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三角形四心与向量

三角形的四心与平面向量总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用 知识点总结
1.O 是 ? ABC 的重心 ?

O A? O B? O C? 0 ; O A? O B? O C? 0 ;

1 S ?BOC ? S ?AOC ? S ?AOB ? S ?ABC 3 若 O 是 ? ABC 的重心,则 故 PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心. 3

2.O 是 ? ABC 的垂心 ?

O A? O B ? O B? O C? O C? O A ; tanB: tanC 若 O 是 ? ABC (非直角三角形)的垂心,则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? tanA:
故 tanAO A? tanBO B? tanCO C ?

0
2 2 2

3.O 是 ? ABC 的外心 ? | OA|?| OB|?| OC| (或 O A

? OB ? OC ) : sin?AOC: sin?AOB? sin2A : sin2B : sin2C 若 O 是 ? ABC 的外心则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB ? sin?BOC
故 sin2AO A? sin2BO B? sin2CO C ? 4.O 是内心 ? ABC 的充要条件是
OA ? (

0
? AC AC ) ? OB ? ( BA | BA | ? BC | BC | ) ? OC ? ( CA | CA | ? CB | CB | )?0

AB | AB |

, CA 的单位向量为 e 1 , e 2 , e 3 ,则刚才 O 是 ?ABC 内心的充要条件 引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记 AB, BC
可以写成

O A? (e1 ? e 3 ) ? O B? (e1 ? e 2 ) ? O C? (e 2 ? e 3 ) ? 0

, O 是 ? ABC 内心的充要条件也可以是

aO A? bO B? cO C ? 0


。若 O 是 ? ABC 的内心,则 S ?BOC:S ?AOC:S ?AOB

? a:b:c

aO A? bO B? cO C ? 0或 sinAO A? sinBO B? sinCO C ? 0 ; | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P 是 ?ABC 的内心;
AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心 ( 是 ?BAC 的角平分线所在直 | AB | | AC |
B

A

向量 ? ( 线) ;

e1
C P

e2
C C





(一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1. O 是平面上的一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的( )

? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) ,? ? ?0,??? 则

(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心

解析:因为

AB AB

是向量

AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e1和 e2 ,

又 OP ? OA ?

AP ,则原

式可化为

AP ? ?(e1 ? e2 ) ,由菱形的基本性质知 AP 平分 ?BAC ,那么在 ?ABC

中,AP 平分 ?BAC ,则知选 B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2. H 是△ABC 所在平面内任一点, HA? HB ? HB? HC ? HC ? HA ? 点 H 是△ABC 的垂心. 由 HA? HB ? HB? HC ? HB? ( HC ? HA) ? 0 ? HB? AC ? 0 ? HB ? AC , 同理 HC ? AB , HA ? BC .故 H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略) ) -1-

例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? A.外心 B.内心 C.重心 解析:由 PA? PB ?

PC ? PA ,则 P 是△ABC 的(D
D.垂心



PB ? PC得PA? PB ? PB ? PC ? 0 .即 PB ? (PA ? PC) ? 0,即PB ? CA ? 0 则 PB ? CA,同理PA ? BC, PC ? AB 所以 P 为 ?ABC 的垂心. 故选 D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4. G 是△ABC 所在平面内一点, GA ? GB ? GC =0 ? 点 G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右,图中 GB ? GC ? GE 连结 BE 和 CE,则 CE=GB,BE=GC ? BGCE 为平行四边形 ? D 是 BC 的中点,AD 为 BC 边上 的中线. 将 GB ? GC ? GE 代入 GA ? GB ? GC =0, 得 GA ? EG =0 ? GA ? ?GE ? ?2GD ,故 G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略) ) 例 5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心 ? PG ? 证明

1 ( PA ? PB ? PC) . 3

PG ? PA ? AG ? PB ? BG ? PC ? CG ? 3PG ? ( AG ? BG ? CG) ? ( PA? PB ? PC)

∵G 是△ABC 的重心 ∴ GA ? GB ? GC =0 ? AG ? BG ? CG =0,即 3PG ? PA? PB ? PC 由此可得 PG ?

1 ) ( PA ? PB ? PC) .(反之亦然(证略) 3

例 6 若 O 为 ?ABC 内一点, OA ? OB ? OC A.内心 B.外心 C.垂心

?0

,则 O 是 ?ABC 的(



D.重心

解析:由 OA ? OB ? OC 平行四边形性质知 OE

? 0 得 OB ? OC ? ?OA ,如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形,则 OB ? OC ? OD ,由
,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选 D。

1 ? OD , OA ? 2 OE 2

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查 例 7 若 O 为 ?ABC 内一点, A.内心 B.外心

OA ? OB ? OC
D.重心

,则 O 是 ?ABC 的(



解析:由向量模的定义知 O 到 ?ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ?ABC 的外心 ,选 B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8.已知向量 OP 1 , OP 2 , OP 3 满足条件 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0,| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=1, 求证 证明 △P1P2P3 是正三角形.( 《数学》第一册(下) ,复习参考题五 B 组第 6 题) 由已知 OP 1 + OP 2 =- OP 3 ,两边平方得 OP 1 · OP 2 =?

