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广西柳州铁一中高三第二次模拟考试(数学文)


2009 届高中毕业班第二次模拟考试题 数 学(文科)

(全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 注意:①本卷为试题卷,答案不能在答题卡上。 ②答题结束后,此试题卷不用上交。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A-B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k k Pn ?k ? ? Cn P ?1 ? P? n ?k

S ? 4?R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

V球 ?

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分。共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A: ? x 一个是

?

? 1 ? 0? ,B= ?x 2 ? x ? 5? ,则 ? x ? 7 x ? 10 ?
2

与 B 的关系最恰当的

2 已 ?ABC 中, 是 A 钝角三角形 3.已知 率为 A 4

AB AB

?

AC AC

?

3 AB BC 1 , ? ? ? 则 ?ABC 是 2 AB BC 2
C.锐角三角形 D.等边三角形

B.直角三角形

?an ?是等差数列,
B

a4 ? 15, S 5 ? 55则过点 P(3, a3 ),Q(4, a4 )的直线的斜
1 4
0 0

1 4

C.一 4

D. ?

4.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 B1C 和 C1D 与底面 ABCD 所成角分别为 60 和 45 ,则异 面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为

A

3 6

B

2 6

C

6 3

D

6 4

5·将直线

2x ? y ? ? ? 0 沿

x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆

x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为
A 一3或7 6·若 tan?? ? ? ? ? B.一 2 或 8 C 0 或 10 D.1 或 11

2 ?? 2 ?? ? ? . tan?? ? ? ? , 则. tan? ? ? ? ? 5 4? 4 4? ? ?
B.

A

13 13 22

3 22

C

13 18

D

3 18

7·关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为(一 ? ,1), 则关于 x 的不等式了 的解集为 A(- ? ,-1) ? (2,+∞) C.(-1,2) B. (- ? ,-2) D.(1,2)

ax ? b ?0 x?2

? (1,+∞)

8. 设 函 数 , f ?x ??

?? log?x ? 1?3 , ?x ? 4? ?2
x?4

?x ? 4?

的反函数为 f

?1

?x ? , 且

? x? f ?1 ? ? ? a , 则 ? 18 ?

f ?a ? 7 ? ?
A·2 B.1 C.-1 D-2 9. 1000 名志愿者中,300 名为医生,440 名为救护人员,260 名为大学生,现从 1000 名志愿者中抽调 350 人组成一个救急小组,则按分层抽样方法抽调医生、救护人员、大学生 人数依次是: A·91、105、154 B.105、154、91 C 115、130、105 D.105、155、90

?x ? 2 ? 0 ? 10.已知点 P?x. y ? 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
取值范围是 A·[一 1,2] B[一 2,1] C.[一 2,一 1] D.[1,2] 11. 9 人排成 3×3 方阵(3 行,3 列),从中选出 3 人分别担任队长、副队长、纪律监督 员,要求这 3 人至少有两人位于同行或同列,则不同的任取方法数为 A 78 B 234 C.468 D.504 12·已知函数 f ?x? ? x ? ?a ? 3?x ? ax ? 2 ,若 g ?x ? ? f ??x ? ? 6 x 的图象关于 y 轴
3 2

对称,则函数 f ?x ? 的减区间是 A.(0,2) B, ?? ?.0? ? ?2. ? ?? C( ? ? ,6) D(2,6)

二、填空题:本大题共 4 小题·每小题 5 分, 20 分。(将答案填在答题卡相应的位置上。) 13 已知 ? a 2 ?

? ?

1? ? “的展开式的常数项是第七项,则正整数 n : a?
cos C 2a ? c ? ,则角 B cos B b

n

14 在 ?ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。若

15.如图所示,P 是椭圆 左焦点,且 OQ ?

x2 y2 ? ? 1 上的一点,F 是椭圆的 25 9

1 OP ? OF , OQ ? 4 ,则点 P 到该椭圆左准 2

?

?

线的距离为 0 16.已知四棱锥 P 一 ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 且∠ADC: 60 . PA ⊥底面 ABCD ,若 E 为 BC 的中点,则 AE 与 PD 所成角大小 是 . 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分共 70 分。 (答案写在答题卡上, 解答题应写出文字说明。 证明过程或演算步骤。) 17· (10 分)设函数 f ?x ? ? a ? b ? c ,其中向量 a ? ?sin x,? cos x ? b ? ?sin x,?3 cos x? 了: c ? ?? cos x, sin x?x ? R (1)求函数, f ?x ? 的最大值和最小正周期; (2)将函数 f ?x ? 的图象按向 d 平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对 称,求长度最小的 d

?

