . 在 Rt△ADC 中,AC=6,AD=2 3 , 由勾股定理得:CD= AC 2 ? AD2 =2 6 , 又∵错误!未找到引用源。⊥AC, ∴DF= ??????3 分
E B D G A F

O

C

AD ? CD = 2 3 ? 2 6 =2 2 , AC 6
???????4 分

∴CF= CD2 ? DF 2 =4,

又∵DO∥CF, ∴

ED OD ED 3 ,即 ? ? , EF CF ED ? 2 2 4
?????????5 分

解得 ED=6 2 .

解法二:如图,连结 OD,CD,错误!未找到引用源。 , 同解法一得∠BDC=90°,CD=2 6 , ?????????3 分

∵错误!未找到引用源。是⊙O 直径,∴∠BGC=90°, 在△ABC 中,有 ∴BG=

1 1 ? AB ? CD = ? AC ? BG , 2 2
?????????4 分
A F D G
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

AB ? CD = 4 3 ? 2 6 =4 2 , AC 6

又∵∠BGC=∠CFE=90°错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。 ,∴∠E=∠GBC.

错误!未找到引用源。在 Rt△BGC 中,错误!未找到引用源。BC=6,BG=4 2 , ∴CG= BC2 ? BG2 =2, tan∠GBC=
E B O

C

CG 1 = , BG 3
1 1 BC=3,tan∠E=tan∠GBC= , 2 3

错误!未找到引用源。在 Rt△EOD 中,OD= ∴ED=

OD =6 2 . tan ?E

?????????5 分

21.解:⑴ 补全统计图如右图,所补数据为 98+36+78.5+8+2.8 =223.3. ⑵ 2010 年北京市总能耗量约是 223.3÷3.2%≈7000(万吨标煤).???3 分 ⑶到 2015 年,由于新能源和可再生能源的开发 利用北京市可减少二氧化碳排放量约为 7000×(1+31%)×6%×2=1100.4(万吨) .?????????5 分 22.⑴线段 BE、EF、FD 之间的数量关系是 EF=BE+FD ;?????????1 分 ⑵AG 的长为 5 ,△EFC 的周长为 10 ; ⑶△AEF 的面积为 15 . ?????????3 分 ?????????5 分 ???2 分

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 8 分,第 25 题 7 分) 23.⑴ 令 y1 ? 0 ,得△= (?2t ) ? 4(2t ?1) ? 4t ? 8t ? 4 ? 4(t ?1) , ????1 分
2 2 2

∵t >1,∴△= 4(t ? 1) >0,
2

∴无论 t 取何值,方程 x ? 2tx ? (2t ?1) ? 0 总有两个不相等的实数根,
2

∴无论 t 取何值,抛物线 C1 与 x 轴总有两个交点. ⑵解法一:解方程 x ? 2tx ? (2t ?1) ? 0 得,
2

?????????2 分

x1 ? 1 , x2 ? 2t ? 1,
∵t >1,∴ 2t ? 1 ? 1 .得 A(1,0),B( 2t ? 1 ,0),

?????????3 分

∵D(m,n),E(m+2,n), ∴DE=AB=2, 即 2t ? 1 ? 1 ? 2 ,解得 t ? 2 . ∴二次函数为 y1 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ( x ? 2)2 ? 1, 显然将抛物线 C1 向上平移 1 个单位可得抛物线 C2 : y2 ? ( x ? 2) 2 , 故 n ? 1. 解法二:∵D(m,n)在抛物线 C2 : y2 ? ( x ? t )2 上, ∴ n ? (m ? t )2 ,解得 m ? t ? n , ∴D( t ? n ,n),E( t ? n ,n), ∵DE=2,∴ t ? n -( t ? n )= 2 n =2, 解得 n ? 1 .
2

?????????4 分

?????????5 分

?????????3 分

?????????4 分 ?????????5 分

⑶由⑵得抛物线 C2 : y2 ? ( x ? 2) ,D(1,1),E(3,1), 翻折后,顶点 F(2,0)的对应点为 F'(2,2), 如图,当直线 y ? ? 此时 b ?

1 x ? b 经过点 D(1,1)时,记为 l1 , 2

3 ,图形 G 与 l1 只有一个公共点; 2 1 5 当直线 y ? ? x ? b 经过点 E(3,1)时,记为 l2 ,此时 b ? ,图形 G 与 l2 有三个公共点; 2 2 1 当 b ? 3 时,由图象可知, 只有当直线 l : y ? ? x ? b 位于 l1 与 l2 之间时, 图形 G 与直线 l 有且只有两个公共点, 2 3 5 ∴符合题意的 b 的取值范围是 ? b ? . ?????????7 分 2 2
?????????1 分
D M A' B' A