C.垂心

1 , 2

同理 OP2 · OP 3 = OP 3 · OP 1 =?

1 , 2

∴| P 1 P2 |=| P2 P 3 |=| P 3P 1 |= 3 ,从而△P1P2P3 是正三角形. 反之,若点 O 是正三角形△P1P2P3 的中心,则显然有 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |. 即 O 是△ABC 所在平面内一点,

OP 1 + OP 2 + OP 3 =0 且| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 | ? 点 O 是正△P1P2P3 的中心.
例 9.在△ABC 中,已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H 三点共线,且 QG:GH=1:2。 【证明】 :以 A 为原点,AB 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B(x1,0) 、C(x2,y2),D、E、F 分别 为 AB、BC、AC 的中点,则有:

x1 x ?x2 y2 x y x , 0)、E ( 1 , )、F ( 2 , 2 ) 由题设可设 Q ( 1 , y 3 )、H (x 2 , y 4 ) , 2 2 2 2 2 2 x ?x2 y2 x x y y G( 1 , ) ? AH ? (x 2 , y 4 ), QF ? ( 2 ? 1 , 2 ? y 3 ) 3 3 2 2 2 BC ? (x 2 ? x 1, y 2 ) D(
-2-

C(x2,y2)

F G

H

E

AH ? BC ? AH ? BC ? x 2 (x 2 ? x 1 ) ? y 2 y 4 ? 0 ?y4 ? ? x 2 (x 2 ? x 1 ) y2

QF ? AC x 2 x1 y ? ) ? y 2( 2 ? y 3) ? 0 2 2 2 x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 ?y3 ? ? 2y 2 2 x 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 ?QH ? (x 2 ? 1 , y 4 ? y 3 ) ? ( 2 ,? ? ) 2 2 2y2 2 x ? x1 x1 y 2 2x ? x 1 y 2 x 2 ( x 2 ? x 1 ) y 2 ?QG ? ( 2 ? , ? y 3) ? ( 2 , ? ? ) 3 2 3 6 3 2y2 2 ?QF ? AC ? x 2 (
?( 2x 2 ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 1 2x ? x 1 3x 2 (x 2 ? x 1 ) y 2 ,? ? )? ( 2 ,? ? ) 6 6y2 6 3 2 2y2 2

1 = QH 3 即 QH =3 QG ,故 Q、G、H 三点共线,且 QG:GH=1:2
例 10. 若 O、 H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OH ? OA ? OB ? OC . 证明 若△ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图. 连 BO 并延长交外接圆于 D,连结 AD,CD. ∴ AD ? AB , CD ? BC .又垂心为 H, AH ? BC , CH ? AB , ∴AH∥CD,CH∥AD, ∴四边形 AHCD 为平行四边形, ∴ AH ? DC ? DO ? OC ,故 OH ? OA ? AH ? OA ? OB ? OC . 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心 (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线” ; (2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点, 心的距离是重心到外心距离的 2 倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题. 例 11. 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心 ? OG ? 求证 的位置关系: 即重心到垂

1 OG ? OH 3

按垂心定理

OH ? OA ? OB ? OC

1 (OA ? OB ? OC) 3 1 由此可得 OG ? OH . 3

补充练习 1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足

OP =

1 1 1 ( OA+ OB +2 OC ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 3 2 2
B.AB 边中线的三等分点(非重心) D.AB 边的中点 =

( B )

A.AB 边中线的中点 C.重心 1.

B 取 AB 边的中点 M, 则 OA ? OB ? 2OM , 由 OP

1 1 ( OA 3 2

+

1 OB +2 OC )可得 3 OP ? 3OM ? 2MC , 2

∴ MP ? 2 MC ,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且点 P 不过重心,故选 B.

