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3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示


3.2.2
编制人 李伟

平面的法向量与平面的向量表示
审核人 辛爱霞 使用时间 2014-12-30

学习目标
1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量. 2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.

重点难点
理解并会应用三垂线定理及其逆定理,证明有关垂直问题.

知识链接
1.平面的法向量:已知平面 α,如果________________________,则向量 n 叫做平面 α 的法向量或说向 量 n 与平面 α 正交. 2.平面的向量表示:设 A 是空间任一点,n 为空间内任一向量,则适合__________的点 M 构成的图形是 过空间内一点 A 并且与 n 垂直的平面.这个式子称为平面的向量表示式. 3.设 n1,n2 分别是平面 α、β 的法向量,则 α∥β 或 α 与 β 重合?________________. α⊥β?________?__________. 4.三垂线定理:如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜 线垂直.

学习过程
一、 课内探究 探究点一 平面的法向量

问题 1 平面的法向量有何作用?是否唯一.

探究点二

根据下列条件,判断相应的直线与平面、平面与平面的位置关系.

(1)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a=(3,2,1),n=(-1,2,-1); (2)平面 α、β 的法向量分别是 n1=(1,3,0),n2=(-3,-9,0); (3)平面 α、β 的法向量分别是 n1=(1,-3,-1),n2=(8,2,2).

探究点三

三垂线定理及应用

问题 1 如图,AB,AC 分别是平面 α 的垂线和斜线,BC 是 AC 在 α 内的射影,a?α,试用三垂线定理或 其逆定理说明在上述条件下 a⊥BC 和 a⊥AC 的关系.如何证明?

问题 2 三垂线定理中,把 a?α,改为 a∥α,其他条件不变,三垂线定理仍然成立吗?

典例剖析
例1 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向量.

跟踪训练 1 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量.

例 2. 在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,BC=CD,∠BCD=90° ,∠ADB=30° ,E、F 分别是 AC、 AD 的中点,求证:平面 BEF⊥平面 ABC.

跟踪训练 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点, 求证:(1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

例3

如图,已知 PO⊥平面 ABC,且 O 为△ABC 的垂心,求证:AB⊥PC.

三、小结反思
在证明过程中,体会向量法与几何法证明的不同之处.从不同的角度阐明数学证明的原理,培养我们 善于探索、独立思考、集体交流的好习惯.

四、当堂检测
1.若平面 α、β 的法向量分别为 u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则 ( ) A.α∥β B.α⊥β C.α、β 相交但不垂直 D.以上均不正确 2.若直线 l 的一个方向向量为 a=(2,5,7),平面 α 的一个法向量为 u=(1,1,-1),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.A、C 都有可能 3.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中,在平 面 α 内的是 ( ) 3 3 3? ? ? ? ? ? A.(1,-1,1) B.?1,3,2? C.?1,-3,2? D.?-1,3,-2? ? ? ? ? ? ? 4.若 n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量,且 α⊥β,n1=(1,2,x),n2=(x,x+1,x),则 x 的 值为 ( ) A.1 或 2 B.-1 或-2 C.-1 D.-2 5. 设平面 α 的法向量为(1,2, -2), 平面 β 的法向量为(-2, -4, k), 若 α∥β, 则 k 等于( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 6.已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是 ( ) ? 3 ? 3 3 3? 3 3? A.? , ,- ? B.? ,- , ? 3 3? 3 3? ?3 ?3 ? ? 3 3 3? 3 3 3? C.?- , , ? D.?- ,- ,- ? 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? 7. 已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2), b=(x, -2, 3), 且 α⊥β, 则 x=________. 五、课后巩固
1.下列命题中: ①若 u,v 分别是平面 α,β 的法向量,则 α⊥β?u· v=0; ②若 u 是平面 α 的法向量且向量 a 与 α 共面,则 u· a=0; ③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 正确的命题序号是________. 2.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对 于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面 ABCD 的法向量;其中正确的是________.(填序号) 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使得 D1M⊥ 平面 EFB1.

