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2013-2014高一数学必修1,2期末考试

高中数学必修 1,2 测试卷
一.选择题(共 12 小题) 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,4},B={4,5},则图中的阴影部分表示的集合为( )

A.{5}

B.{4}

C.{1,2} )

D.{3,5}

2.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( A.y=x2 B. C.y=x3

D.

3. (2012?长春模拟)下列函数既是奇函数,又是增函数的是( ) 3 x A.y=log2x B.y=x +x C.y=3 4.已知 f 满足 f(ab)=f(a)+f(b) ,且 f(2)=3,f(3)=2,那么 f(6)等于( A .4 B.5 C .6 5.方程 2 =2﹣x 的根所在区间是( ) A.(﹣1,0) B.(2,3)
x

D.y=x ) D.7

﹣1

C.(1,2) )

D.(0,1)

6.长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9,则长方体的体积是( A .6 B.3 C.11

D.12 )

7. (2000?天津)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A. B. C. D.

8.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) A. B. C. D.

9. (2006?福建)已知两条直线 y=ax﹣2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( A .2 B.1 C .0 10.已知两条直线 ax﹣y﹣2=0 和(a+2)x﹣y+1=0 互相垂直,则 a 等于( A.﹣1 B.0 C .1 11.方程(x﹣a) +(y+b) =0 表示的图形是( A.以(a,b)为圆心的圆 B.点(a,b)
2 2

) D.﹣1

) D.2

) C.(﹣a,﹣b)为圆心的圆D.点(a,﹣b)
2 2

12. (2006?西城区二模)直线 2x﹣y=0 与圆 C: (x﹣2) +(y+1) =9 相交于 A,B 两点,则△ ABC(C 为圆心)的 面积等于( ) A .2 B.2 C .4 D.4 二.填空题(共 8 小题)

13.长方体三个面的面积为 14. 15. =





,则长方体的对角线长为: _________ .

_________ . = _________ .

16.

=

_________ .

17.计算 0.25 ﹣ lg16﹣2lg5+( ) = _________ .

﹣2

0

18.若幂函数 f(x)的图象过点
2 2

,则

的值为 _________ .

19.已知直线 5x+12y+m=0 与圆 x ﹣2x+y =0 相切,则 m=

_________ .

20. (2010?湖北)圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后,水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是 _________ cm.

三.解答题(共 10 小题) 21.若长方体相邻三个面的面积分别为 6cm ,3cm ,2cm ,则此长方体外接球的表面积是 _________ . 22.根据下列条件分别求直线 l1,l2 的方程: (Ⅰ )l1 经过点 A(0,2) ,B(3,﹣3) ; (Ⅱ )l2 平行于直线 l0:3x+4y﹣12=0,且与它的距离为 2. 23.已知直线 l 过点 A(﹣2,3) (1)直线 l 的倾斜角为 135°,求直线 l 的方程; (2)直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 2,求直线 l 的方程. 24.已知直线 l:2x﹣y+1=0 ① 求过点 P(3,1)且与 l 平行的直线方程; ② 求过点 P(3,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 25. (1)直线经过点 P(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等,求直线方程; 2 2 (2)设直线 ax﹣y+3=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2
2 2 2

,求 a 值.

2

26.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角形, 侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

27.已知全集 U=R,集合 A={x|2x+a>0},B={x|x ﹣2x﹣3>0}. (Ⅰ )当 a=2 时,求集合 A∩ B; (Ⅱ )若 A∩ (?UB)=?,求实数 a 的取值范围.

2

28.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DBA=30°,∠ DAB=60°,AD=1,PD⊥ 底面 ABCD. (Ⅰ )证明:PA⊥ BD; (Ⅱ )若 PD=AD,求二面角 P﹣AB﹣D 余弦值.

29.P 是平行四边形 ABCD 外一点,∠ DAB=60°,AB=2AD=2a,△ PDC 是正三角形,BC⊥ PD (1)证明:平面 PBD⊥ 平面 ABCD; (2)求二面角 P﹣BC﹣D 的余弦值; (3)求三棱锥 B﹣ADP 的体积.
3

30.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PD=AD,∠ DAB=60°,PD⊥ 底面 ABCD. (1)求证 AC⊥ PB; (2)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值.

