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北京市北京师范大学附属中学2018届高三上学期期中考试数学文试题 含解析 精品

北京师大附中 2018 届上学期高中三年级期中考试数学 试卷(文科) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上. 1. 已知集合 , ,则集合 中元素的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】由 ,解得: ,即 ,∵ ,∴ , 则集合 中元素的个数为 2,故选 C. 2. 下列函数中为偶函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A. 的定义域为 ,定义域关于原点对称, , 故其为偶函数;对于 B. 的定义域为 ,由于定义域不关于原点对称,故其为 非奇非偶函数;对于 C. 的图象关于 对称,故其为非奇非偶函数;D.根据指数 函数的性质可得, 的图象既不关于原点对称也不关于 轴对称,其为非奇非偶函数,故 选 A. 3. 已知直线 m,n 和平面 α ,如果 ,那么“m⊥n”是“m⊥α ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若 ,则 ,即必要性成立,当 时, 不一定成立,必须 垂直平 面 内的两条相交直线,即充分性不成立,故“ ”是“ ”的必要不充分条件,故 选 B. 4. 已知平面向量 ,则 a 与 a+b 的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵向量 , ,∴ , ,设与 的夹角为, ,则由 ,可得 ,故选 A. 5. 在等比数列 中, , A. 9 B. 72 【答案】D C. 9 或 72 D. 9 或-72 【解析】设等比数列 的公比为 ,∵ ,则 , 等于( ) ,∴ ,故 或 ,故选 D. ,解得 或 6. 设 x,y 满足 则 的最小值为( ) A. 1 B. C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图: 的几何意义是区域内的点到定点 的距离最小,此时距离 的距离的平方,由图象知 A 到直线 ,则距离的平方 ,故选 B. 7. 若函数 数 的极值点为( ) A. B. 的相邻两个零点的距离为 ,且 ,则函 C. D. 【答案】D 【解析】∵函数 的相邻两个零点的距离为 ,∴ ,故 ,又∵ ,即函数为奇函数,故可得 ,结合 得 , 故 ,∴ ,令 ,得 ,经检验 为极值 点,故选 D. 8. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则,例如《周髀算经》和《易经》里对二 十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则 是按照等差数列的规律计算得出的,下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中 115.1 寸表示 115 寸 1 分(1 寸=10 分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为 130.0 寸,夏 至晷影长为 14.8 寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( ) A. 72.4 寸 B. 81.4 寸 C. 82.0 寸 D. 91.6 寸 【答案】C 【解析】设晷影长为等差数列 ,公差为 , , ,则 , 解得 ,∴ 选 C. ,∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是 寸,故 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填写在答题纸 上. 9. 设 i 为虚数单位,复数 =______________. 【答案】 【解析】 ,故答案为 . 10. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c=4, ,则 a=_______,S△ ABC=_________. 【答案】 (1). 2 (2). 11. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到,其三视图如图所示,则该几何体的体积为 _________. 【答案】 【解析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到 的组合体,正方体的体积为: ,四棱锥的体积为: ,故组合体的 体积 ,故答案为 . 点睛:本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积,棱锥的体积和表面积,简单几何体的三视 图,难度中档;由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥 得到的组合体,分别计算他们的体积,相减可得答案. 12. 已知向量 a=(1,1),点 A(3,0),点 B 为直线 y=2x 上的一个动点,若 ∥a,则点 B 的坐标为_____________. 【答案】(-3,-6) 【解析】设 , ,∵ ,∴ ,解得 ,∴ , 故答案为 . 13. 已知函数 , . (1)当 k=0 时,函数 g(x)的零点个数为____________; (2)若函数 g(x)恰有 2 个不同的零点,则实数 k 的取值范围为_________. 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】(1)当 时, ,显然可得 ,当 时, 无零点,当 时, ,解得 ,故函数 的零点个数为 2 个;(2) 当 时, ,当 时, ,函数 单调递减,当 时, ,函数 单调递增,并且当 时, 即函数图象在 轴的下方,函数 有两个零点,即 和 的图象有两个交点,如图所示: 函数图象的最低点对应的函数值为 ,函数图象最高点对应的函数值为 ,要使 两图象有两个交点,故 应满足 ,故答案为 . 点睛:本题主要考查函数零点个数的判定,将方程转化为两个函数的相交个数问题是解决本 题问题的基本方法,利用导数研究函数 的单调性与极值是解决本题的关键,在该题中最 容易出现的的错误是判断当 时,函数图象始终在 轴下方. 14. 在平面直角坐

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