?

18.(12 分)某校从高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,其成绩(均为正整数)

的频率分布直方图如图所示; (1)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及 格)和平均分) (2)在成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生 中选两人,求他们在同一分数段的概率。

19.(12 分)如图,平面 PCBM⊥平面 ABC PCB=90 ,PM∥BC,直线 AM 与直线 PC 所成的角 0 0 为 60 ,又 AC=1 .BC=2 PM=2 ? ACB=90 (1) 求证:AC⊥ BM (2)求二面角 M-AB-C 的正切值 (3)求多面体 P-MABC 的体积

0

2 2 20.(12 分)已知 ?an ? 是等差数列, bn ? an ?1 ? an

(1)求证: ?bn ? 是等差数列; (2)若 a n ? ?n ? 2, c n ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 27 项的和 S 27 3n

21.(12 分 ) 设 f ?x? ? x 3 ? bx2 ? cx 的极小值为 -8. 其导函数 y ? f ??x ? 的图像经过 (-2.0)和 ?

? 2 ? ? ? 3.0 ?

(1)求 f ?x ? 的解析式 (2)若对 x?? 3.3?都有f ?x? ? m 2 ? 14m 恒成立,求实数 m 的范围

22.(12 分)已知点 M(-2.0),N(2.0)动点 P 满足条件 PB ? PN ? 2 2 ,记动点 P 的估计为 W。 (1)求 W 的方程 (2)若 AB 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值。

2009 届高中毕业班第二次模拟考试题

数学(文科)答案及评分参考

提示:

2. cos A ? 形

3 1 ? A ? 300 , cos B ? . ? C ? 600 ,? ?C ? 900 ,? ?ABC 为 直 角 三 角 2 2
a ? a3 5? 4 d ? 55, a 4 ? a1 ? 3d ? 15 ? d ? 4,? k PQ ? 1 ?d ?4 2 4?3

3.由S 5 ? 5a1 ?

4.

? ?C1 DC ? 450 ,设DC ? CC1 ? a,? ?B1CB ? 600 ? BC ?

3 a 3

? DC1 ? 2a, A1 D ? B1C ?

2 3 2 3 a, A1C1 ? a, (B C∥A D) 3 3
1 1

?2 3 ? 2 ?2 3 ? 2 2 ? ? ? ? ? 3 a ?, ? 2a ? ? 3 a ?, ? ? ? ? 6 ? cos?A1 DC1 ? ? 4 2 3 2? a ? 2a 3
5.平移后直线 y ? 2?x ? 1?? ? 2 x ? ? ? 2 ,圆心(-1.2) ,半径 r ?

? ?

5 ,则

?2?2?? ?2 5

? 5 ? ? ? 2 ? 5,? ? ? 7或 ? 3

2 1 ? ? ?? ? ?? ? ? 5 2 ? 3 6. tan? ? ? ? ? tan??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 1 22 4? 4 ?? ? ? ? 1? ? 5 4 b x? b b ax ? b a ? 0 ? x ? 1 ? 0 ? ?1 ? x ? 2 7. a ? 0且x ? ? ? 1,由 ?0? a a x?2 x?2 x?2
8.由f
?1

1 ?1? a ?4 ? ? ? a得f ?a ? ? ? 2 ? a ? 1,? f ?a ? 7 ? ? f ?8? ? ? log3 ?8 ? 1? ? ?2 8 ?8?

10.作出可行域,则 z ? x ? y ? ?? 1.2?

3 1 1 1 3 11. C9 ? C3 C2C1 ? A3 ? 468

?

?

12.? f ??x? ? 3x 2 ? 2?a ? 3?x ? a则g ?x? ? f ??x? ? 6x ? 3x 2 ? 2ax ? a 而 g ?x ? 的图像关于 y 轴对称,? ?

2a ? 0.即a ? 0 2?3

?0.2? ?由f ??x? ? 3x 2 ? 6x ? 3x?x ? 2? ? 0得f ?x?的减区间为
二、填空题 13..9 14.60
0

15.
6

5 2

16.90

0

6 13. T7 ? Cn ? a2

? ?

n ?6

?1? 6 2 n ?18 , 令2n ? 18 ? 0 ? n ? 9 ? ? ? Cn ? a ?a?
.

cosC 2a ? c 2 sin A ? sin C 14. ? ? ? sin B cosC ? cos B?2 sin A ? sin C ? cos B b sin B ? sin B cosC ? cos B sin C ? 2 sin A cos B ? sin ?B ? C ? ? 2 sin A cos B 1 ? cos B ? ,? B ? 600 2
15 .由OQ ? 1 OP ? OF 知 Q 为 PF 中的,连结 P 与椭圆的另一焦点 F1 2

?