4

高中数学参考答案与试题解析
一.选择题(共 12 小题) 1. (2012?西山区模拟)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2,4},B={4,5},则 图中的阴影部分表示的集合为( ) A.{5} B.{4} C.{1,2} D.{3,5} 考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩ B,根据集合的运算求解即可. 解答: 解:由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩ B,
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∵ CUA={3,5},∴ (CUA)∩ B={5}.故选 A. 点评: 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识,考查数形结合思想.属于基 础题. 2.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( ) 2 3 A.y=x B. C.y=x D. 考点: 专题: 分析: 解答: 奇偶性与单调性的综合. 计算题;函数的性质及应用. 根据函数的奇偶性和单调性的定义,即可判断既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数.
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解:对于 A.f(﹣x)=(﹣x) =f(x) ,则为偶函数,故 A 错; 对于 B.f(﹣x)=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,故 B 错; 对于 C.f(﹣x)=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增,故 C 对; 对于 D.定义域为[0,+∞)不关于原点对称,故不为奇函数,故 D 错. 故选 C. 点评: 本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断,考查运算能力,属于基础题. 3. (2012?长春模拟)下列函数既是奇函数,又是增函数的是( ) ﹣ 3 x A.y=log2x B.y=x +x C.y=3 D.y=x 1 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的判断. 专题: 探究型;函数的性质及应用. 分析: 确定函数的定义域,利用奇偶函数的定义,验证函数的奇偶性,利用导数确定函数的单调性,即可得到结 论. 解答: 解:A、定义域为(0,+∞) ,是非奇非偶函数; 3 2 B、定义域为 R,f(﹣x)=(﹣x) ﹣x=﹣f(x) ,故是奇函数,又 y′ =3x +1>0,所以函数为增函数,满 足题意; C、定义域为 R,f(﹣x)≠f(x) ,是非奇非偶函数;
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2

D、定义域为(﹣∞,0)∪ (0,+∞) ,f(﹣x)=(﹣x) =﹣f(x) ,故是奇函数,又 y′ =﹣x <0,所以 函数在(﹣∞,0) 、 (0,+∞)上是单调减函数,不满足题意. 故选 B. 点评: 本题考查函数的单调性与奇偶性,确定函数的定义域,正确运用定义是关键. 4.已知 f 满足 f(ab)=f(a)+f(b) ,且 f(2)=3,f(3)=2,那么 f(6)等于( A .4 B.5 C .6 ) D.7

﹣1

﹣2

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 要求 f(6) ,应将 6 分解为两个数的积,结合已知,显然写成 6=2×3,直接利用 f(ab)=f(a)+f(b)求出 结果.
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5

解答: 解:在 f(ab)=f(a)+f(b)中, 令 a=2,b=3, 得 f(6)=f(2)+f(3)=3+2=5. 故选:B. 点评: 本题考查抽象函数的函数值求解,考查一般与特殊的关系,赋值法的思想方法. 5.方程 2 =2﹣x 的根所在区间是( ) A.(﹣1,0) B.(2,3) 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的零点. 函数的性质及应用. 利用函数零点的判定定理即可判断出.
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x

C.(1,2)

D.(0,1)

解:令 f(x)=2 +x﹣2,则 f(0)=1﹣2=﹣1<0,f(1)=2+1﹣2=1>0,∴ f(0)f(1)<0, ∴ 函数 f(x)在区间(0,1)上必有零点,① x x 又∵ 2 >0,ln2>0,∴ f′ (x)=2 ln2+1>0,∴ 函数 f(x)在 R 上单调递增,至多有一个零点.② x 综上① ② 可知:函数 f(x)=2 +x﹣2 在 R 有且只有一个零点 x0,且 x0∈(0,1) . x 即方程 2 =2﹣x 的根所在区间是(0,1) . 故选 D. 点评: 熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键. 6.长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9,则长方体的体积是( A .6 B.3 C.11 ) D.12

x

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 由已知中长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9,我们可以设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,得到三 个关于 a,b,c 的方程,进而根据长方体的体积 V=abc,即可求出答案. 解答: 解:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c, 则有 ab=2,bc=6,ac=9,
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∴ V=

