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2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质 教案(人教A版选修2-1)

2.2.2 第 1 课时
●三维目标 1.知识与技能

椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质

掌握椭圆的几何性质, 理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合 解决实际问题. 2.过程与方法 通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程,培养学生观察、分析问题的能力,利用 数形结合思想解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 通过数与形的辨证统一,对学生进行辨证唯物主义教育,通过对椭圆对称美的感受,激 发学生对美好事物的追求. ●重点难点 重点:由标准方程分析出椭圆的几何性质. 难点:椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法. 对重难点的处理:为了突出重点,突破难点,应做好:①让学生自主探索新知;②重难 点之处进行反复分析;③及时巩固.

(教师用书独具)

●教学建议 根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力, 为了体现学生的主体地位, 遵循学生 的认知规律,宜采用这样的教学方法:启发式讲解, 互动式讨论,研究式探索, 反馈式评价. ●教学流程

创设问题情境,引出问题:椭圆有哪些简单几何性质? 引导学生结合椭圆的图形,观察、比较、分析,导出椭圆的简单几何性质. 引导学生探究椭圆的扁平程度与a,b,c的关系得出离心率概念及性质. 通过例1及其互动探究,使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.

? ? ? ?

通过例2及其变式训练,使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法. ?探究离心率 对椭圆形状的影响及求解方法,完成例 3 及其变式训练,从而解决如何求离心率问题 .? 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正. ?

课 标 解 读 1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中 a、b、c 的几何意义.(重点) 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.(难点)

椭圆的简单几何性质 【问题导思】 x2 y2 1.观察椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的形状, a b

图 2-2-2 你能从图中看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊? 【提示】 椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部,椭圆关于坐标轴对称.椭圆与坐标 轴的四个交点比较特殊. x2 y2 2.如何由椭圆 2+ 2=1(a>b>0)求出椭圆与 x、y 轴的交点坐标? a b 【提示】 只要令 x=0 或 y=0 求解即可.

焦点的 焦点在 x 轴上 位置 焦点在 y 轴上

图形

标准 方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

-a≤x_≤a 且 范围 -b_≤y_≤b 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b_≤x_≤b 且 -a_≤y_≤a A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

短轴长=2b,长轴长=2a F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c 对称轴为坐标轴,对称中心为原点 F1(0,-c),F2(0,c)

椭圆的离心率 【问题导思】 x2 y2 1.观察不同的椭圆,我们会发现, 椭圆的扁平程度不一.对于椭圆 2+ 2=1(a>b>0), a b 若令 a 不变,b 怎样变化时椭圆形状越圆(扁)?此时 c 的情况如何? 【提示】 当 a 值不变,b 越大,即 c 越小时,椭圆形状越圆;b 越小即 c 越大时,椭 圆形状越扁. c 2.若用 来描述椭圆的扁平情况会是怎样的? a 【提示】 c c c 越小椭圆形状越圆; 越大椭圆形状越扁.(注意:0< <1) a a a

c 1.定义:椭圆的焦距与长轴长的比 e= ,叫做椭圆的离心率. a 2.性质:离心率 e 的范围是(0,1).当 e 越接近 1 时,椭圆越扁;当 e 越接近于 0 时, 椭圆就越接近于圆.

根据椭圆的方程研究其几何性质 已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 焦点. 【思路探究】 根据已知条件,如何求出 a、b、c 的值? 3 ,求椭圆的长轴长、短轴长、 3

x2 y2 【自主解答】 方程化为 + =1(m>0), m m m+3 ∴a= m,b= 又 e= m2+2m m ,c2= . m+3 m+3

2 3 3 m +2m ,则 = ,∴m=1, 2 4 m?m+3?

1 3 从而 a=1,b= ,c= . 2 2 ∴椭圆的长轴长 2a=2,短轴长 2b=1, 焦点坐标 F1(- 3 3 ,0),F2( ,0). 2 2

1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位 置,进而确定椭圆的类型. 2.焦点位置不确定的要分类讨论,找准 a 与 b,正确利用 a2=b2+c2 求出焦点坐标, 再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是 a,b,c,而应是 a,b,c 的两倍.

本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=144”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐 标和顶点坐标. x2 y2 【解】 已知方程化成标准方程为 + =1. 16 9 ∴a=4,b=3,c= 16-9= 7. c 7 ∴椭圆的长轴长与短轴长分别为 8 和 6,离心率 e= = . a 4 焦点坐标为 F1(- 7,0),F2( 7,0);四个顶点的坐标为:A1(-4,0),A2(4,0),B1(0, -3),B2(0,3).

