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2015届阳春实验中学高三周考5(印)


2015 届阳春实验中学高三(文数)周考 5
参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh ( S 是锥体的底面积, h 是锥体的 3 4 3 高) ;球体体积公式: V球 ? ? R ( R 是半径) 3


一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 ? UA?( A.

?1,3?

B.

?3,7,9?

C.

?3,5,9?

D. )

?3,9?

2.i 为虚数单位,则复数 A. i

i ? ?1 ? i ? 的虚部为(
C. 1

B. ?i

D. ?1 )条件 D.既不充分又不必要

3.若 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a ? 1 ”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 )

4.若 p 是真命题, q 是假命题,则(

A. p ? q 是真命题 B. p ? q 是假命题 C. ?p 是真命题 D. ?q 是真命题 5.在 ?ABC 中, a, B, C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则 b, c 分别为角 A, 此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 6.若函数 f ( x) ? x ( x ? R) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是(
3



A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函 数 C.单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函 数 7.阅读右图 1 所示的程序框图,运行相应的程

开始

a ?1

a ? a2 ? 2

a ? 10?
否 输出 a
1



a结束

序,输出的结果是( A. 3 D. 123 B . 11

) . C . 38 3 2 3 正视图 侧视图 图1

8. 已 知 向 量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, k ? , 若

?

?

? ? ? a/ / 2 a? b,则 k 等于(

?

?



A. ?12 C. ?

B. 12 D.

1 2

1 2
9 C. ? ? 12 2

俯视图 图2 )

9.设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

A. 9? ? 42 B. 36? ? 18

9 D. ? ? 18 2

10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” : a ?b ? ?

? ? , 1 ?a, a b 。 1 . ?b, a ? b ?

2 设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? ? x ? 1? , x ? R .若函数 y ? f ? x ? ? c

?

?

的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A. ? ?1,1? ? ? 2, ??? B. C. ? ??, ?2? ? ?1, 2? B. ? ?2, ?1? ? ?1,2? D. ??2, ?1?

).

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 ) 11.若向量 a ? ?1,1? , b ? ? ?1, 2? ,则 a ? b 等于_____________. 12.已知函数 f ( x) ? ?

?

?

? ?

? x, x ? 0,
2 ? x ? 5, x ? 0,

则 f ( f (2)) =



?x ? y ? 3 ? 13.设 x 、 y 满足条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?y ? 0 ?
2

.

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记 第 14 题的分。 ) 14 . (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,过点 ? 2 2,

? ?

??
C

? 作圆 4?

? ? 4 sin? 的 切 线 , 则 切 线 的 极 坐 标 方 程
是 . A O 15.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是⊙ O 的直 径, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的

B

P

切线,切点为 C , PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径

AB ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a3 ? ?3 . (1)求 数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的前 k 项和 Sk ? ?35 ,求 k 的值. 17 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 a ? ( 5

?

3 co xs , c x, os )

? ? ?2 ? b ? (sin x, 2cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b ? b (1)求函数 f ( x) 的最小正

周期; (2)当

?
6

?x?

?
2

时,求函数 f ( x) 的值域。

18. (本小题满分 14 分) 某校高三(1)班共有 40 名学生,他们每天自主学习的时间全部在 180 分钟到 330 分钟之间, 按他们学习时间的长短分 5 个组统计得到如下频率分 布表: 分组 [180 , 210) [210 , 240) [240 , 270) 频数 频率

4
8

0.1

s
0.3

12
3

[270 , 300) [300 , 330) (1)求分布表中 s , t 的值;

10

0.25

n

t

(2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性,需要 在这 40 名学生中按时间用分层抽样的方法抽取 20 名学生进行研究, 问应抽 取多少名第一组的学生? (3)已知第一组的学生中男、女生均为 2 人.在(2)的条件下抽取第一 组的学生,求既有男生又有女生被抽中的概率.

19.(本小题满分 14 分)

ABC , 如图,在三棱柱 ABC ? A 1 ? 底面 1B 1C1 中,侧棱 AA
AB ? BC , D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2 , BC ? 3 .
(1)求证: AB1 / / 平面 BC1D ; (2) 求四棱锥 B ? AAC 1 1 D 的体积.
C1 B1 A1 A

D

B

C

20. (本小题满分 14 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1,an ?1

1 ? Sn , 3
(II)

n=1,2,3,??,求 I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式;

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n 的值.
21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,且其导函数 f ?( x ) 的图 3 2

像过原点.(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程;(2)若存 在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值;(3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的 零点个数。
4

2015 届阳春实验中学高三周考 5 答案 文科数学
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 11. 1 ; 2 C 3 A 12. ?1 ; 4 D 5 C 13. 1; 6 B 7 B 8 C 9 D 15.4 10 B

14. ? cos? ? 2 ;

16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 解 : ( 1 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 d , 则

an ? a 1? d,由题设, a3 ? ?3 ? a1 ? 2d ? 1 ? 2d ,所以 d ? ?2 . 1 ?? n ?

an ? 1 ? ? n ?1?? ?2? ? 3 ? 2n .
( 2 ) 因 为 Sk ?

????????? 6 分

k ? a1 ? ak ? k ?1 ? 3 ? k 2? ? ? k ? 2 ? k ? ? ? 3 5, 所 以 2 2

k 2 ? 2k ? 3 5 ?

0 , 解 得 k ? 7 或 k ? ?5 . 因 为 k ? N ? , 所 以

?????????? 12 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)

k ? 7.