4.如图所示,△ABC 是一个正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE =CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证:平面 DEA⊥平面 ECA.

5.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,∠ABC=60° , 2 3 PA=AB=BC,AD= AB,E 是 PC 的中点. 3 证明:PD⊥平面 ABE.

6.如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60° , AB=AD=2CD,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90° ,M 为 AP 的中点. 求证:DM∥平面 PCB.

六、学习后记

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示答案 四、当堂检测 1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.-4 五、课后巩固 1.①②③ 2.①②③ 3. 解 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 设正方体的棱长为 2, 则 E(2,1,0), F(1,2,0), D1(0,0,2), B1(2,2,2). 设 M(2,2,m),则=(-1,1,0),=(0,-1,-2),=(2,2,m-2). ∵D1M⊥平面 EFB1,∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E, ∴· =0 且· =0, ?-2+2=0, ? 于是? ∴m=1, ?-2-2?m-2?=0, ? 故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1. 4.证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,不妨设 CA=2, 则 CE=2,BD=1,C(0,0,0),A( 3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1). 所以=( 3,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1). 分别设面 CEA 与面 DEA 的法向量是 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

? 3x1+y1-2z1=0, ?y1=- 3x1, 则即? 解得? ?2z1=0. ?z1=0. ? 3x2+y2-2z2=0, ?x2= 3y2, 即? 解得? ?2y2-z2=0. ?z2=2y2.
不妨取 n1=(1,- 3,0),n2=( 3,1,2), 因为 n1· n2=0,所以两个法向量相互垂直. 所以平面 DEA⊥平面 ECA. 5.证明 ∵PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, ∴AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1)、A(0,0,0)、B(1,0,0)、 2 3 ? D?0, ,0 . 3 ? ? ∵∠ABC=60° ,∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C? , ,0?,E? , , ?. ?2 2 ? ?4 4 2 ?

1 3 1 ∴=(1,0,0),=? , , ?, ?4 4 2? ∴设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), ?x=0, 则? 1 3 1 ? ?4x+ 4 y+2z=0,

?

3 2 3 ? 令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3).∵=?0, ,-1 ,显然= 3 n,∴∥n, 3 ? ?

∴⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE.

6.证明 取 AD 的中点 G,连接 PG,GB. ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD. ∵PG⊥AD,∴PG⊥底面 ABCD, ∴PG⊥BG.又∵BG⊥AD, ∴直线 DA、GB、GP 两两互相垂直,故可以分别以直线 DA,GB,GP 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系 Gxyz, 设 PG=a,C(x,y,z),则可求得 P(0,0,a),A(a,0,0),B(0, 3a,0),D(-a,0,0), 则=(0,0,a),=(-a, 3a,0),=(0, 3a,-a). ∵AB=2DC,且 AB∥CD, ∴=2,即(-a, 3a,0)=2[(x,y,z)-(-a,0,0)]. 3 3 3 3 ∴(x,y,z)=?- a, a,0?,即 C?- a, a,0?. 2 2 2 2 ? ? ? ? 3 3 ? ? ∴= - a,- a,0 . 2 ? 2 ? 设 n=(x0,y0,z0)是平面 PBC 的法向量, 则 n· =0 且 n· =0, 3 3 3 ? ? ?- ax0- ay0=0 ?x0=- y0, 2 3 ∴? 2 ?? ? ? ? 3ay0-az0=0 ?z0= 3y0, 取 y0= 3,得 n=(-1, 3,3). a a? ∵点 M 是 AP 的中点,∴M? ?2,0,2?, a a? a? ?3 ∴=? ?2,0,2?-(-a,0,0)=?2a,0,2?. 3 a? · n=? (-1, 3,3)=0,∴⊥n. ?2a,0,2?· ∵DM?平面 PCB,∴DM∥平面 PCB.



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