由几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆过(3,0),离心率 e= 6 ; 3

(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 8. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定吗?(2)基本量 a、 b、 c 分别为多少?怎样求出?

【自主解答】

(1)若焦点在 x 轴上,则 a=3,

c 6 ∵e= = ,∴c= 6,∴b2=a2-c2=9-6=3. a 3 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 9 3 若焦点在 y 轴上,则 b=3, c ∵e= = a 解得 a2=27. y2 x2 ∴椭圆的方程为 + =1. 27 9 x2 y2 (2)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b b2 1- 2= a 9 6 1- 2= , a 3

如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32, x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 32 16

1.用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法. 2.根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位 置或分类讨论.一般步骤是:①求出 a2,b2 的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准 方程. c 3.在求解 a2、b2 时常用方程(组)思想,通常由已知条件与关系式 a2=b2+c2,e= 等构 a 造方程(组)加以求解.

(1)(2013· 台州高二检测)椭圆的长轴长为 10,一焦点坐标为(4,0),则它的标准方程为 ________.

2 (2)椭圆的长轴长为 6,F 为一个焦点,A 是一个顶点,O 为原点,cos∠OFA= ,则它 3 的标准方程为________. 【解析】 (1)2a=10,c=4,∴a2=25,b2=a2-c2=9.

x2 y2 焦点在 x 轴上,故标准方程为 + =1. 25 9 2 (2)∵F 是焦点且 cos∠OFA= ,∴A 为短轴端点, 3 c 2 ∴|OF|=c,|AF|=a=3,∴ = . 3 3 ∴c=2,b2=a2-c2=5. x2 y2 x2 y2 故方程为 + =1 或 + =1. 9 5 5 9 【答案】 x2 y2 (1) + =1 25 9 x2 y2 x2 y2 (2) + =1 或 + =1 9 5 5 9

求椭圆的离心率 (1)已知椭圆的焦距与短轴长相等,求椭圆的离心率. (2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,求该椭圆的离心率. c 【思路探究】 (1)能否推导出 a 与 c 的关系进而求出 的值?(2)能否由已知条件构造关 a c 于 的方程求解? a 【自主解答】 c2 c2 c2 1 2 (1)由题意得:b=c,∴e2= 2= 2 2= 2= ,∴e= . a b +c 2c 2 2

(2)由题意得:2b=a+c,∴4b2=(a+c)2 又∵a2=b2+c2,∴4(a2-c2)=a2+2ac+c2 c c 即 3a2-2ac-5c2=0,∴3-2·-5· ( )2=0 a a c c c 3 即 5· ( )2+2·-3=0,∴e= = . a a a 5

求 e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下: c (1)若已知 a,c 可直接代入 e= 求得; a (2)若已知 a,b,则使用 e= b2 1- 2求解; a

(3)若已知 b,c,则求 a,再利用(1)或(2)求解; (4)若已知 a,b,c 的关系,可转化为关于离心率 e 的方程(不等式)求值(范围).

x2 y2 (1)椭圆 + =1 的离心率为________. 16 8 → → (2)已知椭圆的两焦点为 F1、F2,A 为椭圆上一点,且AF1· AF2=0,∠AF2F1=60° ,则该 椭圆的离心率为________. 【解析】 (1)∵a2=16,b2=8,∴e= 8 2 1- = . 16 2

→ → (2)∵AF1· AF2=0,∴AF1⊥AF2,且∠AF2F1=60° . 设|F1F2|=2c,∴|AF1|= 3c,|AF2|=c. 由椭圆定义知: 3c+c=2a 即( 3+1)c=2a. c 2 ∴e= = = 3-1. a 3+1 【答案】 (1) 2 2 (2) 3-1

利用椭圆的几何性质求最值问题 4 (12 分)(2013· 淄博高二检测)中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆上有 M(1, 3 3 2),N(- 2, 2)两点. 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)在椭圆上是否存在点 P(x,y)到定点 A(a,0)(其中 0<a<3)的距离的最小值为 1?若存 在,求 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】 (1)由于焦点位置不明确,需分情况讨论或用椭圆的一般方程形式,代

入已知点求解;(2)表示出椭圆上的点 P 与定点 A(a,0)的距离,研究其最小值,根据最小值 求出 a 的值,进而求出点 p 的坐标. 【规范解答】 (1)设椭圆的方程为

mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).1 分 ∵椭圆过 M,N 两点,

32 ? ∴?m+ 9 n=
?