=

=6



故选 A 点评: 本题考查的知识点是棱柱的体积,其中根据已知构造关于 a,b,c 的方程,并转化为棱柱体积的表达式是 解答本题的关键. 7. (2000?天津)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A. B. C. D. )

考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 计算题. 设圆柱底面积半径为 r,求出圆柱的高,然后求圆柱的全面积与侧面积的比. 解:设圆柱底面积半径为 r,则高为 2πr, 2 2 2 全面积:侧面积=[(2πr) +2πr ]: (2πr)
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=



故选 A. 点评: 本题考查圆柱的侧面积、表面积,考查计算能力,是基础题.

6

8.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) A. B. C. D.

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设侧面展开正方形边长为 a,可得底面半径 r 满足:2πr=a,得 r=
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从而算出底面圆面积 S 底=

,由此

加以计算即可算出这个圆柱的全面积与侧面积的比. 解答: 解:∵ 圆柱的侧面展开图是一个正方形, ∴ 设正方形的边长为 a,可得圆柱的母线长为 a,底面周长也等于 a 底面半径 r 满足:2πr=a,得 r= 因此,该圆柱的底面圆面积为 S 底=πr =
2

圆柱的全面积与侧面积的比为

=

故选:A 点评: 本题给出侧面展开为正方形的圆柱,求全面积与侧面积之比.着重考查了圆柱的侧面展开和圆的周长、面 积公式等知识,属于基础题. 9. (2006?福建)已知两条直线 y=ax﹣2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( A .2 B.1 C .0 考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 分析: 两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 垂直?am+bn=0 解之即可. 解答: 解:由 y=ax﹣2,y=(a+2)x+1 得 ax﹣y﹣2=0, (a+2)x﹣y+1=0 因为直线 y=ax﹣2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直, 所以 a(a+2)+1=0,解得 a=﹣1. 故选 D. 点评: 本题考查两直线垂直的条件.
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) D.﹣1

10.已知两条直线 ax﹣y﹣2=0 和(a+2)x﹣y+1=0 互相垂直,则 a 等于( A.﹣1 B.0 C .1 考点: 专题: 分析: 解答:

) D.2

直线的一般式方程与直线的垂直关系. 计算题. 先求出求出两直线的斜率,利用两直线垂直,斜率之积等于﹣1 求得 a 值. 解:直线 ax﹣y﹣2=0 的斜率等于 a, (a+2)x﹣y+1=0 的斜率为 a+2, ∵ 两条直线 ax﹣y﹣2=0 和(a+2)x﹣y+1=0 互相垂直, ∴ a(a+2)=﹣1,解得 a=﹣1, 故选 A. 点评: 本题考查两直线垂直的性质,两直线垂直,斜率之积等于﹣1,求出两直线的斜率是解题的突破口.
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11.方程(x﹣a) +(y+b) =0 表示的图形是( A.以(a,b)为圆心的圆 B.点(a,b)

2

2

) C.(﹣a,﹣b)为圆心的圆D.点(a,﹣b)

7

考点: 专题: 分析: 解答:

二元二次方程表示圆的条件. 规律型.

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根据一个数的平方是非负数,而(x﹣a) +(y+b) =0,可知 x﹣a=0,y+b=0,从而问题可解. 解:根据一个数的平方是非负数,可知 x﹣a=0,y+b=0 ∴ x=a,y=﹣b
2 2

2

2

∴ 方程(x﹣a) +(y+b) =0 表示的图形是点(a,﹣b) 故选 D. 点评: 方程虽有圆的标准方程的形式,但由于方程右边为 0,千万不能认为它还表示圆. 12. (2006?西城区二模)直线 2x﹣y=0 与圆 C: (x﹣2) +(y+1) =9 相交于 A,B 两点,则△ ABC(C 为圆心)的 面积等于( ) A .2 B.2 C .4 D.4 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆相交的性质. 计算题. 求出圆心到直线的距离,由弦长公式求出|AB|,代入三角形的面积公式进行运算.
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2