?

? PF1 ? 2 OQ ? 8,? PF ? 2a ? PF1 ? 10 ? 8 ? 2 则 OQ 为 ?FPF 1的中位线,

又e ?

PF 4 2 5 ? P到做准线距离 d? ? ? 4 2 5 e 5

16 .如图,连结 AC,由题意知 ?ABC 为等边三角形 AD∥BC ? E 为 BC 中点,? AE⊥BC ? AE⊥AD 又 PA⊥底面 ABCD ? PA⊥AE ? AE⊥平面 PAD ? AE⊥PD1 三、解答题

即 AE 与 PD 成 90

0

?1?由题意得 17.解:
f ?x ? ? a ? b ? c

? ?sin x.,? cos x ? ? ?sin x. ? cos x, , sin x. ? 3 cos x ?

?

?

? sin 2 x ? 2 sin x. cos x ? 3 cos2 x 3? ? ? ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ??2 4 ? ?

? f ?x ?的最大值是 2 ? 2,最小正周期是

2? ?? 2

3? ? 3? ? 由sin ? 2 x ? , ? k? ? ? 0得x ? 4 ? 4 ? k? 3? ? k? 3? ? 即x ? ? , k ? Z于是d ? ? ? ,?2 ? 2 8 8 ? 2 ?

?2?

? k? 3? ? d ? ? ? ? ?4 k?Z 8 ? ? 2 ?? ? 要使 d 最小,则有k ? 1. d ? ? . ? 2 ?为所求 ?8 ?
18. ( 1 ) 依 题 意 , 60 及 以 上 的 分 数 所 在 的 第 三 、 四 、 五 、 六 组 , 频 率 和 为 (0.020+0.030+0.025+0.005)×10=0.80 所以,抽样学生成绩的及格率是 80%,利用组中值估算抽样学生的平均分 45· f1 +55· f 2 +65· f 3 +75· f 4 +85· f 5 +95· f 6 =45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25++95×0.05=72 估算这次考试的平均分是 72 分 (2) “ ?70.80? ?.80.90? ?90.100? ” 的人数分别是 18.15.3.所以从成绩是 70 分以上 (包 括 70 分)的学生中选两人,他们在同一分数的概率为:
2 2 C18 ? C15 ? C32 87 P? ? 2 210 C36

2

19.(1)? 平面 PCBM⊥平面 ABC AC⊥BC AC ? 平面 ABC ? AC⊥平面 PCBM 又 ? BM ? 平面 PCBM ? AC⊥ BM (2)解法一:取 BC 的中点 N,则 CN=1 连结 AN、MN 平面 PCBM ? 平面 ABC=BC ? 平面 PCBM⊥平面 ABC

PC⊥ BC

? PC 平面 ABC
从而 MN ⊥平面 ABC 作 NH⊥ AB 于 H ,连结 MH ,则由三垂线定理知 AB⊥ 从而 ? MHN 为二面角 M-AB-C 的平面角 ? 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 600 ? ? AMN=600 在 ?ACN 中,由勾股定理得 AN= 2 MH

3 6 ? 3 3 AC 1 5 在Rt?BNH中,NH ? BN ? sin ?ABC ? BN ? ? 1? ? AB 5 5 在Rt?AMN中,MN ? AN ? cot ?AMN ? 2 ? 6 MN 30 在Rt?MNH中, tan?MHN ? ? 3 ? NH 3 5 5
故二面角 M-AB-C 的大小为 arctan

30 3

解法二:如图以 C 为原点建立空间直角坐标系,C-xyz 设 P(0.0. z0 ) ( z 0 ? 0 )有 B(0.2.0)A(1.0.0)M(0.1. z0 )

AM ? ?? 1.1.z0 ?, CP ? ?0.0..z0 ?
由直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 ,得
0

AM ? CP ? AM ? CP ? cos600
2 即z 0 ?

1 2 6 z 0 ? 2 ? z 0 , 解得z 0 ? 2 3

? 6? ?, AB ? ?? 1.2.0 ? ? AM ? ? ? 1 . 1 . ? ? 3 ? ?
设平面 MAB 的一个法向量为 n1 ? x 1 . y1 , z1 . 则

?

