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离散型随机变量的概率分布

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离散型随机变量的概率分布

1.离散型随机变量的概率分布 (2)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概 率 P(X=xi)=pi,则称表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

为离散型随机变量 X 的概率分布表,具有如下性质: ①pi________0,i=1,2,?,n; ②p1+p2+?+pi+?+pn=________. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_____________. 2.两点分布 如果随机变量 X 的概率分布表为 其中 0<p<1, 3.超几何分布 一般地,设有 N 件产品,其中有 M(M≤N)件次品.从中任取 n (n≤N)件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中次品的 件数,那么
n r Cr M C N -M P(X=r)= (r=0,1,2,?,l). n CN


X P

0 1-p

1 p

即 X P 0 C0 MC Cn N
n-0 N-M

1 C1 MC Cn N
n-1 N-M

? ?

l
n l ClMCN -M n CN


其中 l=min(M,n),且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 如果一个随机变量 X 的概率分布具有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布.

题型一

离散型随机变量的概率分布的性质

k 例 1 设随机变量 X 的概率分布为 P(X= )=ak(k=1,2,3,4,5). 5 (1)求 a; 3 (2)求 P(X≥ ); 5 1 7 (3)求 P( <X≤ ). 10 10

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设离散型随机变量 X 的概率分布为 X P 求:(1) (2) 2X+1 的概率分布; |X-1|的概率分布. 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

题型二
例2

离散型随机变量概率分布的求法

命题点 1 与排列组合有关的概率分布的求法 (2015· 重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白

粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽的个数,求 X 的概率分布.

例 3 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 我要去看得更远的地方
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日销售量(件) 频数

0 1

1 5

2 9

3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货, 若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的概率分布.

例4

(2014· 安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判

2 1 定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的概率分布.

(1)4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元. 我要去看得更远的地方
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①从中任取一支,求其标价 X 的概率分布; ②从中任取两支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价,求 Y 的概率分布.

(2)(2015· 安徽改编)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测 后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. ①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; ②已知每检测一件产品需要费用 100 元, 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单 位:元),求 X 的概率分布.

题型三

超几何分布
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7 例 5 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的概率分布.

(2015· 天津改编)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自 甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”,求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的概率分布.

典例

(14 分)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个,标号为 5 的球 3 个.第 我要去看得更远的地方
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一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每个球的可能性都相同).记第一次与第二次取得 球的标号之和为 ξ.求随机变量 ξ 的可能取值及其概率分布.

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A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 1.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了 X 个白球, ?n-m?A2 m 下列概率等于 的是________. A3 n ①P(X=3) ②P(X≥2) ③P(X≤3) ④P(X=2) 答案 ④ ?n-m?A2 m 解析 由超几何分布知 P(X=2)= . A3 n 2.随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1,2,3,?,10,且 P(ξ=k)=ak(k=1,2,?,10),则 a 值为________. 答案 1 55

解析 ∵随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1,2,3,?,10, 且 P(ξ=k)=ak(k=1,2,?,10), ∴a+2a+3a+?+10a=1, 1 ∴55a=1,∴a= . 55 a 1 5 3.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P( <X< )的值为________. 2 2 n?n+1? 答案 5 6

a 解析 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4 1 5 ∴P( <X< )=P(X=1)+P(X=2) 2 2 5 1 5 1 5 = × + × = . 4 2 4 6 6 4.从装有 3 个白球,4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球,则恰好是 2 个白球,1 个红球的概率是________. 答案 12 35