2

解: .圆 C 的圆心 C(2,﹣1) ,半径 r=3,C 到直线 2x﹣y=0 的距离 d= ∴ |AB|=2 =4,∴ S△ABC= ×4× =2 ,

=



故选 A. 点评: 本题考查点到直线的距离公式的应用,弦长公式的应用. 二.填空题(共 8 小题) 13.长方体三个面的面积为 考点: 专题: 分析: 解答:





,则长方体的对角线长为:



棱柱的结构特征. 计算题. 设出长方体的三度,利用已知,求出三度,然后求出长方体的对角线长. 解:设长方体的三度分别为:a,b,c,由题意可知:ab= ,bc= ,ac= 所以,a= ,b= ,c=1,
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所以长方体的对角线长为: 故答案为: 点评: 本题是基础题,考查长方体的结构特征,考查面积、体积的有关计算,难度不大.

14.

=

1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质. 计算题. 利用对数的运算法则和 lg5+lg2=1 即可得出. 解:原式=lg5+lg2=1, 故答案为 1. 点评: 本题考查了对数的运算法则和 lg5+lg2=1,属于基础题.
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15.

=

4 .

8

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 根据对数的运算律:lgM+lgN=lg(M?N) ,
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,lgM =nlgM.计算可得结果.

n

解答: 解:根据对数的运算律知: . 故答案为:4. 点评: 本题考查对数的运算律,重点在于公式的熟练程度和计算能力!

16.

=

1 .

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 根据对数的运算法则进行化简求解即可. 解答: 解: =
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=



故答案为:1. 点评: 本题主要考对数的基本运算,要求熟练掌握对数的运算法则,比较基础.
﹣2

17.计算 0.25 ﹣ lg16﹣2lg5+( ) = 15 .

0

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= ﹣ ﹣2lg5+1
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=2 ﹣2lg2﹣2lg5+1 =16﹣2(lg2+lg5)+1 =15. 故答案为:15. 点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题.

4

18.若幂函数 f(x)的图象过点

,则

的值为 4 .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: α 根据题意设幂函数的解析式为:f(x)=x ,又函数的图象过点
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,可得 α=﹣2,即可求出函数的

解析式,进而解决问题. 解答: 解:设幂函数的解析式为:f(x)=xα, 因为幂函数 f(x)的图象过点 所以解得:α=﹣2,即 f(x)=x ,
9
﹣2

,即



所以

=4.

故答案为:4. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握幂函数的有关性质,如幂函数的概念、解析式、定义域、值域,以及利用 待定系数法求函数的解析式,此题属于基础题. 19.已知直线 5x+12y+m=0 与圆 x ﹣2x+y =0 相切,则 m=
2 2

8 或﹣18 .

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径,先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径,在 利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径,求得答案. 2 2 解答: 解:整理圆的方程为(x﹣1) ++y =1 故圆的圆心为(1,0) ,半径为 1 直线与圆相切 ∴ 圆心到直线的距离为半径
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=1,求得 m=8 或﹣18

故答案为:8 或﹣18 点评: 本题主要考查了直线与圆的位置关系.解题的过程充分利用数形结合的思想和直线与圆相切的性质. 20. (2010?湖北)圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后,水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是 4 cm.

