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高中数学人教B版选修2-1课件 章末归纳总结3_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·选修2-1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 空间向量与立体几何 第三章 章末归纳总结 1 知 识 梳 理 2 误 区 警 示 3 专 题 研 究 知识梳理 1 .空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、 减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成 立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都 是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二 维到三维的推广. 2 .a·b= 0?a⊥b是数形结合的纽带之一,这是运用空间 向量研究线线、线面、面面位置关系的关键. a· b 3.公式cos〈a,b〉= |a|· |b| 是应用空间向量求空间中各种 角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角,再结合平 面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直 线与平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量 之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面 间的位置关系以及有关的计算问题. 5.用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线 向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,即 a⊥b?a· b=0. (3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向 量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向 量来线性表示直线的方向向量. (4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6.运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 a· b 利用公式cos〈a,b〉= , |a|· |b| ? π? 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是?0,2?, ? ? 故实质上应有:cosθ=| cos<a,b>|. (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直 线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方 法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的 夹角φ.即可求出直线与平面所成的角θ其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角 的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向 量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大 小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角, 它与二面角的大小相等或互补. 7.运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、 点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是 这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向 量的模,即得要求的点面距离. 误区警示 1 .空间向量有关概念的辨析题.空间向量中的所有概念 都是严密、精炼、准确的,在做辨析题时往往改变、缺失概念 中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况,所以对基本概念 的理解要做到全面、准确、深入. 2 .利用向量求空间角时,要注意弄清向量夹角与所求角 的关系. 专题研究 利用空间向量解决平行与垂直问题 空间中的平行与垂直关系,是高考的重点题型,有些问题 中的线面平行与垂直关系,使用向量将几何证明与计算转化为 纯代数运算,使问题得以简化. 如下图,长方体ABCD- A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B 上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1. (1)求证:直线EF∥AC1; (2) 若 EF 是两异面直线 B1D1 , A1B 的公垂 线,求证:该长方体为正方体. [解析] (1)证明:以DA,DC,DD1所在的直线分别为x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设DA=a,DC =b,DD1=c,则得下列各点的坐标,A(a,0,0)、C1(0,b, 2a 2b b 2c c)、E( 3 , 3 ,c)、F(a,3, 3 ). a b c → → 从而FE=(-3,3,3)、AC1=(-a, b,c), → 1→ ∴FE=3AC1. 又FE与AC1不共线,所以直线EF∥ AC1. (2)∵D1(0,0,c)、B1(a,b,c)、A1(a,0,c)、B(a,b,0), → → ∴D1B1=(a,b,0)、A1B=(0,b,-c). ∵EF是两异面直线B1D1,A1B的公垂线, ?→ → ?FE· D1B1=0 ∴? → → ? FE A1B=0 ? · ?1 ?a,b,0?=0 ?3?-a,b,c?· ,即? ?1?-a,b,c?· ?0,b,-c?=0 ?3 , 化简,得a2=b2=c2,∴a=b=c. 所以该长方体为正方体. 利用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成的角 设a、b分别是异面直线l1,l2上的方向向量,θ为l1,l2所成 |a· b| 的角,则cosθ=|cos〈a,b〉|=|a||b|. (2)求直线与平面所成的角 设l为平面α的斜线,a为直线的方向向量,n为平面α的法 |a· n| 向量,θ为l与α所成的角,则sinθ=|cos〈a,n〉|=|a||n|. (3)求二面角 设 n1 、 n2 分别是平面 α 、 β 的法向量,二面角为 θ ,则 θ =

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