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江苏省高邮中学2018-2019学年高一上学期10月第一次阶段测试数学试卷 Word版含答案

江苏省高邮中学高一年级十月份第一次阶段测试 数学试卷
2018.10 命题人:沈军 审核人:高迎春 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题纸相应的位置 ........ 上 . . 1.已知集合 A ? {1, 2}, B ? {2,3} ,则 A

B?




. 个. ▲ .

2.已知集合 P ? ?1,3? ,则集合 P 的子集共有

3.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 的值域为 {1,7,13} ,则该函数的定义域为 4.已知函数 f ( x ? 1) ? x2 ? 2 x ,则 f ( x) ? 5.著名的 Dirichlet 函数 D( x) ? ? ▲ .

?1, x为有理数 ,则 D( D( 2)) ? ?0, x为无理数
▲ .





6.函数 f ( x) ?

1? x 的定义域为 x

7.若函数 f ( x) ? kx2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x ) 的递增区间是 8.函数 f ( x) ? x2 ? ax 的单调增区间为 [1, ??) ,则 a ? 9.函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 2 , x ?[?2,2] 的值域为 ▲ ▲ . .





2 10.已知集合 A ? ?1, 0, m, m ? 2 , B ? ?x | 0 ? x ? 1? ,若 A

?

?

B ? ? ,则实数 m 的取值范

围是


2


1

11. [(1 ? 2) ] 2 ?





12.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1, a, b ? R ,则函数 f ( x ) 在区间 [?2018, 2018] 上的最大值与最 小值之和为 ▲ .
2

13.设 f ( x) ? 0, g ( x) ? x ? 2 x ,若 F ( x) ? ? 为 ▲ .

? f ( x), f ( x) ? g ( x) ,则 F ( x) 的最大值 ? g ( x), f ( x) ? g ( x)

14.几位同学在研究函数 f ( x) ?

x ( x ? R) 时,给出了下面几个结论: 1? | x |

① f ( x ) 的单调减区间是 ( ??, 0) ,单调增区间是 (0, ??) ; ②若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③函数 f ( x ) 的值域为 R ; ④若规定 f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f [ f n ( x)] ,则 f n ( x) ? 上述结论中正确的是____▲____. 二.解答题(本大题共 6 小题,共计 80 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明或演算步骤) 15.(本题满分 12 分)
1

x 对任意 n ? N * 恒成立. 1? n | x |

求值:⑴已知 x 2 ? x

?

1 2

? 4 ,求 x ? x ?1 的值;

⑵ 6 24 ? 3 3 ?

3 . 2

16.(本题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} , B ? {x | x ? 0 或 x ? 3} . ⑴若 a ? 0 ,求 A

B;

⑵若 A ? CR B ,求实数 a 的取值范围.

17.(本题满分 12 分) 高一某班共有学生 43 人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 120 元。若该班全 体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是

购买纯净水的费用,另一部分是其它费用 260 元,其中,纯净水的销售价 x (元 / 桶)与年购 买总量 y (桶)之间满足如图直线所示关系. ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; ⑵若该班每年需要纯净水 360 桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水 的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一个更少?说明你的理由.

18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x x ? m ? nx,(m, n ? R) . ⑴若 n ? 0 ,且 f (4) ? 0 ,求方程 f ( x) ? m 的解集; ⑵若 n ? ?1 ,方程 f ( x) ? 0 恰有两个不同的根,求实数 m 的值.

19.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 3x ? 4 . ⑴求函数 f ( x ) 的解析式; ⑵①证明函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是单调递减函数; ②判断函数 f ( x ) 在 [1, ??) 上的单调性(不要证明) ; ⑶根据你对该函数的理解,作出函数 f ( x)( x ? R) 的图像. (不需要说明理由,但要有关键特 征,标出关键点) (本题可能使用到的公式: a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) )

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? a ? 3 , g ( x) ? mx ? 5 ? 2m . ⑴若集合 {x | f ( x) ? 0} ? R ,求实数 a 的取值范围; ⑵当 a ? 0 时,若对任意的 x1 ? ?1, 4? ,总存在 x2 ? ?1, 4? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 m 的取 值范围; ⑶若 y ? f ( x) ? x ? ?t , 4?? 的值域为区间 D , 是否存在常数 t , 使区间 D 的长度为 7 ? 2t ?若存在, 求出 t 的值;若不存在,请说明理由(注:区间 ? p, q ? 的长度为 q ? p ) .

