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2014年高考函数专题


连云港市 扬华家教培训中心

函数专题

2014.1 寒假
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2014 年寒假函数专题精讲
一. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为 同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一 函数” ,那么解析式为 y ? x2 ,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个 (答:9) 二.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : 1. (1)函数 y ?
x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____

(答: (0, 2) ? (2,3) ? (3, 4) ); (2)若函数 y ?
kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______ kx ? 4kx ? 3
2

? 3? (答: ?0, ? ); ? 4?

(3)函数 f ( x) 的定义域是 [a, b] ,b ? ? a ? 0 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是__________ (答: [a, ?a] ); (4)设函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) ,①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;②若 f ( x) 的 值域是 R,求实数 a 的取值范围

(答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1 ) 2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。 3 .复合函数的定义域:若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] , 其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于当 x ? [a, b] 时,求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。如
?1 ? (1)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为__________ ?2 ?

(答: x | 2 ? x ? 4 ) ; (2)若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________

?

?

(答:[1,5]) .
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三.求函数值域(最值)的方法: 1.配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间 [ m, n] 上的最值;二是 求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两 看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系) ,如 2 (1)求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域

(答:[4,8]) ; (2)函数 f ( x) ?
1 的最大值 x ? x ?1
2

2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 (1) y ? 2 x ? 1 ? x ?1 的值域为_____

3.分离常数法—针对分式形式 x2 ?1 函数 y ? 2 的值域_____ x ?1 (答: (3, ??) ) 4.单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如 1 求 y ? x ? (1 ? x ? 9) , y ? 2x?5 ? log3 x ?1 的值域 x

5、耐克函数法—特定的函数形式 y ? ax ? b 已知函数 f ( x) ?
x2 ? 2 x ? a , x ? [1, ??) x

1 x

1) a ? 4 时,求最小值; 2) a ? 1/ 2 ,求最小值。

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6.数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,如 y (1)已知点 P ( x, y ) 在圆 x2 ? y 2 ? 1上,求 x?2

3 3 ; , ]) 3 3 四.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系 的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于定义域的

(答: [?

哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取 值范围的并集。如 2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) (1)设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是__ 4 ? x ? 1.( x ? 1) ? ?

(答: (??, ?2] ? [0,10] ) ;

( x ? 0) ?1   (2)已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集_____ ( x ? 0) ??1  
3 (答: ( ??, ] ) 2

五.求函数解析式的常用方法: 1.待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ; 已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 , 求 f ( x) 的解析式 。

(答: f ( x) ? 2.代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。如 1 1 (1)若 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ x x

1 2 x ? 2x ?1) 2

(答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ; (2) 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0,??) 时,f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 那么当 x ? (??,0)
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时, f ( x) =________

(答: x(1 ? 3 x ) ). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的值域。 3.方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行 赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。如 (1)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式 2 (答: f ( x) ? ?3 x ? ) ; 3 1 (2)已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) = ,则 f ( x) = _ x ?1 x (答: 2 )。 x ?1 七.函数的奇偶性。 1.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性) : | x ? 4 | ?4 ①定义法:如判断函数 y ? 的奇偶性____(答:奇函数) 。 9 ? x2
变式训练: 判断下列函数的奇偶性. 1-x 1)f(x)=lg ; 1+x (2)f(x)=(x+1) 1- x ; 1+ x

图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 3.函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的 区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) .如 1 若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,且 f ( ) =2,则不等式 f (log1 x) ? 2 的解集为 3 8 ______. (答: (0, 0.5) ? (2, ??) ) ③若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .

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4.函数的奇偶性应用

(1)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2-x-1,求 f(x)的解析式;

(2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围.

2)若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lg x)的解集是 ( A.(0,10) 1 ? B.? ?10,10? 1 ? C.? ?10,+∞? 1? D.? ?0,10?∪(10,+∞)



3)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D.有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2).

(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明;(3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增

函数,求 x 的取值范围.