考点: 组合几何体的面积、体积问题. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: 设出球的半径,三个球的体积和水的体积之和,等于柱体的体积,求解即可. 解答: 解:设球半径为 r,则由 3V 球+V 水=V 柱可得 3× ,解得 r=4.
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故答案为:4 点评: 本题考查几何体的体积,考查学生空间想象能力,是基础题. 三.解答题(共 10 小题) 2 2 2 21.若长方体相邻三个面的面积分别为 6cm ,3cm ,2cm ,则此长方体外接球的表面积是 14π . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据长方体的对角线长公式,算出该长方体的对角线长,从而算出它的外接球半径,利用球的表面积公式 即可算出答案. 解答: 解:设长宽高分别为 a,b,h,可知:ab=6,ah=3,bh=2, ∴ 长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为 1、2、3, ∴ 长方体的对角线长为 = ,
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10

设长方体外接球半径为 R,则 2R=
2

,解得 R=



∴ 该长方体外接球表面积为 S=4πR =14π. 故答案为:14π. 点评: 本题给出长方体的长、宽、高,求它的外接球的体积.着重考查了长方体的对角线长公式、球内接多面体 和球的表面积公式等知识,属于基础题. 22.根据下列条件分别求直线 l1,l2 的方程: (Ⅰ )l1 经过点 A(0,2) ,B(3,﹣3) ; (Ⅱ )l2 平行于直线 l0:3x+4y﹣12=0,且与它的距离为 2. 考点: 待定系数法求直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (I)利用点斜式即可得出; (II)利用平行线斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ ) ,
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又直线 l1 过点(0,2) , 由斜截式方程得 (Ⅱ ) 设 ,即 5x+3y﹣6=0. . ,即 3x+4y﹣4b=0.

在直线 l0 上取一点 P(0,3) ,则点 P 到 l2 的距离为



解得 b= 或 b=



将 b 的值代入 l2 的方程得 l2:3x+4y﹣2=0 或 3x+4y﹣22=0. 点评: 本题考查了点斜式、平行线斜率之间的关系、点到直线的距离公式,考查了计算能力,属于基础题. 23.已知直线 l 过点 A(﹣2,3) (1)直线 l 的倾斜角为 135°,求直线 l 的方程; (2)直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 2,求直线 l 的方程. 考点: 直线的一般式方程;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)有直线的倾斜角求出其斜率,直接利用直线方程的点斜式写出方程,然后化为一般式; (2)设出直线的斜截式方程,由点 A 在直线上得到一个关于 k,b 的方程,求出直线在两坐标轴上的截距, 由截距之和等于 2 得另一方程,联立方程组后求出斜率和截距,则直线方程可求. 解答: 解: (1)由直线 l 的倾斜角为 135°,所以其斜率为﹣1, 又直线 l 过点 A(﹣2,3) ,所以直线 l 的方程为 y﹣3=﹣(x+2) ,即 x+y﹣1=0; (2)设线方程为:y=kx+b 因为过点 A(﹣2,3) 所以 3=﹣2k+b.
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当 y=0,x=﹣ . 当 x=0,y=b.

11

由题意得,﹣ +b=2

解方程组



得 k1=﹣1,b=1;k2= ,b=6. 所以直线方程为:y=x+1 或 3x﹣2y+12=0. 点评: 本题考查了直线的一般式方程和截距式方程,考查了方程组的解法,需要注意的是截距不是距离,是基础 的计算题. 24.已知直线 l:2x﹣y+1=0 ① 求过点 P(3,1)且与 l 平行的直线方程; ② 求过点 P(3,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 考点: 直线的截距式方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: ① 设过点 P(3,1)且与 l 平行的直线方程为 2x﹣y+c=0,把点 P(3,1)代入,求得 c 的值,可得所求的 直线方程. ② 当直线经过原点时,用点斜式求得直线方程,当直线不经过原点时,设直线的方程为 x+y=k,把点 P(3, 1)代入,求得 k 的值,可得所求的直线. 解答: 解:① 设过点 P(3,1)且与 l 平行的直线方程为 2x﹣y+c=0, 把点 P(3,1)代入可得 6﹣1+c=0,解得 c=﹣5, 故所求的直线方程为 2x﹣y﹣5=0. ② 由于直线过点 P(3,1)且在两坐标轴上截距相等,
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当直线经过原点时,方程为 y=

x,即 x﹣3y=0.