1 C2 12 3C4 解析 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为 P= 3 = . C7 35

5.设离散型随机变量 X 的概率分布为 我要去看得更远的地方

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X P

0 0.2

1 0.1

2 0.1

3 0.3

4 m

若随机变量 Y=|X-2|,则 P(Y=2)=________. 答案 0.5 解析 由概率分布的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 由 Y=2,即|X-2|=2,得 X=4 或 X=0, ∴P(Y=2)=P(X=4 或 X=0) =P(X=4)+P(X=0) =0.3+0.2=0.5. 6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得 0 分,抢 到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答错误的扣 1 分(即得-1 分);若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高 者胜),则 X 的所有可能取值是________. 答案 -1,0,1,2,3 解析 X=-1,甲抢到一题但答错了,而乙抢到了两个题目都答错了, X=0,甲没抢到题,乙抢到题目答错至少 2 个题或甲抢到 2 题,但答时一对一错,而乙答错一个题目, X=1,甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题,且 1 错 2 对, X=2,甲抢到 2 题均答对, X=3,甲抢到 3 题均答对. 7.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3 分,设得分为随机变 量 ξ,则 P(ξ≤6)=________. 答案 13 35

1 4 C3 13 4C3 C4 解析 P(ξ≤6)=P(取到 3 只红球 1 只黑球)+P(取到 4 只红球)= 4 + 4= . C7 C7 35

8.某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回地每次摸出 1 个球,若摸 到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元, 摸到黑球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的概率分布. 解 (1)设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A, A2 1 3 则 P(A)= 3= , A4 4 1 故 1 名顾客摸球 3 次停止摸球的概率为 . 4 我要去看得更远的地方
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(2)随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15,20. 1 2 1 P(X=0)= ,P(X=5)= 2= , 4 A4 6 1 A2 1 C1 A2 1 2 2· 2 P(X=10)= 2+ 3= ,P(X=15)= 3 = , A4 A4 6 A4 6 A3 3 1 P(X=20)= 4= . A4 4 所以,随机变量 X 的概率分布为 X P 0 1 4 5 1 6 10 1 6 15 1 6 20 1 4

B组

专项能力提升

(时间:30 分钟) 9.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的概率分布为________. 答案 X P 解析 ∵X 的所有可能取值为 0,1,2, C2 2 ∴P(X=0)= 2=0.1, C5 C1 C1 6 C2 3· 2 3 P(X=1)= 2 = =0.6,P(X=2)= 2=0.3. C5 10 C5 ∴X 的概率分布为 X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 0 0.1 1 0.6 2 0.3

10.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取值范围是________. 答案 1 1 (- , ) 3 3

解析 设 ξ 取 x1,x2,x3 时的概率分别为 a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=1,

?3-d>0, 1 所以 a= ,由? 3 1 ?3+d>0,

1

1 1 得- <d< . 3 3

11.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色, 则这两次取出白球数 η 的概率分布为_____________________. 答案 η 0 1 2

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P 解析 ∵η 的所有可能值为 0,1,2.
1 1 C1 C1 1C1×2 1 1C1 1 P(η=0)= 1 1= ,P(η=1)= 1 1 = , C2C2 4 C2C2 2 1 C1 1C1 1 P(η=2)= 1 1= . C2C2 4

1 4

1 2

1 4

∴η 的概率分布为 η P 0 1 4 1 1 2 2 1 4

12.盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的概率分布. 解 C3 7 7 (1)P=1- 3= . C9 12

(2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 C,则 P(B+C)=P(B)
2 1 C1 C2 5 2C3 2C4 +P(C)= 3 + 3 = . C9 C9 42

(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,ξ 服从超几何分布,
3 k Ck 3C6 所以 P(ξ=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C9


2 C3 5 C1 15 6 3C6 故 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 = , C9 21 C9 28 1 C2 3 C3 1 3C6 3 P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3= . C9 14 C9 84

所以 ξ 的概率分布为 ξ P 0 5 21 1 15 28 2 3 14 3 1 84

13.已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球(x,y≥0,且 x+y=6),乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球 除颜色外,无其他区别).若从甲箱中任取 2 个球,从乙箱中任取 1 个球. (1)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x,y 的值; (2)当 x=2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ξ 的概率分布. 解
1 1 C1 xy 1 x+y 2 3 x Cy C1 (1)由题意知 P= 2 1 = ≤ ( )= , C6C4 60 60 2 20