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4)已知函数f(x的 ) 定义域是 (0,?? ) ,且满足 f ( x y ) ? f () x ? f () y, f ( ) ? 1 ,如果对于 0 ? x ? y , 都有 f (x ) ? f (y ),(1)求 f ( 1 ) ; (2)解不等式 。 f ( ? x ) ? f ( 3 ? x ) ? ? 2

1 2

引申拓展: 几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; x f ( x) ②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? ; y f ( y) f ( x) ③指数函数型: f ( x) ? a x ------------ f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ? ; f ( y) x ④对数函数型: f ( x) ? loga x ----- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ; y

八.函数的单调性。 (1)若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 ______ (答: a ? ?3 )); ax ? 1 (2)已知函数 f ( x) ? 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____ x?2 1 (答: ( , ??) ); 2 a ? ? (3)若函数 f ? x ? ? log a ? x ? ? 4 ? ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是______ x ? ? (答: 0 ? a ? 4 且 a ? 1 ));

??上为增函数,则实数 a , b 的取值范围是 x )?ax? b? 2在 x??0, ? 4)若函数 f(



(答: a ? 0, b ? 0 ) 。
a 2.特别提醒:求单调区间时,勿忘定义域,如若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 ( ??, ] 上为减函 2 数,求 a 的取值范围(答: (1, 2 3) ); 3.函数单调性与奇偶性的逆用: (①比较大小;②解不等式;③求参数范围).如已知奇函数 f ( x) 是
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定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。(答: ? 九.函数的周期性与对称性
函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数), ① 1.几种特殊的抽象函数的周期:

1 2 ?m? ) 2 3

f ?x a ??f ?x? ?,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数; x ? a ? f? x ② f? ?? ?,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数;
1 ,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数; f ? x?

③ f ? x ? a? ??

x ? a f? x ? a ④ f? ,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数; ?? ?
⑤ f (x ?a) ?

1? f (x) ,则 f ?x? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数. 1? f (x) 1? f (x) ,则 f ?x? 是以 T ? 4a 为周期的周期函数. 1? f (x)

⑥ f (x ?a) ?

⑦函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? 0 ) ,若f(x)为奇函数,则其周期为 T ? 4a , ( a ? x ) ? f( a ? x ) 若 f (为 x) 偶函数,则其周期为 T ? 2a . 2.对称性: 函数关于原点对称即奇函数: f( ? x )? ? f( x ) 函数关于 y 对称即偶函数: f ( ? x )?f(x ) 函数关于直线 x ? a对称: f 或 f( 或 者 f( ( x ? a ) ? f( a ? x ) x )? f( 2 a ? x ) x ? 2) a? f( ? x ) 3 函数的周期性与对称性的应用: 例 1.已知 f(x)是 R 上的偶函数,对 x?R都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若 f(1)=2,则 f(2011)=( A、2005 B、2 C、1 D、0 (答:B) )

例 2. 设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对 称,则下面正确的结论是 (A) f ; 1 . 5 ? f 3 . 5 ? f 6 . 5 ? ? ? ? ? ? (C) f ; 6 . 5 ? f 3 . 5 ? f 1 . 5 ? ? ? ? ? ? ( ) (B) f ; 3 . 5 ? f 1 . 5 ? f 6 . 5 ? ? ? ? ? ? (D) f 3 . 5 ? f 6 . 5 ? f 1 . 5 ? ? ? ? ? ? (答:B)

例 3.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于 ( ? + f (2) +?+ f (2010)的值为( ) A.–2 B.–1

3 3 , 0 ) 成中心对称, 1 )? 1, f (0) = –2, 且满足 f (x) = ?f (x? ),f (? 则 f (1) 4 2

C.0

D.1

(答:C)

例 4.已知函数f(x是 ,则 f ( f ( ) ) 的值是 ) 定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 x fx (??? 1 )( 1x )() fx 的值是 A.0 B.

5 2

1 2

C.1

D.

5 2

(答:A)

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例 5.

f x ?1 y ? f ? x ? 定义域为 R,且对任意 x ? R 都有 f ? x ?1? ? ? ? ,若 f ?2? ?1? 2则 f(2009) =_ 1? f ? x?

(答: -1- 2 ) 例 6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x ? 2 称,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= (答:0) 例 7.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;

1


_ _ _ _

(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;

(3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011).

例 8.设函数f(x在 ,f , 且 在 闭 区 间? 0 , 7 ? 上 , 只 有 f( . ) (??, ??) 上满足 f( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ( 7 ? x ) ? f( 7 ? x ) 1 )?f( 3 )? 0

(Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性;

2 0 0 5 ,2 0 0 5 (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ?? ?上的根的个数,并证明你的结论
(答: (1)函数 y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数; (2)在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是 802. )

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