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湖南省长沙市高二数学暑假作业21等差、等比数列理湘教版

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作业 21
参考时量: 一、选择题 分钟 完成时间:

等差、等比数列
月 日

1. 已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A. ?

1 ,则公比 q =( 4
C.2

D ) D.

1 2

B. ? 2

1 2


2.设等差数列 ?an ? 的前项和为 S n ,若 a 4 ? 9 , a6 ? 11,则 S 9 等于( B A. 180 B. 90 C. 72 D.100

3.公比不为 1 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 ?3a1 , ?a2 , a3 成等差数列.若 a1 ? 1 , 则 S 4 =( A ) A. ?20 B. 0 C.7 D.40

4. 在等差数列 {a n } 中,a1 = 1,a7 = 4,数列 {bn } 是等比数列,已知 b2 ? 2 , b3 ? 则满足 bn ?

2 , 3

1 的最小自然数 n 为 ( C ) a80 A.5 B.6 C.7 D.8 * 2 5.设数列{an}是项数为 20 的等差数列,公差 d∈N ,且关于 x 的方程 x +2dx-4=0 的两个 实根 x1、x2 满足 x1<1<x2,则数列{an}的偶数项之和减去奇数项之和的结果为( B ) A、15 B、10 C、5 D、-20
6. 设 ?An BnCn 的 三 边 长 分 别 为 an , bn , cn , ?An BnCn 的 面 积 为 Sn , n ? 1, 2,3, ,若

b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ?
A.{S n}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则( B ) 2 2
B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

解析: b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 所 以 a n =a 1 , b n + 1 +c n + 1 =a n +

bn ? c n 2

b 1 +c 1 =2a 1 , 所 以 b n +c n =2a 1 , 在 △ A n B n C n 中 , 边 长 B n C n =a 1 为 定 值 , 另 两 边 A n C n 、 A n B n 的 长 度 之 和 b n +c n =2a 1 为 定 值 ,bn ?1 ? c n ?1 ? -

1 (bn ? c n ) 2

,bn ? c n ? (? )

1 2

n ?1

(b1 ? c1 ) 由 此 可 知 顶 点 A n 在 以 B n 、

Cn 为 焦 点 的 椭 圆 上 , 可 知 n→ +∞ 时 bn→ cn, 据 此 可 判 断 △ AnBnCn 的 边 BnCn 的 高 hn 随 着 n 的 增 大 而 增 大 , Sn ? 二、填空题
1

1 1 Bn C n hn ? a1 h1 再 由 三 角 形 面 积 公 式 可 得 到 答 案 . 2 2

7.正项等比数列 ?a n ? 中, a 2 ? 4 , a 4 ? 16 ,则数列 ?a n ? 的前 9 项和等于 【答案】1022 8. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S ,若



n

S8 S4 ? ? 4 ,则 S4 S2

.【答案】 10

9. 若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,

ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ? 50 .

10.两等差数列 {an } 和 {bn } ,前 n 项和分别为 S n , Tn ,且 三、解答题

a 149 Sn 7n ? 2 ,则 11 等于 ? 24 b11 Tn n?3

11.已知在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【解析】 : (Ⅰ)设公比为 q,则 a2 ? q , a3 ? q 2 ,∵ a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项,∴

2a2 ? a1 ? (a3 ?1) ? 2q ? 1 ? (q2 ?1) ? q ? 2 ,∴ an ? 2n?1
(Ⅱ) bn ? 2n ?1 ? an ? 2n ?1 ? 2n?1 则 Sn ? [1 ? 3 ?

? (2n ?1)] ? (1 ? 2 ?

? 2n?1 )

?

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1 2 1? 2
3 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 ?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列. 2

12.已知首项为

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 证明 Sn ?
1 13 ? (n ? N *) . Sn 6

2

13.已知数列 {an } 为公差不为 0 的等差数列, Sn 为前 n 项和, a5 和 a7 的等差中项为 11 ,且

a2 ? a5 ? a1 ? a14 .令 bn ?
(Ⅰ)求 an 及 Tn ;

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

( Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 的 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

【 解析】 : (Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得

?a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ?a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d )
所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 由 bn ?

整理得 ?

?a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 ?? ?a1 ? 1 ?d ? 2a1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Tn ?

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

?

1 1 n ? )? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(Ⅱ)假设存在

3

由(Ⅰ)知, Tn ?

n 1 m n , Tn ? ,所以 T1 ? , Tm ? 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm

2

m 2 1 n m2 n ? T1 ? Tn ? ( ) ? ? ? ? 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6 n ? 3

4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 3 4m ? 1 ? 2m 2 ? ? ? ? , 。 。 。 。 。 (1) m2 n n m2
因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m2 ? 0 ? 1 ?
?

6 6 , ? m ? 1? 2 2

因为 m ? N , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 12 ; 综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列

4


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