?

? 6 ? z?0 ?n1 ? AM ? 0 ?? x ? y ? 由? ?? , 取z1 ? 6.得n1 ? 4.2. 6 3 ? n ? AB ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ? 1 ?

?

?

取平面 ABC 的一个法向为 n2 ? ?0.0.1?

由cos n1 , n2 ?

n1 ?, n2 n1 , n2

?

6 26 ? 1

?

39 13

如图知二面角 M-AB-C 为锐二面角 故二面角 M-AB-C 的大小为 arccos

39 13

(3)多面体 PMABC 就是四棱锥 A-BCPM

VPMABC ? V A? PMBC ?

1 1 1 ? S PMBC ? AC ? ? ? ?PM ? CB ? ? CP ? AC 3 3 2 1 1 6 6 ? ? ? ??2 ? 1? ? ?1 ? 3 2 3 6

20.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d,则

bn ?1 ? bn ? a 2 n ? 2 ? a 2 n ?1 ? a 2 n?1 ? a 2 n ? d a n? 2 ? a ? d an? 2 ? a

?

?

n

? ? 2d ??b ?是等差数列
2 n

? ?

? ?

n ?1

? ? d ?a

n ?1

?a

n

?

? a n ? ?n ? 2,? d ? ?1,
(2)? bn ? b1 ? ?n ? 1? ? 2 ? 2n ? 3

2 ? ?bn ? 的公差为2,b1 ? a 2 ? a12 ? 1

? cn ?

bn 2n ? 3 ? 3n 3n

? S 27 ? 1 ? S 27 3
①-②

?1 1 3 51 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 27 1 3 3 3 3 ?1 1 3 51 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? 28 3 3 3 3

① ②

2 ?1 2 2 2 51 ? S 27 ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 27 ? 28 3 3 3 3 3 3 1? 1 ? ?1 ? 26 ? 1 2 9 3 ? 51 ? ? ? 2? ? ? 28 ? ? 25 ? S 27 ? ?3 ? 24 1 3 3 3 1? 3

21.由已知,得 f ??x? ? 3ax ? 2bx ? c
2

?? 2.0?, 又 y ? f ??x ?的图像过点 ? 0 ?.
2 ? 2b ? ? ?2 ? ? ? 3a 3 ?b ? 2a ?? ?? ,? f ? x ? ? ax3 ? 2ax2 ? 4ax ?c ? ?4a ? c ? ?2 ? 2 ? 3 ? 3a

?2 ? ? 3. ?

2? ?2 ? ? 又y ? f ?x ?在?? ?. ? 2?和? . ? ? ?为减函数,在 ? ? 2. ?为增函数 3? ?3 ? ? ? f ?? 2? ? 18,? a ? ?1? f ?x ? ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x

?3 ? 所以f ?x ?的极小值为f ?? 2? ? ?8

2 ? 2? ? ?2?由?1?知f ?x ?在?? 3. ? 2?和? ? ? 2. ?为增函数 ? .3?为减函数,在 ? 3?

? f ?x ?在?? 3.3?上的最小值为? 33

又f ?3? ? ?33 ? 2 ? 32 ? 4 ? 3 ? ?33 ? ?8

22.解: (1)依题意,点 P 的轨迹是以 MN 为焦点的双曲线的右支,所求方程为

x2 y2 ? ? 1?x ? 0? 2 2
(2)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x ? x0 此时
2 2 A x0. . x0 ? 2 , B x0. . ? x0 ? 2 , OA ? OB ? 2

?

? ?

?

当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b 代入双曲线方程得

?1 ? k ?x
2

2

? 2kbx ? b 2 ? 2 ? 0

依题意可知方程有两个不相等的正数根,设 A?x1 , y1 ?BA?x2 , y 2 ? 则

? ?? ? 4 k 2 b 2 ? 4 1 ? k 2 ? b 2 ? 2 ? 0 ? 2kb ? ?0 , 解得 k ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1? k 2 ? ? b2 ? 2 x ? x ? ?0 ? 1 2 k 2 ?1 ?

?

??

?

故OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ?kx1 ? b??kx2 ? b? ? 1 ? k 2 x1 x2 ? kb?x1 ? x2 ? ? b 2 ? 2k 2 ? 2 4 ? 2? 2 ?2 2 k ?1 k ?1

?

?

综上可知 OA? OB 的最小值为 2



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