江苏省高邮中学高一年级十月份第一次阶段测试 数学试卷答案
2018.10 一.填空题 1. {1, 2,3} 6. {x | x ? 1 且 x ? 0} 11. 2 ? 1 二.解答题
1

2. 4 7. (0, ??) 或 [0, ??) 13. 0

3. {?1, 2,5} 8. 2

4. x ? 1
2

5.1 10. (0,1)

9. [?6,3]

12. 2

14.②④

15.解:(1)因为 x 2 ? x
?1 2

?

1 2

? 4 ,所以 ( x 2 ? x 2 )2 ? 42 ,
?1

1

?

1

即 x ? x ? 2 ? 4 ,所以 x ? x
6 3

? 14

…………………………5 分

1 1 1 1 1 ? 3 6 3 2 2 24 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 2 ? 3 ;………………………………12 分 2

注:每化对一个根式得一分. 16. 解:⑴若 a ? 0 ,则 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , A ⑵因为 CR B ? {x | 0 ? x ? 3} , 所以 ?

B ? {x | ?1 ? x ? 0}

……5 分

?a ? 1 ? 0 ,则 1 ? a ? 2 a ? 1 ? 3 ?

注:结论左侧多等号或右侧少等号各扣 2 分. 所以实数 a 的取值范围是 (1, 2] ……12 分

17.解:⑴设 y ? kx ? b(k ? 0) , 因为 x ? 8 时, y ? 400, x ? 10 时, y ? 320 。

所以 ?

? 400 ? 8k ? b ?k ? ?40 ,解之得, ? , ?320 ? 10k ? b ?b ? 720

所以 y 关于 x 的函数关系式为 y ? ?40 x ? 720 由?

?x ? 0 ,得 0 ? x ? 18 ,所以定义域为 {x | 0 ? x ? 18} ; ?y ? 0

……………6 分

注:定义域不写或错误扣 3 分 ⑵该班学生买饮料每年总费用为 43 ?120 ? 5160 (元) , 当 y ? 360 时, x ? 9 , 则该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 360 ? 9 ? 260 ? 3500 (元) , 所以饮用桶装纯净水的年总费用少; ……………12 分 答:⑴ y 关于 x 的函数关系式为 y ? ?40 x ? 720 ,其定义域为 {x | 0 ? x ? 18} ; ⑵饮用桶装纯净水的年总费用比购买饮料的年总费用少. 注:没有答扣 2 分 18. 解:⑴ n ? 0 时,依题意 f (4) ? 4 4 ? m =0 ,所以 m =4
2 ? ? x ? 4 x, x ? 4 所以 f ( x) ? ? 2 , ? ? ? x ? 4 x, x ? 4

………………………2 分

若 x ? 4 x ? 4 ,解得 x ? 2 ? 2 2 (舍负)
2

若 ? x ? 4 x ? 4 ,解得 x ? 2
2

………………………5 分 ………………………7 分

所以方程 f ( x) ? m 的解集为 {2, 2 ? 2}. 注:答案不写出集合形式扣 2 分.