当且仅当 x=y 时等号成立, 我要去看得更远的地方
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所以,当 P 取得最大值时 x=y=3. (2)当 x=2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球, 所以 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3.
1 C2 1 4C2 则 P(ξ=0)= 2 1= , C6C4 5 1 1 2 1 C1 7 2C4C2+C4C2 P(ξ=1)= = , 2 1 C6C4 15 1 1 1 1 C2 3 2C2+C2C4C2 P(ξ=2)= = , 2 1 C6C4 10 1 C2 1 2C2 P(ξ=3)= 2 1= , C6C4 30

所以红球个数 ξ 的概率分布为 ξ P 0 1 5 1 7 15 2 3 10 3 1 30

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1.离散型随机变量的概率分布 (1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量;所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量. (2)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

为离散型随机变量 X 的概率分布表,具有如下性质: ①pi__≥__0,i=1,2,?,n; ②p1+p2+?+pi+?+pn=__1__. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.两点分布 如果随机变量 X 的概率分布表为 X P 其中 0<p<1,则称离散型随机变量 X 服从两点分布. 3.超几何分布 一般地,设有 N 件产品,其中有 M(M≤N)件次品.从中任取 n (n≤N)件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中次品的 件数,那么
n r Cr M C N -M P(X=r)= (r=0,1,2,?,l). Cn N


0 1-p

1 p

即 我要去看得更远的地方

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X P

0
n 0 C0 MCN-M n CN


1
n 1 C1 MCN-M n CN


? ?

l
n l ClMCN -M n CN


其中 l=min(M,n),且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 如果一个随机变量 X 的概率分布具有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ ) (2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ ) )

(3)某人射击时命中的概率为 0.5,此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布.( ×

(4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名,其中女演员的人数 X 服从超几何分布.( √ ) (5)离散型随机变量的概率分布中,随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( × (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ ) )

1.袋中有 3 个白球、5 个黑球,从中任取 2 个,可以作为随机变量的是________. ①至少取到 1 个白球; ②至多取到 1 个白球; ③取到白球的个数; ④取到的球的个数. 答案 ③ 解析 ①②表述的都是随机事件,④是确定的值 2,并不随机;③是随机变量,可能取值为 0,1,2. 2.(教材改编)从标有 1~10 的 10 支竹签中任取 2 支,设所得 2 支竹签上的数字之和为 X,那么随机变量 X 可能取 得的值有________个. 答案 17 解析 X 可能取得的值有 3,4,5,?,19 共 17 个. 3.随机变量 X 的概率分布如下: X P 其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________. 答案 2 3 -1 a 0 b 1 c

解析 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 2 又 a+b+c=1,∴b= ,∴P(|X|=1)=a+c= . 3 3 我要去看得更远的地方
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4.随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,则 n=________. 答案 10 1 1 1 3 解析 P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = =0.3,得 n=10. n n n n 5.(教材改编)一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的、3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后装回盒中,此时 盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为______. 答案 27 220

解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球,
1 C2 27 3C9 故 P(X=4)= 3 = . C12 220

题型一

离散型随机变量的概率分布的性质

k 例 1 设随机变量 X 的概率分布为 P(X= )=ak(k=1,2,3,4,5). 5 (1)求 a; 3 (2)求 P(X≥ ); 5 1 7 (3)求 P( <X≤ ). 10 10 解 = 1 2 3 4 (1)由概率分布的性质,得 P(X= )+P(X= )+P(X= )+P(X= )+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以 a 5 5 5 5 1 . 15

3 3 4 1 1 1 4 (2)P(X≥ )=P(X= )+P(X= )+P(X=1)=3× +4× +5× = . 5 5 5 15 15 15 5 1 7 1 2 3 1 2 3 6 2 (3)P( <X≤ )=P(X= )+P(X= )+P(X= )= + + = = . 10 10 5 5 5 15 15 15 15 5 思维升华 (1)利用概率分布中各概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.

