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湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版)

湖北省部分重点中学 2013-2014 学年高二下学期期中考试理 科数学试卷(解析版) 一、选择题 1.抛物线 x ? 4 y 的焦点坐标是( 2 ) D. (?1,0) A. (0,?1) B. (0,1) C. (1,0) 【答案】B 【解析】 试题分析:根据题意可知条件中表示的是焦点在 y 轴上抛物线,2p=4,p=2,而焦点坐标为 p (0, ) ,故选 B. 2 考点:抛物线的焦点坐标. 2.下面几种推理中是演绎推理 的序号为( .... ) 2 A.半径为 r 圆的面积 S ? ? r ,则单位圆的面积 S ? ? ; B.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; C.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质; D. 由平面直角坐标系中圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 推测空间直角坐标系中球的方 2 2 2 程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r 2 2 2 2 . 【答案】A 【解析】 试题分析: 根据演绎推理的定义, 应该是从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论, 只有 A 符合从特殊到一般这一特征. 考点:演绎推理的定义. 3.把复数 z 的共轭复数记为 z ,已知 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,则 z 等于( A. 1 ? 2i 【答案】D 【解析】 试题分析: B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i ) ∵(1 ? 2i)z ? 4 ? 3i,? z ? . 考点:复数的运算. 4 ? 3i (4 ? 3i)(1 ? 2i) 4 ? 8i ? 3i ? 6i 2 10 ? 5i ? ? ? ? 2 ? i, ?z ? 2 ? i 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 5 (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2n ?1? 3?(2n ?1)( n ? N * ) 4. 用数学归纳法证明 时, 从 “n ? k 第 1 页 共 14 页 到 n ? k ? 1 ”左边需增乘的代数式为( A. 2 k ? 1 B. 2(2k ? 1) C. ) 2k ? 1 k ?1 D. 2k ? 3 k ?1 【答案】B 【解析】 试题分析:当 n=k 时,等号左边的代数式为(k+1)(k+2) (k+k),当 n=k+1 时,等号左边的代 数 式 为 [(k+1)+1][(k+1)+2] [(k+1)+k-1][(k+1)+k][(k+1)+k+1]=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2),∴增加的代数式为 (2k ? 1)( 2k ? 2) ? 2(2k ? 1) . k ?1 考点:数学归纳法从 n=k 到 n=k+1 的步骤. 2 5.若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) ? x ? 2 f ' (2) x ? 3 ,则 ? 3 0 f ( x)dx ? ( ) A. 16 【答案】B 【解析】 B. ? 18 C. ? 24 D. 54 2 试题分析:∵ f(x)=x +2 f ' ( 2) x+3, 两边求导可得: f '( x ) ? 2x ? 2 f '(2) ,令 x=2 可得 f '(2) ? ? 4, ∴ f(x)=x -8x+3 3 2 2 , ∴ ? f ( x)dx ? ? ( x 0 0 3 1 1 3 ? 8 x ? 3)dx ? ( x 3 ? 4 x 2 ? 3x)3 ? 3 ? 4 ? 32 ? 3 ? 3 ? 0 ? ?18 . 0 ? 3 3 考点:导数的运用. 6.设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( x ) A、 a ? ? 1 e B、 a ? ?1 C、 a ? ?1 D、 a ? ? 1 e 【答案】C 【解析】 x 试题分析:∵f(x)=e +ax,∴ f '( x) ? e ? a ,令 f '( x ) =0,可得 x=-ln(-a)>0,解得 a<-1. x 考点:导数的运用. 7.已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 2 y 轴的距离为 d 1 ,P 到直线 l 的距离为 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为( ) A. 5 2 2 B. 5 2 ?1 2 C. 5 2 ?2 2 D. 5 2 ?1 2 【答案】D 第 2 页 共 14 页 【解析】 试题分析:如图,可知抛物线焦点 F ( 2 , 0 ) ,准线为 x=-1 ,根据抛物线的定义,∴ d1+d2=PM+PN-1=PM+PF-1≥FM-1≥d-1,d 为 F 到 l 的距离,d= |1? 0 ? 4 | 5 ? 2 ,∴d1+d2 2 2 的最小值为 5 2 -1 . 2 考点:抛物线的定义求线段和差最值问题. 8.下列不等式对任意的 x ? (0, ??) 恒成立的是( A. sin x ? ? x ? 1 2 B. x ? x ? 0 ) x D. e ? ex C. x ? ln(1 ? x ) 【答案】C 【解析】 试题分析:对于 A,可转化为 x+sinx>1,取 x=0,结合函数 x+sinx 的连续性可知 A 错误, 对于 B 取 x=2,可知 B 错误,对于 D 取 x=1,可知 D 错误,对于 C,令 f(x)=x-ln(1+x),则 f ' ( x) ? 1 ? 1 x ? ? 0 ,∴f(x)在 (0,??) 上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,即 x>ln(1+x) 1? x 1? x 成立. 考点:导数中的恒成立问题. 9.椭圆 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F1 ,若椭圆上存在

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