? ? f ( x) ? a ? b ? 5 3sin x cos x ? 2cos2 x ? 4cos2 x ? sin 2 x ? 5 3sin x cos x ? 5cos2 x ?1
? 5 3 1 ? cos 2 x ? 7 sin 2 x ? 5 ? ? 1 ? 5sin(2 x ? ) ? ,?T ? ? 2 2 6 2

(2)由

?
6

2 7 17 ?1 ? 5sin(2 x ? ) ? ? 6 2 2

?x?

?
2

,得

?

? 2x ?

?
6

?

?

7? 1 ? , ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

?当

?

6

?x?

?

2

时,函数 f ( x ) 的值域为 [1,

17 ] 2

5

18







1



s?

8 ? 0.2 40



t ? 1 ? 0.1 ? s ? 0.3 ? 0.25 ? 0.15 .??????????4 分 x 20 ,得x ? 2. (2)设应抽取 x 名第一组的学生,则 ? 4 40
故 应 抽 取 名 第 一 组 的 2 生. ???????????6 分 (3)在(II)的条件下应抽取 2 名第一组的学生. 记第一组中 2 名男生为 a1 , a2 , 2 名女生为 b1 , b2 . 按时间用分层抽样的方法抽取 2 名第一组的学生共有 6 种等可能的结果, 列举如下: 学

a1a2 , a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 , b1b2 .

???????????9 分

其 中 既 有 男 生 又 有 女 生 被 抽 中 的 有 a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 这 4 种 结 果, ??????10 分 所 以 既 有 男 生 又 有 女 生 被 抽 中 的 概 率 为

P?

4 2 ? . 6 3

??????????12 分

19. (1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点.A1 ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD / / AB1 . ????????? 3 分
B1 D A

E

∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , ∴

B

O

AB1 / /
.


C1


C

B

1

6分 C ?????????????? D

(2) ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AAC 1 1C ,

6

ABC ? 平面 AAC ? AC . ∴ 平面 ABC ? 平面 AAC 1 1C ,且平面 1 1C


BE ? AC









E





BE ?





AAC 1 1C ,
在 Rt △

????? 8 分∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 ,

ABC





AC ? AB2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13



BE ?

AB?BC 6 ,? 10 分 ? AC 13
四 棱 锥



B ? AAC 1 1D
1

的 ? ?

体 12

积 分

1 1 V ? ? ? A1C ? AD BE 1 ??AA ? 3 2

1 3 6 ? 3 .∴四棱锥 B ? AAC 3 ? ? 13 ? 2 ? ? 14 分 1 1 D 的体积为 . 6 2 13
20.解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

1 S n ,n=1,2,3,??,得 3 1 1 1 1 1 4 a2 ? S1 ? a1 ? a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? , , 3 3 3 3 3 9 1 1 16 a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , 3 3 27 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 n?2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3 n ?1 ? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ; ( ) n≥ 2 ? ?3 3
(II)由(I)可知 a2 , a4 ,?, a2 n 是首项为

等比数列,∴

4 2 1 ,公比为 ( ) 项数为 n 的 3 3 4 2n 1? ( ) 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n = ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3

7

21.解: f ( x) ? 由

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? b 3 2


f ?(0) ? 0

b?0

,

f ?( x) ? x( x ? a ? 1)

.

---------------------2 分 (1) 当

a ?1 时 ,

f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 1 , 3

f ?( x) ? x( x ? 2)



f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3
所以函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即

3x ? y ? 8 ? 0 --------4 分
(2) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ? 1) ? ?9 ,

9 ?a ?1 ? ? x ? x

( ? x ? )

9 (? ?) x

9 ? ?7 , 2 ? (x ?) (? ? , ) a? 6 x

当 且 仅 当 x ? ?3 时 , a ? ?7. 所 以 a 的 最 大 值 为 ?7 . ------------------------------9 分 (3) 当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f(x) -

(??, 0)

0

(??, a ? 1)

a ?1

(a ? 1, ??)

?
单调递增

0
极大值

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

-11 分

f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?


f (?2) ? ? a ?

14 ? 0, 3
8

1 ? 3 ? f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a 3 ? 2 ?



3 f ( (a ? 1)) ? a ? 0 . 2
所以函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), (a ? 1,

3 (a ? 1))内各有一个零 2

点,故函数 f ( x) 共有三个零点。--------------------14 分 注:①证明 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? 行:

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) 也可这样进 6

1 1 (a ? 1)3 ? ? (a 3 ? 3a 2 ? 6a ? 1) , 6 6 1 1 2 则 g ?(a ) ? ? (3a ? 6a ? 6) ? ? (a ? 3)(a ? 1) 6 2
设 g (a) ? a ? 当 0 ? a ? 1 时, g ?(a) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ?(a) ? 0 , 函数 g (a ) 在区间 ? 0,1? 上是增函数,在区间 ?1, ?? ? 上是减函数, 故函数 g (a ) 在区间 ? 0, ?? ? 上的最大值为

1 1 g (1) ? 1 ? (1 ? 1)3 ? ? ? 0 , 6 3
从而 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ?

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) . 6

② 证 明 函 数 f ( x) 共 有 三 个 零 点 。 也 可 这 样 进 行 : f ( x) 的 极 大 值

f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ?a3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 , 6 6? 2 4?
当 x 无限减小时, f ( x) 无限趋于 ??; 当 x 无限增大时, f ( x) 无限趋于

??.
f ( x) 在区间 ? ??,0? ,(0, a ?1),(a ?1, ??) 内各有一个零点, 故函数 f ( x)
共有三个零点。

9



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