⑵ n ? ?1 时, f ( x) ? x x ? m ? x ? x( x ? m ?1) , 由 f ( x) ? 0 解得 x ? 0 或 x ? m ? 1 , 由 x ? m ? 1 解得 x ? m ? 1 或 x ? m ? 1 . 方程 f ( x) ? 0 恰有两个不同的根,且 m ? 1 ? m ? 1 , 所以 m ? 1 ? 0 ,或 m ? 1 ? 0 , 所以 m ? ?1 . ………………………14 分 ………………………10 分

? x3 ? 3x ? 4, x ? 0 ? 19、解:⑴ f ( x) ? ? 0,???????????????x ? 0 ; ? x3 ? 3x ? 4, x ? 0 ?
3 3

……………4 分

⑵①证明:设 0 ? x1 ? x2 ? 1 , f ( x1 ) ? x1 ? 3x1 ? 4 , f ( x2 ) ? x2 ? 3x2 ? 4 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 3x1 ? 4) ? ( x2 ? 3x2 ? 4) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x1x2 ? x2 ? 3) ,
3 3 2 2

因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,
2 0 ? x12 ? 1,0 ? x1x2 ? 1,0 ? x2 ? 1,

2 2 则 x1 ? x1x2 ? x2 ?3 ? 0,

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是单调递减函数. ②单调递增. 注:证明 4 分,判断 2 分, ⑶如右图 ……………10 分

……………14 分

注:其中点 (0, 4), (0, ?4) 空圈, (0, 0) 实圈 1 分,
(少一个或错一个不给分) ; 其中区间 (?1, 0), (0,1) 递减, 区间 (??, ?1), (1, ??) 递增 2 分, (少一个或错一个不给分) ; 点 (1, 2) 为第一象限的最低点,点 (?1, ?2) 为第三象限的最高点. (少一个或错一个不给分) 20.解: (1)因为 {x | f ( x) ? 0} ? R , 即 f ( x) ? 0 恒成立, 所 以 ? ?( ? 4 ) ? 4a ( ? 3) ? , 0 解得
2

a ?1
故 所 求 实 数 a 的 取 值 范 围 为

(1, ??) .


…………………………… 4

(2)若对任意的 x1 ? ?1, 4? ,总存在 x2 ? ?1, 4? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 只需函数 y ? f ( x) 的值域是函数 y ? g ( x) 的值域的子集. 当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3 , x ? ?1, 4? 的值域为 ? ?1,3? , 下面求 g ( x) ? mx ? 5 ? 2m , x ? ?1, 4? 的值域. ①当 m ? 0 时, g ( x) ? 5 为常数,不符合题意,舍去; ②当 m ? 0 时, g ( x) 的值域为 ?5 ? m,5 ? 2m? ,要使 ? ?1,3? ? ?5 ? m,5 ? 2m? , …………………… 6 分 ………………… 7 分

?5-m≤-1 需? ,解得 m≥ 6 ; ?5 ? 2m≥3

③当 m ? 0 时, g ( x) 的值域为 ?5 ? 2m,5 ? m? ,要使 ? ?1,3? ? ?5 ? 2m,5 ? m? ,
?5 ? 2m≤-1 需? ,解得 m≤-3 ; ?5-m≥3

综上, m 的取值范围为 ? ??, ?3?

?6, ??? .

…………………………………… 10 分

?t ? 4 7 (Ⅲ)由题意知 ? ,可得 t ? . 2 ?7 ? 2t ? 0

…………………………………… 12 分

①当 t≤0 时,在区间 ?t , 4? 上, f (t ) 最大, f (2) 最小, 所以 f (t ) ? f (2) ? 7 ? 2t 即 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ,解得 t ? ?1 或 t ? 3 (舍去) ; ②当 0 ? t≤ 2 时,在区间 ?t , 4? 上, f (4) 最大, f (2) 最小, 所以 f (4) ? f (2) ? 7 ? 2t 即 4 ? 7 ? 2t ,解得 t ? ③当 2 ? t ?

3 ; 2

7 时,在区间 ?t , 4? 上, f (4) 最大, f (t ) 最小, 2

所以 f (4) ? f (t ) ? 7 ? 2t 即 t 2 ? 6t ? 7 ? 0 ,解得 t ? 3 ? 2 (舍去) 综上所述,存在常数 t 满足题意, t ? ?1 或

3 . ………………………………… 16 分 2


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