(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据概率分布,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互 斥事件的概率加法公式. 设离散型随机变量 X 的概率分布为 X P 求:(1)2X+1 的概率分布; (2)|X-1|的概率分布. 我要去看得更远的地方
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0 0.2

1 0.1

2 0.1

3 0.3

4 m

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由概率分布的性质知:

0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得 m=0.3. 首先列表为 X 2X+1 |X-1| 从而由上表得两个概率分布为 (1)2X+1 的概率分布 2X+1 P (2)|X-1|的概率分布 |X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3

题型二
例2

离散型随机变量概率分布的求法

命题点 1 与排列组合有关的概率分布的求法 (2015· 重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白

粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽的个数,求 X 的概率分布. 解
1 1 C1 2C3C5 1 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有 P(A)= 3 = . C10 4

(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且 P(X=0)=
2 C3 7 C1 7 8 2C8 , 3 = ,P(X=1)= 3 = C10 15 C10 15

1 C2 1 2C8 P(X=2)= 3 = . C10 15

综上知,X 的概率分布为 X P 命题点 2 与互斥事件有关的概率分布的求法 例 3 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5 0 7 15 1 7 15 2 1 15

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货, 若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率. 我要去看得更远的地方
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(1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的概率分布. 解 1 5 3 (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件)= + = . 20 20 10

(2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; 20 4 P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商品销售量为 3 件) = 1 9 5 3 + + = . 20 20 20 4

所以 X 的概率分布为 X P 2 1 4 3 3 4

命题点 3 与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法 例4 (2014· 安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判

2 1 定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. 3 3 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的概率分布. 解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 表示“第 k 局乙获胜”. 2 1 则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. 3 3 (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)· P(A3)P(A4) 2?2 1 ?2?2 2 1 ?2?2 56 =? ?3? +3×?3? +3×3×?3? =81. (2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) 5 =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , 9 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) 2 =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 9 P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) 10 =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)· P(B4)= , 81 我要去看得更远的地方

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8 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 81 故 X 的概率分布为 X P 2 5 9 3 2 9 4 10 81 5 8 81

思维升华 求离散型随机变量 X 的概率分布的步骤:①理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值;②求 X 取每个值 的概率;③写出 X 的概率分布. 求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型 等知识. (1)4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元. ①从中任取一支,求其标价 X 的概率分布; ②从中任取两支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价,求 Y 的概率分布. 解 ①X 的可能取值分别为 10,20,30,40,且取得任一支的概率相等,故 X 的概率分布为 X P ②根据题意,Y 的可能取值为 20,30,40, 1 1 且 P(Y=20)= 2= , C4 6 2 1 P(Y=30)= 2= , C4 3 3 1 P(Y=40)= 2= . C4 2 所以 Y 的概率分布为 Y P 20 1 6 30 1 3 40 1 2 10 1 4 20 1 4 30 1 4 40 1 4

(2)(2015· 安徽改编)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测 后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. ①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; ②已知每检测一件产品需要费用 100 元, 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单 位:元),求 X 的概率分布. 解 ①记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A.
1 A1 3 2A3 P(A)= 2 = . A5 10

②X 的可能取值为 200,300,400. 我要去看得更远的地方

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A2 1 2 P(X=200)= 2= , A5 10
1 1 2 A3 3 3+C2C3A2 P(X=300)= = , A3 10 5

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300) 1 3 3 =1- - = . 10 10 5 故 X 的概率分布为 X P 200 1 10 300 3 10 400 3 5

题型三

超几何分布

7 例 5 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的概率分布. 解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,设袋中白球的个数为 x,

C2 7 10-x 则 P(A)=1- 2 = ,得到 x=5.故白球有 5 个. C10 9 (2)X 服从超几何分布,
3 k Ck 5C5 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10


于是可得其概率分布为 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12

思维升华 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考 察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数 X 的概率分布.超几何分布主要 用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. (2015· 天津改编)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自 甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”,求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的概率分布. 解
2 2 2 C2 6 2C3+C3C3 (1)由已知,有 P(A)= = . 4 C8 35