24.解:⑴补全图形如右图⑴. ② 如图⑵,连结 AE, ∵△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形, ∠ABC=∠DEF=90° ,AB=1,DE=2, ∴BC=1,EF=2,∠DFE=∠ACB=45° . ∴ A' C ? AC ? 2 , DF ? 2 2 , ? EFB ' =90° . ∴ A' D ? DF ? A' C ? 2 , ∴点 A' 为 DF 的中点. ∴ EA ' ⊥DF, EA ' 平分∠DEF. ∴ ?MA ' E =90° , ?A' EF =45° , A' E ? 2 . ∵ ?MEB ' = ?A' EF =45° , ∴ ?MEA ' = ?B ' EF , ∴Rt△ MA ' E ∽Rt△ B' FE , ∴
E D M A'

E

图⑴

F(C)

B

l

?????????2 分

B'

A

F(C)

B

l

图⑵ ?????????3 分

A' M A' E = ,∴ A' M ? 2 , B' F EF 2

∴ DM ? A' D ? A' M ? 2 ? 2 ? 2 , 2 2 ∴ A' M = DM . ?????????4 分
G D M

⑵如图⑶,过点 B ' 作 B ' G ⊥ B ' E 交直线 EM 于点 G,连结 A' G .

∵ ?EB ' G =90° , ?B ' EM =45° ,∴ ?B' GE =45° . ∴ B' E = B' G . ∵ ?A' B' C = ?EB ' G =90° ,∴ ?A' B ' G = ?CB' E . 又∵ B ' A' = B' C , ∴△ A' B ' G ≌△ CB' E . ?????????5 分 ∴ A' G =CE=x, ?A' GB ' = ?CEB ' . ∵ ?A' GB ' + ?A' GM = ?CEB ' + ?DEM =45° , ∴ ?A' GM = ?DEM , ∴ A' G ∥DE. ∴ ??????????6 分

A' M A' G x ? ? . DM DE 2

??????????7 分
y
C2 M2 C1 M1

25.解:⑴点 A 到线段 OB 的距离 d(A→OB)= 2 2 ; ??1 分 ⑵点 G 的纵坐标为 -2 或 1 ? 10 . ?????3 分

1 -1 O -1 C3 1 M3 A C4 M4 F

x

⑶①如图⑴,当点 C 在以 A 为圆心,半径为 2 的⊙A 的右半圆上时,点 M 在圆弧 M1FM4 上运动; 当点 C 从 C1 到 C2 时,点 M 在线段 M1M2 上运动; 当点 C 从 C4 到 C3 时,点 M 在线段 M4M3 上运动;

图⑴

当点 D 在以 A 为圆心,半径为 2 的⊙A 的左半圆上时,点 M 在圆弧 M2OM3 上运动; ∴点 M 随线段 CD 运动所围成的封闭图形是图中实线部分,面积为 16+4π. ???5 分 ②存在. 由 A(4,0),E(0,2),得

OE 2 1 ? ? . OA 4 2

y
E 1 -1 O -1 1 H2 A H1 F M2 M M M1

(i)当点 M 位于左侧圆弧上时,m≤0,不合题意; (ii)如图⑵,当点 M 位于线段 M1M2 上时, ∵MH=2,∴只要 AH=1,就有△AOE∽△MHA, 此时 OH1=5,OH2=3. ∵点 M 为线段 CD 的中点,CD=4, ∴OH1=5 时,m=3;OH2=3 时,m=1.

x

图⑵

?????????? 7 分

(iii)解法一:如图⑶,当点 M 位于右侧圆弧 M1FM4 上 时,连结 GM,其中点 G 是圆弧的圆心,坐标为(6,0) . 设 MH3=x,∵AH3> M3H3 ∴AH3=2x,∴GH3=2x-2,又 GM=2, 在 Rt△MGH3 中,由勾股定理得: (2 x ? 2) ? x ? 2 ,
2 2 2

y
E 1 -1 O -1 1 A G H3 F M2 M1 M

x

M M 8 , x2 ? 0 (不合题意,舍去) , 图⑶ 5 36 16 此时 AH 3 ? , OH 3 ? OA ? AH 3 ? , 5 5 26 ∵点 M 为线段 CD 的中点,CD=4,∴m= . 5 26 综上所述,存在 m=1 或 m=3 或 m= ,使得以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似. 5

解得 x1 ?

3

4

?????????8 分 解法二:如图⑶,当点 M 位于右侧圆弧 M1FM4 上时,连结 GM,其中点 G 是圆弧的圆心,坐标为(6,0) . 设 OH3=x,则 GH3=x-6.又 GM=2,
2 2 2 ∴M3H3= GM 3 ? GH3 = 2 ? ( x ? 6) = ? x ? 12x ? 32

2

2

∵AH3> M3H3 ∴△AOE∽△A H3M3, 则

2 AH3 x?4 2 = = ,即 5 x ? 56x ? 144 ? 0 , 2 M 3H3 ? x ? 12x ? 32 1

解得 x1 ?

36 26 , x2 ? 4 (不合题意,舍去) ,此时 m= . 5 5 26 综上所述,存在 m=1 或 m=3 或 m= ,使得以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似. 5
?????????8 分


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