9 1 1 ? m+2n=1 ??m= , n= , 3 分 2 9 4 ?

x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1.5 分 9 4 (2)假设存在点 P(x,y)满足题设条件, ∴|AP|2=(x-a)2+y2. x2 y2 x2 又∵ + =1,∴y2=4(1- ), 9 4 9 x2 ∴|AP| =(x-a) +4(1- ) 9
2 2

5 9 4 = (x- a)2+4- a2.7 分 9 5 5 9 ∵|x|≤3,0<a<3,若| a|≤3, 5 5 4 即当 0<a≤ 时,|AP|2 的最小值为 4- a2, 3 5 4 15 5 由题意得 4- a2=1?a=± ?(0, ]; 5 2 3 9 5 若 a>3,即 <a<3,当 x=3 时,|AP|2 取得最小值为(3-a)2,依题意(3-a)2=1,解 5 3 得 a=4 或 a=2, 5 5 ∵4?( ,3),2∈( ,3),∴a=2. 3 3 此时 P 点的坐标是(3,0),故当 a=2 时,存在这样的点 P 满足条件,P 点坐标为(3,0).12 分 【思维启迪】 1.求椭圆的标准方程时,要先定位,再定量;当焦点位置不能确定时, 需分类讨论或者用椭圆的一般方程形式解决. 2.在解与椭圆上点有关的最值问题时,一定不能忽略椭圆的范围.

1.椭圆的几何性质分为两类:一是与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、 短轴长、焦距、离心率等;另一类是与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等.在 解题中要特别注意第二类性质, 应根据椭圆方程的形式首先判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴 上再进行求解. 2.通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质;反之,由椭圆的性质也可以通过待定系 数法求椭圆的方程. 3.椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度,离心率从关于 a、b、c 的一个方程即可求得.

x2 y2 1.椭圆 + =1 的长轴长为( 81 45 A.81 B.9 C.18

) D.45

【解析】 由标准方程知 a=9,故长轴长 2a=18. 【答案】 C 2.椭圆 6x2+y2=6 的离心率为( 5 A. 6 B. 30 6 1 6 C. D. 6 6 )

y2 c 5 30 【解析】 椭圆方程可化为 x2+ =1,∴a2=6,b2=1,∴c2=5,∴e= = = . 6 a 6 6 【答案】 B

3.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为( 1 A. 2 1 B.2 C. D.4 4

)

y2 2 2 【解析】 方程化为 x2+ =1,长轴长为 ,短轴长为 2,由题意, =2×2,∴m 1 m m m 1 = . 4 【答案】 C 4.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0),焦点在 x 轴上; (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3. x2 y2 【解】 (1)椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ∵椭圆过点 A(3,0), 9 ∴ 2=1,a=3, a ∵2a=3· 2b, ∴b=1, x2 ∴方程为 +y2=1. 9 (2)由已知{a=2c, a-c= 3, ∴{a=2 3, c= 3, 从而 b2=9, ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 12 9 9 12

x2

y2

x2

y2

一、选择题 x2 y2 1.已知点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,则( a b A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上 )

x2 y2 【解析】 因为椭圆 2+ 2=1 关于 x 轴、y 轴,原点对称,而点(3,2)在椭圆上,故点(3, a b -2)、(-3,2)、(-3,-2)都在椭圆上. 【答案】 C x2 y2 x2 y2 2.曲线 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系是( 25 9 9-k 25-k A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对 x2 y2 x2 y2 【解析】 曲线 + =1 的焦距为 2c=8,而曲线 + =1(0<k<9)表示的椭 25 9 9-k 25-k 圆的焦距也是 8,但由于焦点所在的坐标轴不同,故选 B. 【答案】 B 3.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( x y A. + =1 36 16 x2 y2 C. + =1 6 4 y2 x2 D. + =1 6 4
2 2

)

)

x y B. + =1 16 36

2

2

【解析】 ∵c=2 5,a2=b2+c2, ∴a2=20+b2.① 又 a+b=10,② 由①②知,a=6,b=4, x2 y2 ∴焦点在 x 轴上的椭圆方程为 + =1. 36 16 【答案】 A 4.(2013· 天水高二检测)椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心 率为( 1 A. 2 ) 1 B. 3 1 C. 4 D. 2 2

c c 1 【解析】 由题意知 a=2c,∴e= = = . a 2c 2 【答案】 A 5.我国于 2007 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球.嫦娥一 号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆. 若第一次变轨前卫星的近地点到地心的