6 所以,事件 A 发生的概率为 . 35 我要去看得更远的地方
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(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
4 k Ck 5C3 P(X=k)= 4 (k=1,2,3,4). C8


所以,随机变量 X 的概率分布为 X P 1 1 14 2 3 7 3 3 7 4 1 14

17.随机变量取值不全致误

典例

(14 分)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个,标号为 5 的球 3 个.第

一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每个球的可能性都相同).记第一次与第二次取得 球的标号之和为 ξ.求随机变量 ξ 的可能取值及其概率分布. 易错分析 由于随机变量取值情况较多,极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误. 规范解答 解 由题意可得,随机变量 ξ 的可能取值是 2,3,4,6,7,10.[4 分]

P(ξ=2)=0.3×0.3=0.09, P(ξ=3)=C1 2×0.3×0.4=0.24, P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16, P(ξ=6)=C1 2×0.3×0.3=0.18, P(ξ=7)=C1 2×0.4×0.3=0.24, P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.[10 分] 故随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P [14 分] 温馨提醒 (1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值,正确应用概率公式. 2 0.09 3 0.24 4 0.16 6 0.18 7 0.24 10 0.09

(2)此类问题还极易发生如下错误:虽然弄清随机变量的所有取值,但对某个取值考虑不全面. (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1.

[方法与技巧] 1.对于随机变量 X 的研究,需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,对于离散 型随机变量,它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率. 我要去看得更远的地方
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2.求离散型随机变量的概率分布,首先要根据具体情况确定 X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率. [失误与防范] 掌握离散型随机变量的概率分布,须注意: (1)概率分布的结构为两行,第一行为随机变量 X 所有可能取得的值;第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生 的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实 数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误.

A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 1.一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了 X 个白球, ?n-m?A2 m 下列概率等于 的是________. A3 n ①P(X=3) ②P(X≥2) ③P(X≤3) ④P(X=2) 答案 ④ ?n-m?A2 m 解析 由超几何分布知 P(X=2)= . A3 n 2.随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1,2,3,?,10,且 P(ξ=k)=ak(k=1,2,?,10),则 a 值为________. 答案 1 55

解析 ∵随机变量 ξ 的所有可能的取值为 1,2,3,?,10, 且 P(ξ=k)=ak(k=1,2,?,10), ∴a+2a+3a+?+10a=1, 1 ∴55a=1,∴a= . 55 a 1 5 3.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P( <X< )的值为________. 2 2 n?n+1? 答案 5 6

a 解析 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4

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1 5 ∴P( <X< )=P(X=1)+P(X=2) 2 2 5 1 5 1 5 = × + × = . 4 2 4 6 6 4.从装有 3 个白球,4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球,则恰好是 2 个白球,1 个红球的概率是________. 答案 12 35

1 C2 12 3C4 解析 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为 P= 3 = . C7 35

5.设离散型随机变量 X 的概率分布为 X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

若随机变量 Y=|X-2|,则 P(Y=2)=________. 答案 0.5 解析 由概率分布的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 由 Y=2,即|X-2|=2,得 X=4 或 X=0, ∴P(Y=2)=P(X=4 或 X=0) =P(X=4)+P(X=0) =0.3+0.2=0.5. 6.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得 0 分,抢 到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答错误的扣 1 分(即得-1 分);若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高 者胜),则 X 的所有可能取值是________. 答案 -1,0,1,2,3 解析 X=-1,甲抢到一题但答错了,而乙抢到了两个题目都答错了, X=0,甲没抢到题,乙抢到题目答错至少 2 个题或甲抢到 2 题,但答时一对一错,而乙答错一个题目, X=1,甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题,且 1 错 2 对, X=2,甲抢到 2 题均答对, X=3,甲抢到 3 题均答对. 7.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3 分,设得分为随机变 量 ξ,则 P(ξ≤6)=________. 答案 13 35

