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兰溪范文 文档专家

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第1讲

函数与方程思想

1．函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本 质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使 问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等． (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程， 通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教 学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问 题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 2．和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化，对函数 y＝f(x)，当 y>0 时，就化为不等式 f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离 不开不等式． (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表 达式，那么问题就能化为未知量的方程来解． (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才 能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的 方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 例 1 (1)f(x)＝ax3－3x＋1 对于 x∈[－1,1]总有 f(x)≥0 成立，则 a＝________. (2)设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且 g(－3)＝0，则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是__________． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3) 解析 (1)若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立； 3 1 当 x>0 即 x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥ 2－ 3. x x 3?1－2x? 1 1 3 1 0， ?上单调递增，在区间? ，1?上单 设 g(x)＝ 2－ 3，则 g′(x)＝ ，所以 g(x)在区间? 4 2 ? ? ?2 ? x x x 调递减， 1? 因此 g(x)max＝g? ?2?＝4，从而 a≥4； 当 x<0 即 x∈[－1,0)时， 3 1 f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≤ 2－ 3， x x 3 1 设 g(x)＝ 2－ 3，且 g(x)在区间[－1,0)上单调递增， x x 因此 g(x)min＝g(－1)＝4，从而 a≤4，综上 a＝4. (2)设 F(x)＝f(x)g(x)， 由于 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 得 F(－x)＝f(－x)g(－ x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即 F(x)在 R 上为奇函数． 又当 x<0 时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， 所以 x<0 时，F(x)为增函数． 因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以 x>0 时，F(x)也是增函数． 因为 F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)． 所以，由图可知 F(x)<0 的解集是(－∞，－3)∪(0,3)． 思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数

的图象和性质解决问题；(2)函数 f(x)>0 或 f(x)<0 恒成立，一般可转化为 f(x)min>0 或 f(x)max<0； 已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解． (1)若 2x＋5y≤2 y＋5 x，则有(

－ －

)

A．x＋y≥0 C．x－y≤0

B．x＋y≤0 D．x－y≥0

1 (2)已知函数 f(x)＝ x4－2x3＋3m，x∈R，若 f(x)＋9≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( 2 3 A．m≥ 2 3 C．m≤ 2 答案 (1)B (2)A 3 B．m> 2 3 D．m< 2

)

解析 (1)把不等式变形为 2x－5 x≤2 y－5y，构造函数 y＝2x－5 x，其为 R 上的增函数，所以

－ － －

有 x≤－y. 1 (2)因为函数 f(x)＝ x4－2x3＋3m.所以 f′(x)＝2x3－6x2，令 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝3，经检验 2 27 知 x＝3 是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为 f(3)＝3m－ ，不等式 f(x)＋9≥0 恒成 2 立，即 f(x)≥－9 恒成立， 27 3 所以 3m－ ≥－9，解得 m≥ ，故选 A. 2 2 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例 2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列． (1)若 a1＝2，且 a2，a3，a4＋1 成等比数列，求数列{an}的通项公式 an； 1 1 1 (2)在(1)的条件下， 数列{an}的前 n 项和为 Sn， 设 bn＝ ＋ ＋?＋ ， 若对任意的 n∈N*， S2n Sn＋1 Sn＋2 不等式 bn≤k 恒成立，求实数 k 的最小值． 解 (1)因为 a1＝2，a2 (a4＋1)， 3＝a2· 又因为{an}是正项等差数列，故 d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 得 d＝2 或 d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式 an＝2n. (2)因为 Sn＝n(n＋1)， 1 1 1 bn＝ ＋ ＋?＋ S2n Sn＋1 Sn＋2 ＝ ＝ ＝ 1 1 1 ＋ ＋?＋ ?n＋1??n＋2? ?n＋2??n＋3? 2n?2n＋1? 1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋?＋ － 2n 2n＋1 n＋1 n＋2 n＋2 n＋3 1 1 n － ＝ ＝ n＋1 2n＋1 2n2＋3n＋1 1 ， 1 2n＋ ＋3 n

