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河南省开封市2014届高三第一次模拟考试(数学理)


高三数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题, 其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。
x ?1 1.若集合 A ? ? x ? R | y ? lg(2 ? x )? , B ? y ? R | y ? 2 , x ? A ,则

?

?

A .R

B. ? ??,0? ? ? 2, ?? ? C. ? 2, ?? ?
5

D. ? ??,0?

2.复数 z ? ( 3 ? i )i ? i (i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为 A.2- i B.2+i C.4- i D.4+i

3.直线 2 x ? my ? 2m ? 4 与直线 mx ? 2 y ? m ? 2 垂直的充要条件是 A.m=2 B.m=-2 C.m=0 D.m∈R 4.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三角形, 该几何体的四个顶点在空间直角坐 标系 O-xyz 中的坐标分别是(0,0,

0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)则第五个顶点的坐标可能为 A.(1,1,1) B.(1,1, 2 ) C.(1,1, 3 ) D.(2,2, 3 )
2 B

5. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 a cos A ? b sin B , 则n i s c o sA c o sA ? A. ?

?

1 2

B.

1 2

C.-1

D.1

6.阅读如下程序框图,如果输出 i =4,那么空白的判断框中应填人的条件是

A. S<10? B. S<12? C. S<14? D. S<16? 7.把长为 1 的铁丝截成三段,则这三段恰好能围成三角形的概率是 A.

1 2

B.1

C.

1 4

D.

1 8
??? ? ????

8.半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四个点,且满足 AB ? AC ? 0, AC ? AD ? 0 ,

??? ? ??? ?

???? ??? ? AD ? AB ? 0 ,则 S?ABC ? S?ACD ? S?ADB 的最大值为
A. 64 B. 32 C.16 D.8 9 . 已 知 函 数 f ( x) ? sin 2 x cos? ? cos 2 x sin ? ,( x ? R) , (z ∈ R) 其 中 ? 为 实 数 , 且

f ( x) ? f (
小关系是 A .r<p<q

2? 2? 5? 7? ) 对任意实数 R 恒成立,记 p ? f ( ), q ? f ( ), r ? f ( ) ,则 p、q、.r 的大 9 3 6 6
B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r

10.从双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T,延长 2 a b

FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 MO ? MT 与 b-a 的关系 为 A. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a B. MO ? MT ? b ? a D. MO ? MT 与 b-a 无关

11.等比数列 ? an ? 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ? ? ( x ? a8 ) 则 f '(0) ?

A. 212

B. 29

C. 2 8

D. 26

12. 已 知 函 数 f ( x) 定 义 在 R 上 , 对 任 意 实 数 x 有 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ? 2 2 , 若 函 数

y ? f ( x? 1)的图像关于直线 x=1 对称, f (?1) ? 2 ,则 f (2013) ?
A. ?2 ? 2 2 B. 2 ? 2 2 C. 2 ? 2 2 D.2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答, 第(22)题~第(2/1)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 若 (1 ? ,则 a+b=_______. 2)5 ? a ? b 2 (a,b 为有理数)

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? 4 ,则 ?F1PF2 的大小为 14 .椭圆 9 2
________.
2 15.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M, N, 则当 MN 达

到最

小时 t 的值为_______. 1 6.已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心, tan A ?

? cos C ???? ???? 2 cos B ??? ,若 AB ? AC ? 2mAO , 2 sin C sin B

则 m ? ________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17.(本小题满分 12 分)
n ? 设数列 ? an ? 满足: a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? nan ? 2 (n ? N ) .

(I)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? n an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。
2

18.(本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法,从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x、y 的含量(单位:mg) ,下表是乙厂的 5 件产品测量数据

(Ⅰ)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (Ⅱ)当产品中微量元素 x、y 满足 x ? 175, y ? 75 时,该产品为优质品,试估计乙厂生产的优质 品的数量; (Ⅲ)从乙厂抽出的上述 5 件产品中任取 3 件,求抽取的 3 件产品中优质品数 ? 的分布列及数学 期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图:三棱柱 A1B1C1 ? ABC , A1 A ? AC , A1 A ? AB,

AB ? AC ? 1, A1B ? 2 , ,E 是 A1B 的中点.
(Ⅰ)若 BC ?

2 ,求证:平面 ACE ? 平面 A1 AB ;

(Ⅱ)若 ?CAB ? 120? ,求二面角 A1 ? AE ? C 的余弦值;

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 ( x ? a) ? ( y ? 1 ? r ) ? r (r ? 0) 过点 F(0,1),圆心 M 的轨迹为 C.
2 2 2

(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上的点, 过点 P 做曲线 C 的两条切线 PA, PB, 当点 P( x0 , y0 ) 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x
2 (Ⅰ)函数 g ( x) ? ?ax ? f ( x) 在区间 ? ?1, e ? ? 上不单调,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)若 k∈Z,且 f ( x) ? x ? k ( x ? 1) ? 0 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

22. (本小题满分 10 分)选修 4- 1:几何证明选讲 如图: AB 是 ? O 的直径, G 是 AB 延长线上的一点, GCD 是 ? O 的割线,过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E,交直线 AD 于 点 F,过点 G 作 ? O 的切线,切点为 H。 (Ⅰ)求证 C、D、E、F 四点共圆; (Ⅱ)若 GH=6,GE=4,求 EF 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系中,圆 C 方程 ? ? 2 3 cos? ? 2sin ? , A( 3,2? ) ,以极点作为直角坐标系的原点, 极轴作为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位. (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的标准方程; (Ⅱ)设 P 为圆 C 上的任意一点,圆心 C 为线段 AB 中点,求 PA ? PB 的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ)当 x ? ?1, 2 ? 时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.



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