1 4 C3 13 4C3 C4 解析 P(ξ≤6)=P(取到 3 只红球 1 只黑球)+P(取到 4 只红球)= 4 + 4= . C7 C7 35

8.某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回地每次摸出 1 个球,若摸 我要去看得更远的地方
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到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元, 摸到黑球不奖励. (1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (2)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的概率分布. 解 (1)设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A, A2 1 3 则 P(A)= 3= , A4 4 1 故 1 名顾客摸球 3 次停止摸球的概率为 . 4 (2)随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15,20. 1 2 1 P(X=0)= ,P(X=5)= 2= , 4 A4 6 1 A2 1 C1 A2 1 2 2· 2 P(X=10)= 2+ 3= ,P(X=15)= 3 = , A4 A4 6 A4 6 A3 3 1 P(X=20)= 4= . A4 4 所以,随机变量 X 的概率分布为 X P 0 1 4 5 1 6 10 1 6 15 1 6 20 1 4

B组

专项能力提升

(时间:30 分钟) 9.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的概率分布为________. 答案 X P 解析 ∵X 的所有可能取值为 0,1,2, C2 2 ∴P(X=0)= 2=0.1, C5 C1 C1 6 C2 3· 2 3 P(X=1)= 2 = =0.6,P(X=2)= 2=0.3. C5 10 C5 ∴X 的概率分布为 X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3 0 0.1 1 0.6 2 0.3

10.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取值范围是________. 答案 1 1 (- , ) 3 3

解析 设 ξ 取 x1,x2,x3 时的概率分别为 a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=1, 我要去看得更远的地方
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?3-d>0, 1 所以 a= ,由? 3 1 ?3+d>0,

1

1 1 得- <d< . 3 3

11.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色, 则这两次取出白球数 η 的概率分布为_____________________. 答案 η P 解析 ∵η 的所有可能值为 0,1,2.
1 1 C1 C1 1C1×2 1 1C1 1 P(η=0)= 1 1= ,P(η=1)= 1 1 = , C2C2 4 C2C2 2 1 C1 1C1 1 P(η=2)= 1 1= . C2C2 4

0 1 4

1 1 2

2 1 4

∴η 的概率分布为 η P 0 1 4 1 1 2 2 1 4

12.盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白色球,4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有 1 个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的概率分布. 解 C3 7 7 (1)P=1- 3= . C9 12

(2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 C,则 P(B+C)=P(B)
2 1 C1 C2 5 2C3 2C4 +P(C)= 3 + 3 = . C9 C9 42

(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,ξ 服从超几何分布,
3 k Ck 3C6 所以 P(ξ=k)= ,k=0,1,2,3. C3 9


2 C3 5 C1 15 6 3C6 故 P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 = , C9 21 C9 28 1 C2 3 C3 1 3C6 3 P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3= . C9 14 C9 84

所以 ξ 的概率分布为 ξ 0 1 2 3

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P

5 21

15 28

3 14

1 84

13.已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球(x,y≥0,且 x+y=6),乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球 除颜色外,无其他区别).若从甲箱中任取 2 个球,从乙箱中任取 1 个球. (1)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x,y 的值; (2)当 x=2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ξ 的概率分布. 解
1 1 C1 xy 1 x+y 2 3 x Cy C1 (1)由题意知 P= 2 1 = ≤ ( )= , C6C4 60 60 2 20

当且仅当 x=y 时等号成立, 所以,当 P 取得最大值时 x=y=3. (2)当 x=2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球, 所以 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3.
1 C2 1 4C2 则 P(ξ=0)= 2 1= , C6C4 5 1 1 2 1 C1 7 2C4C2+C4C2 P(ξ=1)= = , 2 1 C6C4 15 1 1 1 1 C2 3 2C2+C2C4C2 P(ξ=2)= = , 2 1 C6C4 10 1 C2 1 2C2 P(ξ=3)= 2 1= , C6C4 30

所以红球个数 ξ 的概率分布为 ξ P 0 1 5 1 7 15 2 3 10 3 1 30

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