1 令 f(x)＝2x＋ (x≥1)， x

1 则 f′(x)＝2－ 2，当 x≥1 时，f′(x)>0 恒成立， x 所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当 x＝1 时，[f(x)]min＝f(1)＝3， 1 即当 n＝1 时，(bn)max＝ ， 6 要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立， 1 则须使 k≥(bn)max＝ ， 6 1 所以实数 k 的最小值为 . 6 思维升华 (1)等差(比)数列中各有 5 个基本量，建立方程组可“知三求二”； (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式， 因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解． (1)(2014· 江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6＋2a4，则 a6 的值是________． 1 (2)已知函数 f(x)＝( )x，等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)－c，则 an 的最小值为( 3 A．－1 2 C. 3 答案 (1)4 (2)D 解析 (1)因为 a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由 a8＝a6＋2a4 得 a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去 a2q2，得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得 q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4. 1 (2)由题设，得 a1＝f(1)－c＝ －c； 3 2 a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－ ； 9 a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－ 又数列{an}是等比数列， 2 1 2 ∴(－ )2＝( －c)×(－ )，∴c＝1. 9 3 27 a3 1 又∵公比 q＝ ＝ ， a2 3 21 － 1 ∴an＝－ ( )n 1＝－2( )n，n∈N*. 33 3 且数列 {an}是递增数列， 2 ∴n＝1 时，an 有最小值 a1＝－ . 3 2 . 27 B．1 2 D．－ 3 )

热点三 函数与方程思想在几何中的应用 x2 y2 2 例 3 已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 .直线 y＝k(x－1)与椭 a b 2 圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 时，求 k 的值． 3

解

a＝2， ? ?c 2 (1)由题意得? ＝ ， a 2 ? ?a ＝b ＋c ，

2 2 2

解得 b＝ 2.

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 4 2 y＝k?x－1?， ? ?2 2 (2)由?x y 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. ＋ ＝ 1 ?4 2 ? 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 2k2－4 4k2 则 x1＋x2＝ . 2，x1x2＝ 1＋2k 1＋2k2 所以|MN|＝ ?x2－x1?2＋?y2－y1?2 ＝ ?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] ＝ 2 ?1＋k2??4＋6k2? . 1＋2k2

又因为点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ |k| ， 1＋k2

所以△AMN 的面积为 |k| 4＋6k2 1 S＝ |MN|· d＝ . 2 1＋2k2 由 |k| 4＋6k2 10 ＝ ，解得 k＝± 1. 3 1＋2k2

所以，k 的值为 1 或－1. 思维升华 几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一

般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 (或者多个) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决． y2 (1)(2014· 安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋ 2＝1(0<b<1)的左，右焦点，过点 F1 b

的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为__________． x2 y2 (2)若 a>1，则双曲线 2－ ＝1 的离心率 e 的取值范围是( a ?a＋1?2 A．(1， 2) C．[ 2， 5] 3 答案 (1)x2＋ y2＝1 2 (2)B B．( 2， 5) D．( 3， 5) )

解析 (1)设点 B 的坐标为(x0，y0)， y2 ∵x2＋ 2＝1，且 0<b<1， b ∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0)． ∵AF2⊥x 轴，∴A( 1－b2，b2)． → → ∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1＝3F1B， ∴(－2 1－b2，－b2)＝3(x0＋ 1－b2，y0)． 5 b2 ∴x0＝－ 1－b2，y0＝－ . 3 3 5 b2 － 1－b2，－ ?. ∴点 B 的坐标为? 3? ? 3 5 b2 y2 － 1－b2，－ ?代入 x2＋ 2＝1， 将点 B? 3? ? 3 b 2 得 b2＝ . 3 3 ∴椭圆 E 的方程为 x2＋ y2＝1. 2 a2＋?a＋1?2 c 1 (2)e2＝( )2＝ ＝1＋(1＋ )2， a a2 a 1 因为当 a>1 时，0< <1，所以 2<e2<5， a 即 2<e< 5.

1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等 差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要 根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量． 2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关 系探究问题的答案，这就需要使用函数思想． 3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取 值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．

4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导 地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰， 解方程的实质就是分离参变量.