当直线不经过原点时, 设直线的方程为 x+y=k,把点 P(3,1)代入可得 3+1=k,k=4, 故所求的直线法构成为 x+y﹣4=0. 综上可得,所求的直线方程为 x﹣3y=0,或 x+y﹣4=0. 点评: 本题主要考查两条直线平行、垂直的条件,用待定系数法求直线的方程,体现了分类讨论的数学思想,属 于基础题. 25. (1)直线经过点 P(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等,求直线方程; 2 2 (2)设直线 ax﹣y+3=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2

,求 a 值.

考点: 直线的一般式方程;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,分 a=0 和 a≠0 两种情况分别求出直线 l 的方程. (2)由圆的方程得到圆心坐标和半径 r,由垂径定理得到圆心到直线的距离,解出 a 值. 解答: 解: (1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2) ,∴ l 的方程为 y= x,即
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2x﹣3y=0. 若 a≠0,则设 l 的方程为 综上可知,直线 l 的方程为 ,∵ l 过点(3,2) ,∴ 2x﹣3y=0,或 x+y﹣5=0. , ,∴ a=5,∴ l 的方程为 x+y﹣5=0.

(2)圆心(1,2) ,半径 r=2,设圆心到直线的距离为 d,则由垂径定理知
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∴ d=1,∴

,解得 a=0,故所求的 a 值是 0.

点评: 本题考查用斜截式求直线方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思 想,求圆心到直线的距离是解题的关键. 26. (2007?广东)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8,高为 4 的 等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形,正侧面及其相对侧面 均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形,分析出图形 之后,再利用公式求解即可. 解答: 解:由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形,正侧面及其相对 侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形,如图所 示. (1)几何体的体积为
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V= ?S 矩形?h= ×6×8×4=64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为: h1= =5.

左、右侧面的底边上的高为: h2= =4 .

故几何体的侧面面积为: S=2×( ×8×5+ ×6×4 =40+24 . )

点评: 本题考查了学生的空间想象能力,图形确定后,本题就容易了,是中档题. 27.已知全集 U=R,集合 A={x|2x+a>0},B={x|x ﹣2x﹣3>0}. (Ⅰ )当 a=2 时,求集合 A∩ B; (Ⅱ )若 A∩ (?UB)=?,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 规律型.
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分析: (Ⅰ )当 a=2 时,求出集合 A,利用集合的基本运算求 A∩ B. (Ⅱ )求出?UB,然后根据集合关系 A∩ (?UB)=?,确定 a 的取值范围. 解答: 解:由 2x+a>0 得
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,即



由 x ﹣2x﹣3>0 得(x+1) (x﹣3)>0,解得 x<﹣1 或 x>3, 即 B={x|x<﹣1 或 x>3}. (Ⅰ )当 a=2 时,A={x|x>﹣1}. ∴ A∩ B={x|x>3}. (Ⅱ )∵ B={x|x<﹣1 或 x>3}, ∴ ?UB={x|﹣1≤x≤3}. 又∵ A∩ (?UB)=?, ∴ ,

解得 a≤﹣6. ∴ 实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣6]. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,以及利用集合关系确定参数问题,比较基础. 28.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DBA=30°,∠ DAB=60°,AD=1,PD⊥ 底面 ABCD. (Ⅰ )证明:PA⊥ BD; (Ⅱ )若 PD=AD,求二面角 P﹣AB﹣D 余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )由已知得 BD⊥ AD,BD⊥ PD,从则 BD⊥ 面 PAD,由此能证明 PA⊥ BD. (Ⅱ ) 过 D 作 DO⊥ AB 交 AB 于 O, 连接 PO, 由 PD⊥ 底面 ABCD, 知∠ POD 为二面角 P﹣AB﹣D 的平面角. 由 此能求出二面角 P﹣AB﹣D 余弦值. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )∵ ∠ DBA=30°,∠ DAB=60°, ∴ ∠ ADB=90°,∴ BD⊥ AD, 又 PD⊥ 底面 ABCD,∴ BD⊥ PD, ∴ BD⊥ 面 PAD,∴ PA⊥ BD. (Ⅱ )过 D 作 DO⊥ AB 交 AB 于 O,连接 PO, ∵ PD⊥ 底面 ABCD, ∴ ∠ POD 为二面角 P﹣AB﹣D 的平面角. 在 Rt△ ABD 中,∵ AD=1,∠ ABD=30°,
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,∴

, ,

而 PD=AD=1,在 Rt△ PDO 中, ∴ ∴ , .