3

-3-

2. 在同一个平面上有 ?ABC 及一点O满足关系式: O 的 A ( 外心 D B ) 内心 C 重心 D 垂心

A + BC

2

2



OB + CA = OC

2

2

2



AB

2

, 则O为 ?ABC

2 . 已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 A 、 B 、 C 及 平 面 内 一 点 P 满 足 : P A? ( C ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3.已知 O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足:

PB ? PC ? 0

,则 P 为

?ABC



OP ? OA ? ?( AB ? AC) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 4.已知△ABC,P 为三角形所在平面上的动点,且动点 P 满足:

( C



PA ? PC ? PA ? PB ? PB ? PC ? 0 ,则 P 点为三角形的
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心



D

) P 点为三角形的

5 . 已 知 △ ABC , P 为 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 点 , 且 点 P 满 足 : ( B ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
2 2

a ? PA? b? PB? c? PC? 0 ,则

6 . 在 三 角 形 ABC 中 , 动 点 P 满 足 : CA ? CB ? 2 AB ? CP , 则 P 点 轨 迹 一 定 通 过 △ ABC 的 : ( B ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 → → → → AB AC AB AC 1 → → → 7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ABC 为( ) → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析: 非零向量与满足(

AB AC )· =0, 即角 A 的平分线垂直于 BC, ∴ ? | AB | | AC |

o s AB=AC, 又c

A?

A B A C ? |A B| | A C|
= 1

? 1 = , ∠A= , 2 3

所以△ABC 为等边三角形,选 D. 8. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH

? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m

9.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的(B ) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 10. 如图 1,已知点 G 是 ?ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且

AM ? xAB ,

1 1 AN ? yAC ,则 ? ? 3 。 x y

? O, 1 得 ? AG ? ( AB ? AG) ? ( AC ? AG) ? O,有 AG ? ( AB ? AC ) 。又 M,N,G 三点共线(A 不在直线 MN 上) , 3 于是存在 ? , ? ,使得 AG ? ? AM ? ? AN (且? ? ? ? 1) , 1 有 AG ? ? xAB ? ? y AC = ( AB ? AC ) , 3 ?? ? ? ? 1 1 1 ? 得? 1 ,于是得 ? ? 3 。 x y ?x ? ? y ? ? 3 ?


点 G 是 ?ABC 的重心,知 GA ? GB ? GC

例讲三角形中与向量有关的问题 教学目标:1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 -4-

4、数形结合 教学重点:灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点:针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程: 1、课前练习 1.1 已知 O 是△ABC 内的一点,若 OA ? OB A、重心 B、垂心 C、外心 1.2 在△ABC 中,有命题① AB ?
2 2

? OC

2

,则 O 是△ABC 的〔 D、内心



AC ? BC ;② AB ? BC ? CA ? 0 ;③若 AB ? AC ? AB ? AC ? 0 ,则△ABC


?

??

?

为等腰三角形;④若 AB ? AC ? 0 ,则△ABC 为锐角三角形,上述命题中正确的是〔 A、①② B、①④ C、②③ D、②③④ 2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质 2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题

? ? ? AB AC ? AB AC 1 例 1、已知△ABC 中,有 ? ? ? ? ,试判断△ABC 的形状。 ? ? BC ? 0 和 ? AB AC ? AB AC 2 ? ? 练习 1、已知△ABC 中, AB ? a , BC ? b ,B 是△ABC 中的最大角,若 a ? b ? 0 ,试判断△ABC 的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题 例 2、已知 O 是△ABC 所在平面内的一点,满足 A、重心 B、垂心

OA ? BC ? OB ? AC ? OC ? AB
D、内心

2

2

2

2

2

2

,则 O 是△ABC 的〔



C、外心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

? ? ? AB AC ? 例 3、已知 P 是△ABC 所在平面内的一动点,且点 P 满足 OP ? OA ? ? ? ? ?, ? ? ?0,??? ,则动点 P 一定过△ ? AB AC ? ? ?
ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

练习 2、已知 O 为平面内一点,A、B、C 平面上不共线的三点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? AB ? 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心

? ?

1 ? BC ?, ? ? ?0,??? , 2 ?

D、内心

? ? ? AB AC ? 例 4、已知 O 是△ABC 所在平面内的一点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? ? ? ?, ? ? ?0,??? ,则动点 ? AB cos B AC cosC ? ? ?
P 一定过△ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

? ? ? OB ? OC AB AC ? 练习 3、 已知 O 是△ABC 所在平面内的一点, 动点 P 满足 OP ? ? ?? ? ?, ? ? ?0,??? , 2 ? AB cos B AC cosC ? ? ?
则动点 P 一定过△ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

-5-

例 5、 已知点 G 是的重心, 过 G 作直线与 AB、 AC 分别相交于 M、 N 两点, 且

1 1 求证: ? ?3 AM ? x ? AB, AN ? y ? AC , x y

6、小结 处理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转 化是处理这类问题的关键。 7、作业 1、已知 O 是△ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是△ABC 的〔 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 2、若△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,且 OA ? OB ? OC 〕

? 0 ,则 OA ? OB 等于〔 〕 1 1 A、 B、0 C、1 D、 ? 2 2 3、已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,A、B、C、所对的过分别是 a、b、c 若 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0 ,则 O 是△
ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 〕 为正三角 4、已知 P 是△ABC 所在平面内与 A 不重合的一点,满足 AB ? AC ? 3 AP ,则 P 是△ABC 的〔 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量 OA 、 OB 、 OC 满足 OA ? OB ? OC 形。 6、在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,求 OA ? (OB ? OC)

? 0 , OA ? OB ? OC ? 1,求证:△ABC

三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。在高中数学“平面向量” (必修 4 第二章) 的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的 思想解决数学问题和物理的相关问题。 在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量 表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最 后将运算的结果再还原为几何关系。 下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。 既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。

一、“重心”的向量风采 【命题 1】 已知 G 是 △ ABC 所在平面上的一点,若 GA ? GB ? GC ? 0 ,则 G 是 △ ABC 的重心.如图⑴.

