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高三数学每天一练半小时:第48练 不等式综合练

训练目标 巩固不等式的基础知识,提高不等式在解决函数、三角函数、数列、向量、几 何等方面的应用能力,训练解题步骤的规范性. 训练题型 (1)求函数值域、最值;(2)解决与数列有关的不等式问题、最值问题;(3)解决 恒成立问题、求参数范围问题;(4)不等式证明. 解题策略 一、选择题 将问题中的条件进行综合分析、变形转化,形成不等式“模型”,从而利用不 等式性质或基本不等式解决. 1.已知集合 P={x|x -x-2≤0},Q={x|log2(x-1)≤1},则(?RP)∩Q 等于( A.[2,3] C.(2,3] B.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,-1]∪(3,+∞) 2 ) → → → → 2.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足|OA|=|OB|=OA·OB=2,由点 → → → 集{P|OP=λ OA+μ OB,|λ |+|μ |≤1,λ ,μ ∈R}所表示的区域的面积是( A.2 2 C.4 2 B.2 3 D.4 3 ) 1 3.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有( x ) A.最大值 0 C.最大值-4 B.最小值 0 D.最小值-4 2 4.对于实数 x,规定[x]表示不大于 x 的最大整数,那么使不等式 4[x] -36[x]+45<0 成立 的 x 的取值范围是( 3 15 A.( , ) 2 2 C.[2,8) 5.(2016·潍坊联考)已知不等式 ) B.[2,8] D.[2,7) x+2 <0 的解集为{x|a<x<b},点 A(a,b)在直线 mx+ny+1 x+1 ) B.8 D.12 1 2 1 =0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为( m n A.4 2 C.9 二、填空题 6.(2016·山西大学附中检测)已知函数 f(x)=|lg x|,a>b>0,f(a)=f(b),则 小值为________. a2+b2 的最 a-b y≥0, ? ? 7.(2017·宁德质检)设 P 是不等式组?x-2y≥-1, ? ?x+y≤3 表示的平面区域内的任意一点, → 向量 m=(1,1),n=(2,1).若OP=λ m+μ n(λ ,μ ∈R),则 μ 的最大值为________. 8. (2015·山东)定义运算“?”: x?y= 的最小值为________. 三、解答题 9.(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每 1 2 生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)万元,当年产量不足 80 千件时,C(x)= x +10x(万元); 3 10 000 当年产量不少于 80 千件时,C(x)=51x+ -1 450(万元).通过市场分析,若每件售 x2-y2 (x, y∈R, xy≠0), 当 x>0, y>0 时, x?y+(2y)?x xy x 价为 500 元时,该厂一年内生产的商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 10.(2016·海口一模)已知函数 f(x)=x+ +2(m 为实常数). (1)若函数 f(x)图象上动点 P 到定点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求实数 m 的值; (2)若函数 y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试用函数单调性的定义求实数 m 的取值范 围; 1 (3)设 m<0,若不等式 f(x)≤kx 在 x∈[ ,1]时有解,求 k 的取值范围. 2 m x 2 答案精析 1.C [依题意,得 P={x|-1≤x≤2},Q={x|1<x≤3},则(?RP)∩Q=(2,3],故选 C.] π → → → → → → 2.D [由|OA|=|OB|=OA·OB=2 知〈OA,OB〉= . 3 → → 设OA=(2,0),OB=(1, 3), → ?x=2λ +μ , OP=(x,y),则? ?y= 3μ , y μ = , ? ? 3 解得? y 1? x- ? ?. ? ?λ =2? 3? ? 由|λ |+|μ |≤1 得| 3x-y|+|2y|≤2 3. 作出可行域,如图所示. 1 则所求面积 S=2× ×4× 3=4 3.] 2 1 3.C [∵x<0,∴f(x)=-[(-x)+ ]-2≤-2-2=-4, ?-x? 1 当且仅当-x= ,即 x=-1 时取等号.] -x 3 15 2 4. C [由 4[x] -36[x]+45<0 得 <[x]< , 又因为[x]表示不大于 x 的最大整数, 所以 2≤x<8. 2 2 故选 C.] 5.C [易知不等式 x+2 2 1 <0 的解集为(-2,-1),所以 a=-2,b=-1,2m+n=1, + = x+1 m n 3 2 1 2m 2n 1 2 1 (2m+n)( + )=5+ + ≥5+4=9(当且仅当 m=n= 时取等号),所以 + 的最小值为 m n n m 3 m n 9.] 6.2 2 解析 由函数 f(x)=|lg x|,a>b>0, 1 a +b f(a)=f(b),可知 a>1>b>0,所以 lg a=-lg b,b= ,a-b=a- >0,则 = a a a-b 1 2 2 a2+( )2 a a- a 1 1 1 2 1 2 2+ 6 =a- + ≥2 2(当且仅当 a- = ,即 a= 时,等号成立). a 1 a 1 2 a- a- a a 7.3 → 解析 设 P 的坐标为(x,y),因为OP=λ m+μ n, 所以? ?x=λ +2μ , ? ?y=λ +μ , ? 解得 μ =x-y.题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分, 由图可知,当目标函数 μ =x-y 过点 G(3,0)时,μ 取得最大值 3-0=3. 8. 2 解析 由题意,得

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