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∴ 二面角 P﹣AB﹣D 余弦值为



点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 29.P 是平行四边形 ABCD 外一点,∠ DAB=60°,AB=2AD=2a,△ PDC 是正三角形,BC⊥ PD (1)证明:平面 PBD⊥ 平面 ABCD; (2)求二面角 P﹣BC﹣D 的余弦值; (3)求三棱锥 B﹣ADP 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;二面角的平面角及求法. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 2 2 2 分析: (1)依题意,可证 AB =BD +AD ?AD⊥ BD,结合已知 BC⊥ PD 可证 AD⊥ 平面 PBD,从而可证平面 PBD⊥ 平面 ABCD; (2)可证∠ PBD 为二面角 P﹣BC﹣D 的平面角,再利用余弦定理计算即可;
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(3)通过体积转化公式 VB﹣ADP=VA﹣PBD 及可求得答案. 解答: 证明: (1)在△ ABD 中,∠ DAB=60°,AB=2AD=2a, ∴ 由余弦定理得:BD =AD +AB ﹣2AD?ABcos∠ DAB=a +4a ﹣2×a×2a× =3a , ∴ BD= a; 2 2 2 ∴ AB =BD +AD , ∴ △ ABD 是直角三角形,AD⊥ BD, 又 BC⊥ PD,BC∥ AD, ∴ AD⊥ PD,PD∩ BD=D, ∴ AD⊥ 平面 PBD,AD?平面 ABCD, ∴ 平面 PBD⊥ 平面 ABCD; (2)由 AD⊥ 平面 PBD,BC∥ AD 知,BC⊥ 平面 PBD,PB?平面 PBD, ∴ BC⊥ PB;① 又∠ ADB=∠ DBC=90°, ∴ DB⊥ BC;② 平面 PBC∩ 平面 DBC=BC, ∴ ∠ PBD 为二面角 P﹣BC﹣D 的平面角. ∵ △ PDC 是边长为 2a 正三角形,BD= a, 由 BC⊥ PB 知,△ PBC 为直角三角形,由斜边 PC=2a,直角边 BC=a 可得 PB= ∴ cos∠ PBD= (3)∵ AD⊥ 平面 PBD, ∴ VB﹣ADP=VA﹣PBD
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2 2 2 2 2 2



=

= ;

= ?AD?S△PBD = ×a× PB?BD?sin∠ PBD = a? =
3

a?

a?

a.

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,考查二面角的平面角及求法,考查余弦定理与棱锥的体积的综合应用, 属于难题. 30.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PD=AD,∠ DAB=60°,PD⊥ 底面 ABCD. (1)求证 AC⊥ PB; (2)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)要证 AC⊥ PB,可以通过证明 AC⊥ 面 PDB 实现,而后者可由 AC⊥ BD,AC⊥ PD 证得. (2)求出 A 到平面 PBC 的距离为 h(可以利用等体积法) ,再与 PA 作比值,即为 PA 与平面 PBC 所成角 的正弦值. 解答: (1)证明∵ 底面 ABCD 为菱形,∴ AC⊥ BD, ∵ PD⊥ 底面 ABCD,∴ AC⊥ PD, ∵ BD∩ PD=D,∴ AC⊥ 面 PDB, ∵ PB?面 PDB∴ AC⊥ PB. (2)解:设 PD=AD=1,设 A 到平面 PBC 的距离为 h,
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则由题意 PA=PB=PC=

,S△ABC=

=

在等腰△ PBC 中,可求 S△PBC= ∴ V A﹣PBC=V P﹣ABC, = ,h=

=

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∴ sinθ=

=

=

点评: 本题考查空间直线和直线垂直的判定.线面角求解.考查空间想象、推理论证能力.

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