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等比数列求和方法
对于等比数列的求和问题, 首先是要熟练地掌握基本数列的求和公式, 一方面是基础知 识灵活运用的前提,另一方面,掌握的基本公式的推导的过程,常常也是转化成功的典范, 可以启发联想,找到解决新问题的入口.下面就如何求等比数列的和进行探讨. 一、利用等比数列前 n 项和公式 1 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n-1,求{ }的前 n 项和 Tn. an 分析:根据通项 an 与 Sn 的关系,可以求得数列{an}的通项公式,可以发现{an}为等比数 1 列,根据等比数列的性质知数列{ }也是等比数列,因此再利用等比数列的前 n 项和公式. an 解:当 n≥2 时,由 Sn=2n?1,知 a n=S n-Sn?1=2n?1 (*), n?1 又 a1=S1=1,满足(*),所以{an}的通项公式为 a n=2 . 1 1 ∴数列{ }是以首项为 1,公比 q= 的等比数列,则 an 2 1 a1(1-qn) 1 { }的前 n 项和 Tn= =2- n?1. an 1-q 2 点评:要用等比数列的前 n 项和公式,首先就是要确定数列是否为等比数列.在利用通 项 an 与 Sn 的关系 a n=?
? S1 ? S n-Sn?1

n=1 时,一定要注意对 n=1 进行验证. n≥2

二、利用待定系数法 例 2 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=21,S6=189,求 Sn. 分析:如果直接利用等比数列的前 n 项和公式,建立关于首项与公比的方程组,其运算 量较大,不可取.由于等比数列的前 n 项和公式 Sn= a1(1-qn) a1 a1 = - ·qn,具有结构 Sn 1-q 1-q 1-q
? 21=A-Aq6

=A-Aqn,因此本题只须利用 S3 与 S6 的取值建立方程组来解决, ① , 189=A-Aq3 ② ? 由②÷①得 q3+1=9,所以 q=2,代入①得 A=-3. 所以 Sn=3·2n-1. 点评: 本题实质上是借助等比数列的前 n 项和公式在结构上简化表达式, 利用待定系数 法来解决的.在数学解题中借助等式、不等式、方程等的结构特征来解决问题,常常可将问 题简化,同学们在学习中要认真去体会. 三、利用等比数列的连续 k 项片断和性质 例 3 已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,前 2n 项和为 60,前 3n 项和 63.求 Sn. 分析:由于涉及等比数列的前 n 项和,但不涉及数列的各项的具体情况,因此可以考虑 等比数列的连续 k 项片断和的性质来解. 解:根据等比数列的性质,可知 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, 即 Sn,60-Sn,3 成等比数列,所以(60-Sn)2=3·Sn, 整理,得 Sn2-123Sn+3600=0,解得 Sn=48 或 75. 点评:在应用等比数列的连续 k 项片断和的性质时,容易 Sn,S2n,S3n 成等比数列.解 决此类问题这种方法实质上体现了数学的整体思想. 四、利用等比性质 解:设 Sn=A-Aqn,则由 S3=21,S6=189,得?

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例 4 已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,前 n 项和为 Sn,求 Sn. 分析: 等比数列的前 n 项和的求法, 除课本上的错位相减外, 还可以利用比例的性质(等 b d b+d 比性质):若 = =k,则 =k. a c a+c an a2 a3 a4 解:由等比数列的定义,有 = = =……= =q a1 a2 a3 an-1 由等比定理有: a2+a3+…+an Sn-a1 =q,即: =q?(1-q)Sn=a1-anq. a1+a2+…+an-1 Sn-an

? q≠1 Sn=a1-anq 1-q . 于是: Sn=? ? q=1 Sn= na1
点评:解答本题要注意对公比 q 的讨论,由此等比数列的前 n 项和要分两种情况,因此 当公比涉及字母时,要注意确定公比是否可以取 1. 五、利用错位相减法求解 1 n+2 例 4 已知数列{an}是公比为 的等比数列,且 a1+2a2+3a3+…+nan=2- n ,求数列 2 2 {an}的前 n 项和公式 Sn. 分析: 已知等式的左边是实质是由一个数列与一个等比数列相对应项的积, 因此可以利 用错位相减法先转化出 Sn 的表达式,再利用 S1=a1 即可求得最后的结果. 1 1 1 解:∵数列{an}是公比为 的等比数列,∴an+1= an,且 an+1= na1,则 2 2 2 n+2 由 a1+2a2+3a3+…+nan=2- n 2 ①, ②,

1 n+2 两边同时乘以 ,得 a2+2a3+3a4+…+(n-1)an+nan+1=1- n+1 2 2 由①-②得 a1+a2+a3+…+an-nan+1=1- n+2 , 2n+1 ③,

1 n+2 1 n+2 即 Sn- nna1=1- n+1 ,Sn= nna1+1- n+1 2 2 2 2

1 1+2 1 ∵S1=a1,∴S1=a1= 1·1·a1+1- 1+1 ,解得 a1= , 2 2 2 1 1 将 a1= ,代入③得∴Sn=1- . 2 2 点评: 本题实质上是利用错位相减法求前 n 项的逆向思维问题, 即知道了由一个等差数 列与一个等比数列相对项的积构成的数列的前 n 项和公式,求其中的等比数列的前 n 项和.

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