真题感悟

1 1 1 1．(2014· 辽宁)已知 a＝2－ ，b＝log2 ，c＝ log 1 ，则( 3 3 3

2

)

A．a>b>c C．c>a>b 答案 C 解析 0<a＝ 2 c＝ log 1

2

B．a>c>b D．c>b>a

?

1 3

1 <20＝1，b＝log2 <log21＝0， 3

1 1 > log 1 ＝1， 3 2 2

即 0<a<1，b<0，c>1，所以 c>a>b. x2 2．(2014· 福建)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆 ＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的 10 最大距离是( A．5 2 C．7＋ 2 答案 D 解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以 r 为半径的圆的方程为 x2 ＋(y－6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程 x2 得 9y2＋12y＋r2－46＝0. 令 Δ＝122－4×9(r2－46)＝0， 解得 r2＝50， 即 r＝5 2. 由题意易知 P，Q 两点间的最大距离为 r＋ 2＝6 2， 故选 D. b 3．(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋ (a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且 x 该曲线在点 P 处的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是______． x2 ＋y2＝1 联立得方程组，消掉 10 ) B. 46＋ 2 D．6 2

答案 －3 b b 解析 y＝ax2＋ 的导数为 y′＝2ax－ 2， x x 7 直线 7x＋2y＋3＝0 的斜率为－ . 2

?4a＋2＝－5， 由题意得? b 7 ?4a－4＝－2，

b

?a＝－1， ? 解得? 则 a＋b＝－3. ?b＝－2， ?

4．(2014· 福建)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________．(单位： 元) 答案 160 4 解析 设该长方体容器的长为 x m，则宽为 m．又设该容器的造价为 y 元，则 y＝20×4＋2(x x 4 4 4 ＋ )×10，即 y＝80＋20(x＋ )(x>0)．因为 x＋ ≥2 x x x “＝”)， 所以 ymin＝80＋20×4＝160(元)． 押题精练 1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解集为( A．(－1,1) C．(－∞，－1) 答案 B 解析 f′(x)>2 转化为 f′(x)－2>0，构造函数 F(x)＝f(x)－2x， 得 F(x)在 R 上是增函数． 又 F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)>2x＋4， 即 F(x)>4＝F(－1)，所以 x>－1. 2．设直线 x＝t 与函数 f(x)＝x2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点 M、N，则当|MN|达到最小时 t 的值为( 1 A．1 B. 2 答案 D 解析 可知|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x.

2 1 2x －1 令 F(x)＝x2－ln x，F′(x)＝2x－ ＝ ， x x

4 4 x·＝4(当且仅当 x＝ ，即 x＝2 时取 x x

)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

) C. 5 2 D. 2 2

所以当 0<x< 当 x>

2 时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 2

2 时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 2 2 时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小． 2 )

故当 x＝t＝

3． (2014· 辽宁)当 x∈[－2,1]时， 不等式 ax3－x2＋4x＋3≥0 恒成立， 则实数 a 的取值范围是( A．[－5，－3] C．[－6，－2] 答案 C 解析 当 x＝0 时，ax3－x2＋4x＋3≥0 变为 3≥0 恒成立，即 a∈R. x2－4x－3 x2－4x－3? 当 x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥ ，所以 a≥? 3 x x3 ? ?max. x2－4x－3 设 φ(x)＝ ， x3 ?2x－4?x3－?x2－4x－3?3x2 x2－8x－9 ?x－9??x＋1? 所以 φ′(x)＝ ＝－ ＝－ >0， x6 x4 x4 所以 φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.所以 a≥－6. x2－4x－3 x2－4x－3? 当 x∈[－2,0)时，a≤ ，所以 a≤? 3 x x3 ? ?min. x2－4x－3 ?x－9??x＋1? 仍设 φ(x)＝ ，φ′(x)＝－ . x3 x4 当 x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，φ(x)在[－2，－1)上单调递减， 当 x∈(－1,0)时，φ′(x)>0，φ(x)在(－1,0)上单调递增． 所以当 x＝－1 时，φ(x)有极小值，即为最小值． 1＋4－3 而 φ(x)min＝φ(－1)＝ ＝－2，所以 a≤－2.综上知－6≤a≤－2. －1 4．若关于 x 的方程(2－2 答案 [－1,2) 解析 令 f(x)＝(2－2