距离为 m,远地点到地心的距离为 n,第二次变轨后两距离分别为 2m,2n(近地点是指卫星距 离地面最近的点,远地点是距离地面最远的点),则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次 变轨后的椭圆的离心率相比较( A.没变 ) D.无法确定

B.变小 C.变大

【解析】 由题意,第一次变轨前,{a+c=n a-c=m. ∴?a=
? ?

m+n n-m , c= 2 2

第二次变轨后,{a′+c′=2n a′-c′=2m. c c′ ∴{a′=m+n c′=n-m ∴ = . a a′ 【答案】 A 二、填空题 6.椭圆 9x2+y2=36 的短轴长为________. x2 y2 【解析】 把椭圆化为标准方程得: + =1,∴b2=4,b=2,∴2b=4. 4 36 【答案】 4 7.(2013· 吉林高二检测)已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A,B 为焦点,且过 C、D 的椭圆的离心率为________. 2c 【解析】 如图,AB=2c=4,∵点 C 在椭圆上,∴CB+CA=2a=3+5=8,∴e= = 2a 4 1 = . 8 2

【答案】

1 2

8.(2011· 课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 的方程为________. 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 2

x2 y2 2 c 2 b2 1 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1,由 e= 知 = ,故 2= . a b 2 a 2 a 2 由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|

=4a=16,故 a=4.∴b2=8. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 【答案】 x2 y2 + =1 16 8

三、解答题 x2 y2 5 9.(1)求与椭圆 + =1 有相同的焦点,且离心率为 的椭圆的标准方程; 9 4 5 (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为 8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程. 【解】 (1)∵c= 9-4= 5, ∴所求椭圆的焦点为(- 5,0),( 5,0). x2 y2 设所求椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 5 ∵e= = ,c= 5,∴a=5,b2=a2-c2=20, a 5 x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 25 20 (2)因椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ∵2c=8,∴c=4, 又 a=6,∴b2=a2-c2=20. x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 36 20 10.椭圆以直线 3x+4y-12=0 和两坐标轴的交点分别作顶点和焦点,求椭圆的标准方 程. 【解】 直线 3x+4y-12=0 与两坐标轴的交点为(0,3),(4,0). ①若以(4,0)为焦点,即焦点在 x 轴上, 则 c=4,b=3,a=5. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1; 25 9 ②若以(0,3)为焦点,即焦点在 y 轴上. 则 c=3,b=4,a=5, y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 16

x2 y2 x2 y2 综上,椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 16 25

图 2-2-3 x2 y2 11.如图 2-2-3,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,A a b 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率; → → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程. c 【解】 (1)由∠F1AB=90° 及椭圆的对称性知 b=c,则 e= = a c2 = a2 c2 2 . 2= 2 b +c
2

→ → → (2)由已知 a2-b2=1,设 B(x,y),A(0,b),则AF2=(1,-b),F2B=(x-1,y),由AF2 3 b 9 b → 2 2 =2F2B,即(1,-b)=2(x-1,y),解得 x= ,y=- ,则 2+ 2=1,得 a =3,因此 b 2 2 4a 4b =2,方程为 + =1. 3 2
2

x2 y2

(教师用书独具)

以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆, 交椭圆于四个不同的点, 顺次连结这四个点与两 焦点,恰好组成一个正六边形,求这个椭圆的离心率. 【自主解答】 如图,设椭圆两焦点为 F1,F2,与正六边形

其中两个交点为 A,B,并设正六边形边长为 m,则根据正六边形的性质有: ∠FAB=120° ,|OF1|=m,根据余弦定理 F1B2=m2+m2-2m· m· cos 120° =3m2, ∴F1B= 3m,又 2a=F1B+BF2= 3m+m, ∴a= 3+1 c m m,又 c=m,∴ = = 3-1, 2 a 3+1 m 2

即椭圆的离心率为 3-1.

→ → 已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1· MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是( A.(0,1) C.(0, 2 ) 2 D.[ ) 1 B.(0, ] 2 2 ,1) 2

→ → 【解析】 设 M(x,y),∵MF1· MF2=0,∴M 的轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为圆 直径.由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部,设 P 为椭圆上任一点,则|OP|>c 恒成立, c 1 2 而|OP|≥b,∴b>c,∴c2<b2=a2-c2,∴a2>2c2,∴( )2< ,∴0<e< . a 2 2 【答案】 C


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