C A' G A
图⑴ 【命题 2】

P B
M

B

A O
图⑵

C

,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 已知 O 是平面上一定点, A

? ?) ,则 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心. OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? (0,

? ?) 时,由于 ? ( AB ? AC ) 表示 BC 边上的中线所在直线的 【解析】 由题意 AP ? ? ( AB ? AC) ,当 ? ? (0,
向量,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心,如图⑵.
-6-

二、“垂心”的向量风采 【命题 3】 P 是 △ ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是 △ ABC 的垂心. 【 解 析 】 由 PA ? PB ? PB ? PC , 得 PB? ( PA? PC ) ? 0 , 即 PB? CA? 0 , 所 以 PB⊥ CA. 同 理 可 证

PC ⊥ AB , PA ⊥ BC .∴P 是 △ ABC 的垂心.如图⑶.

A
E

C M

B

C P
A
图⑶

P

H F B

O

图⑷

【命题 4】

,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 已知 O 是平面上一定点, A

? AB AC ? ? ? , ? ? (0, O P? O A ?? ? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的垂心. ? A Bc o s B A C c o s? C ? ? ? ? ? ? AB AC AB AC ? ? ? BC ? 0 , ? ? ? ? 【解析】 由题意 AP ? ? ,由于 ? AB cos B AC cos C ? ? AB cos B AC cos C ? ? ? ? ?


AB ? BC AB cos B

?

AC ? BC AC cos C

? BC ? CB ? 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量,即 P 点在过点 A 且垂直于

BC 的直线上,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的垂心,如图⑷.

三、“内心”的向量风采 【命题 5】 已知 I 为 △ ABC 所在平面上的一点,且 AB ? c , AC ? b , BC ? a .若 aIA ? bIB ? cIC ? 0 , 则 I 是 △ ABC 的内心.
B

C O

c I A

a

P
C

图⑸ b

A

图⑹

B

【解析】 ∵IB ? IA ? AB , IC ? IA ? AC ,则由题意得 (a ? b ? c) IA ? bAB ? cAC ? 0 ,

? ? AB AC ? ? ? ∵ b AB ? c AC ? AC ? AB ? AB ? AC ? AC ? AB ? , ? AB AC ? ? ? bc ? AB AC ? ? ? .∵ AB 与 AC 分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量, ? ∴ AI ? a ? b ? c ? AB AC ? AC AB ? ? ∴ AI 与 ∠BAC 平分线共线,即 AI 平分 ?BAC . 同理可证: BI 平分 ?ABC , CI 平分 ?ACB .从而 I 是 △ ABC 的内心,如图⑸.
-7-

【命题 6】

,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 已知 O 是平面上一定点, A

? AB ? AC ? ? , ? ? (0, O P? O A ?? ? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心. ? AB ? AC ? ? ? AB AC ? ? ,∴当 ? ? (0, ? 【解析】 由题意得 AP ? ? ? ? ?) 时, AP 表示 ?BAC 的平分线所在直线方向的 ? AB AC ? ? ? 向量,故动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心,如图⑹.

四、 “外心”的向量风采
【命题 7】 已知 O 是 △ ABC 所在平面上一点,若 OA2 ? OB2 ? OC 2 ,则 O 是 △ ABC 的外心.

C
B

A O

B
O A
图⑺
2 2 2
2 2 2

M P C

图⑻

【解析】 若 OA ? OB ? OC ,则 OA ? OB ? OC ,∴ OA ? OB ? OC ,则 O 是 △ ABC 的外心, 如图⑺。 【命题 7】

,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 已知 O 是平面上的一定点, A

O B? O C ? AB AC? ? ? , ? ? (0, OP ? ?? ? ? ?) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的外心。 ? AB c o s 2 B AC c o Cs? ? ? ? ? AB AC OB ? OC ? ? 表示垂直于 BC 的 ? ? ?) 时, ? 【解析】 由于 过 BC 的中点,当 ? ? (0, ? AB cos B AC cos C ? 2 ? ? 向量(注意:理由见二、4 条解释。 ) ,所以 P 在 BC 垂直平分线上,动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的外心,
如图⑻。

-8-


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