－|x－2| －|x－2|

9 B．[－6，－ ] 8 D．[－4，－3]

)2＝2＋a 有实根，则实数 a 的取值范围是________．

)2.要使 f(x)＝2＋a 有实根，只需 2＋a 是 f(x)的值域内的值．∵f(x)的

值域为[1,4)，∴1≤a＋2<4，∴－1≤a<2. 5．已知函数 f(x)＝ax2＋ax 和 g(x)＝x－a，其中 a∈R，且 a≠0.若函数 f(x)与 g(x)的图象相交于 不同的两点 A、B，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积 S 的最大值． 解 依题意，f(x)＝g(x)，即 ax2＋ax＝x－a， 整理得 ax2＋(a－1)x＋a＝0，① ∵a≠0， 函数 f(x)与 g(x)的图象相交于不同的两点 A、B，

∴Δ>0，即 Δ＝(a－1)2－4a2＝－3a2－2a＋1＝(3a－1)· (－a－1)>0， 1 ∴－1<a< 且 a≠0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 3 且 x1<x2， a－1 由①得 x1x2＝1>0，x1＋x2＝－ . a |－a| 设点 O 到直线 g(x)＝x－a 的距离为 d，则 d＝ ， 2 |－a| 1 1 ∴S＝ 1＋12|x1－x2|· ＝ －3a2－2a＋1 2 2 2 ＝ 1 2 1? 2 4 1 1 3 －3? ?a＋3? ＋3.∵－1<a<3且 a≠0，∴当 a＝－3时，S 取得最大值 3 . 3 . 3

即△OAB 的面积 S 的最大值为

x2 y2 6.如图，已知椭圆 G： 2＋ 2 ＝1(a>1)，⊙M：(x＋1)2＋y2＝1，P 为椭 a a －1 圆 G 上一点，过 P 作⊙M 的两条切线 PE、PF，E、F 分别为切点． → (1)求 t＝|PM|的取值范围； → → (2)把PE· PF表示成 t 的函数 f(t)，并求出 f(t)的最大值、最小值．

2 x2 x0 y2 0 0 2 1－ 2?， 解 (1)设 P(x0，y0)，则 2＋ 2 ＝1(a>1)，∴y0 ＝(a2－1)? ? a? a a －1

x2 0? → 2 2 ? ?1 ?2 1 － 2 ＝ x0＋a ， ∴t2＝|PM|2＝(x0＋1)2＋y2 ＝ ( x ＋ 1) ＋ ( a － 1) 0 0 a ? ? ?a ? 1 ? ∴t＝? ?ax0＋a?. ∵－a≤x0≤a，∴a－1≤t≤a＋1(a>1)． → → → → → (2)∵PE· PF＝|PE||PF|cos∠EPF＝|PE|2(2cos2∠EPM－1)

? → 2 1? ? → ＝(|PM|2－1)?2?|PM| － ? ? |PM|2 －1?

＝(t2－1)? 2?t2－1? ? 2 2 ? t2 －1?＝t ＋t2－3，

2 ∴f(t)＝t2＋ 2－3(a－1≤t≤a＋1)． t 2 4 对于函数 f(t)＝t2＋ 2－3(t>0)，显然在 t∈(0， 2]时，f(t)单调递减， t 2 4 在 t∈[ 2，＋∞)时，f(t)单调递增．∴对于函数 f(t)＝t2＋ 2－3(a－1≤t≤a＋1)， t

4 4 当 a> 2＋1，即 a－1> 2时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋ 2 [f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋ ； ?a－1?2 4 当 1＋ 2≤a≤ 2＋1 时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋ 4 [f(t)]min＝f( 2)＝2 2－3； 当 1<a<

2 ， ?a＋1?2

2 ， ?a＋1?2

2 1＋ 2时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋ ， ?a－1?2

4 [f(t)]min＝f( 2)＝2 2－3.

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