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高中数学二轮复习数列的概念与简单表示法教案含答案(全国通用)

第五章 [深研高考· 备考导航] [五年考情] 数 列 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [重点关注] 1.从近五年全国卷高考试题来看:数列一般有两道客观题或一道解答题, 其中解答题与解三角形交替考查,中低档难度. 2.从知识上看:主要考查等差数列、等比数列、an 与 Sn 的关系、递推公式 以及数列求和,注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题. 3.从能力上看:突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的 考查,加大对探究、创新能力的考查力度. [导学心语] 1.重视等差、等比数列的复习,正确理解等差、等比数列的概念,掌握等 差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式,灵活运用公式进行等差、等比数列基 本量的计算. 2.重视 an 与 Sn 关系、递推关系的理解与应用,加强由 Sn 求 an,由递推关 系求通项,由递推关系证明等差、等比数列的练习. 3.数列是特殊的函数,要善于用函数的性质,解决与数列有关的最值问题, 等差(比)数列中共涉及五个量 a1,an,Sn,d(q),n,“知三求二”,体现了方程 思想的应用. 一般数列求和,首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和,再考虑错位相 减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法. 重视发散思维、创新思维,有意识地培养创新能力. 第一节 [考纲传真] 数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 1.数列的定义 按照一定次序排列着的一列数叫作数列, 数列中的每一个数叫作这个数列的 项. 2.数列的分类 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图像法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f (n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式. 5.若一个数列首项确定,其余各项用 an 与 an-1 的关系式表示(如 an=2an-1 +1,n≥2 且 n∈N*),则这个关系式称为数列的递推公式. 6.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn,通项为 an, ?S1,n=1, 则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达.( ) ) ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( (3)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则对任意 n∈N*, 都有 an+1=Sn+1-Sn.( (4)若已知数列{an}的递推公式为 an+1= {an}的任何一项.( [答案] (1)× ) (2)√ (3)√ (4)√ ) 1 ,且 a2=1,则可以写出数列 2an-1 2.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( A.15 C.49 B.16 D.64 A [当 n=8 时,a8=S8-S7=82-72=15.] 3.把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫作三角形数,这是因为以这些数目的点可 以排成一个正三角形(如图 511). 图 511 则第 7 个三角形数是( A.27 C.29 B ) B.28 D.30 [由题图可知,第 7 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7=28.] 2 3 4 5 4.(教材改编)数列 1,3,5,7,9,?的一个通项公式 an 是__________. 【导学号:66482230】 n 2n-1 1 2 3 [由已知得,数列可写成1,3,5,?,故通项为 n .] 2n-1 1 5.(2014· 全国卷Ⅱ)数列{an}满足 an+1= ,a =2,则 a1=__________. 1-an 8 1 2 1 1 [由 an+1= ,得 an=1- , 1-an an+1 1 1 ∵a8=2,∴a7=1-2=2, 1 1 a6=1-a =-1,a5=1-a =2,?, 7 6 1 ∴{an}是以 3 为周期的数列,∴a1=a7=2.] 由数列的前几项归纳数列的 通项公式 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,?; (3)-1,7,-13,19,?; (4)3,33,333,3 333,?. [解] (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. 3分 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?, 2n-1 所以 an= 2n . 6分 (3)数列中各项的符号可通过(-1)n 表示,从第 2 项起,每一项的绝对值总比 它的前一项的绝对值大 6. 故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). 9分 9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为3, 3 , 3 , 3 ,?,分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?, 1 所以 an=3(10n-1). 12 分 [规律方法] 1.求数列通项时,要抓住以下几个特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、化归、联想. 2.若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式,让规 律凸现出来.对于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n+1 来调整,可代入验证归 纳的正确性. [变式训练 1] A.an= B.an= 2 4 6 (1)数列 0,3,5,7,?的一个通项公式为( ) n-1 (n∈N*) n+1 n-1 (n∈N*) 2n+1 2?n-1? C.an= (n∈N*) 2n-1 D.an= 2n (n∈N*) 2n+1 3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是2,1,10,17,则这个数列

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