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乐山一中2015级高一年级下期末模拟数学试题

乐山一中 2015 级期末模拟数学试题
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的) 1.在数列 1,1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55 ,则 x 等于 A.11 B.12 C.13 D.14 2.下面四个条件中,,能使得 a ? b 成立的条件是 (A)
1 a ? 1 b
?

(B) a ? b ? 1

(C)

a 2 ? b2
? ?

(D) a ? b
3

3

3.如图 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,向量 a ? b ? c 可表示为 A. 3e1 ? 2 e2 C. 3e1 ? 2 e2 B. ? 3e1 ? 3 e2 D. 2e1 ? 3 e2

? a
? e2 ? e1

? b

? c

4.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a101 ? 0 ,则有 A. a1 ? a101 ? 0 B. a2 ? a100 ? 0 C. a3 ? a99 ? 0 D. a51 ? 51

5.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A、B 两点的距离为 25 2 A.50 2m B.50 3m C.25 2m D. m 2

6.已知 i 和 j 为夹角为 60 的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? 2 i ,则 a 与 b 的夹角的余弦值为
0

r

r

r

r

r

r

r

r

r

A. ?

5 5

B. 0

C.

5 5

D.

1? 3 5?2 3

?0 ? x ? 2 ? 7.在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 M ( x, y ) 为 D 上的 ? ?x ? 2 y uuur uuu r 动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM gON 的最大值为
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

8. ?ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若 CB ? m , CA ? n , mgn ? 0 , m ? 1 , n ? 2 ,

uuu r

uur

u r

uur

r

u r r

u r

r

1

r r r r 4u 4r 3u 3r 2u 2r 1u 1r m? n m? n B. m ? n C. D. m ? n 5 5 5 5 3 3 3 3 1 9.已知曲线 C : y ? ( x ? 0) 及两点 A1 ( x1 ,0) 和 A2 ( x2 ,0) ,其中 x2 ? x1 ? 0 .过 A , A2 分 1 x
那么 AD ? A. 别作 x 轴的垂线,交曲线 C 于 B1 , B2 两点,直线 B1B2 与 x 轴交于点 A3 ( x3 ,0) ,那么

uuu r

x3 , x2 成等差数列 2 C. x1 , x3 , x2 成等差数列
A. x1 ,

x3 , x2 成等比数列 2 D. x1 , x3 , x2 成等比数列
B. x1 ,

10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10, 由于这些数能够表示成三角形, …, 将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正 方形数的是 A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.直线 l 过 A(1 ? a,1 ? a) , B(3, 2a) 两点,若 l 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 12. Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 S5 ? S2 13.直线 l1 : : x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 与直线 l2 : ax ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 a ? 14.(文科)设 x 、 y 为正数,则有 ( x ? y ) ( ?

1 4 ) )的最小值为 x y 3 3 ? ? 1,则 xy 的最小值为 (理科)设 x、 y 均为正实数, 2? x 2? y

?2n ?1 (n ? 2m ? 1, m ? N * ) ? 15.(文科)数列 ?an ? 中,an ? ? ,设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , * ?2n ? 1 (n ? 2m, m ? N ) ?
则 S5 ? (用数字作答), S 2n ?

(理科)已知数列 {an } 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2, 3, ? ? ? ,有

?3an ? 5, an为奇数, ? ,当 a1 ? 11 时, a100 ? ______; an?1 ? ? an , an为偶数.其中k为使an?1为奇数的正整数 ? 2k ?
* 若存在 m ? N ,当 n ? m 且 an 为奇数时, an 恒为常数 p ,则 p 的值为_ _

2

三、 解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分, 前 4 个大题每题 12 分,第 5 答题 13 分, 第 6 大题 14 分) 16. ?ABC 中, A(?1, 2) , B(4,3) ,若 AC 的中点 M 在 y 轴上, BC 的中点 N 在 x 轴上, (1)求点 C 的坐标 (2)求直线 MN 的方程

17.平面上三个非零向量 a 、 b 、 c 的模均为 1,它们之间的夹角均为 120 . (1)求证: a ? (b ? c) ; (2)若 ka ? b ? c ? 1 ,求实数 k 的取值范围. 18.已知△ ABC 中, A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 角 且 3s i n (Ⅰ)若 A ?

?

?

?

?

r

r r

r

r

r

Bc? o s

1 ? ,b ? 1 . B

5? ,求 c ; 12

(Ⅱ)若 a ? 2c ,求△ ABC 的面积.

19.设 ?an ? 是公比大于 1 的等比数列, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, S3 ? 7 , 且 a1 ? 3, 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)令 bn ? ln a3n?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 20. 某校在筹备校运会时欲制作会徽,准备向全校学生征集设计方案,某学生在设计中需 要相同的三角形纸片 7 张,四边形纸片 6 张,五边形形纸片 9 张,而这些纸片必须从A、 B两种规格的纸中裁取,具体如下: 三角形纸片(张) 四边形纸片(张) 五边形纸片(张) A型纸(每张可同时裁取) 1 B型纸(每张可同时裁取) 2 1 1 3 1

若每张A、B型纸的价格分别为 3 元与 4 元,试设计一种买纸方案,使该学生在制作时买 纸的费用最省,并求此最省费用。

21.(文科)设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , p ? 0) . 数列 {bn } 定义如下: 对于正整数 m , bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (1)若 p ?

1 1 , q ? ,求 b3 ; 2 3

(2)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2 m 项和 S 2 m ; (3)是否存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由.
?

3

(理科) 对于无穷数列 ?xn ? 和函数 f ? x ? , xn?1 ? f ? xn ?? n ? N? ? , 若 则称 f ? x ? 是数列 ?xn ? (Ⅰ)定义在 R 上的函数 g ? x ? 满足:对任意 ? , ? ? R ,都有 g ??? ? ? ? g ? ? ? ? ? g ?? ? , 且 g ? ? ? 1 ;又数列 ?an ? 满足: an ? g ? 的母函数.

n (1) 求证: f ? x ? ? x ? 2 是数列 2 an 的母函数;

?1? ?2?

?

?

? 1 n ?2

? ?. ?

(2)求数列 ?an ? 的前项 n 和 Sn . (Ⅱ)已知 f ? x ? ?

? b ?1 ? 2012 x ? 2 是数列 ?bn ? 的母函数,且 b1 ? 2 .若数列 ? n ? 的前 n 项 x ? 2013 bn ? 2 ? ?

n n 和为 Tn ,求证: 25 1 ? 0.99 ? Tn ? 250 1 ? 0.999

?

?

?

? ? n ? 2? .

4


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