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高二数学选修2-2~1.4导数在实际生活中的应用_图文

苏教高中数学选修2-2
2019年7月12日星期W

解决优化问题的基本思 路: 待解的优化问题 用函数表示的数学问题
优化问题的答案 用导数解决的数学问题

解题示例
示 例1设 函 数f ( x) ? 2x 3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c在x ? 1及x ? 2时 取 得 极 值.
(1)求a、b的 值;(2)若 函 数f ( x)有 极 大 值13,求c的 值.

解(1) f ?( x) ? 6x 2 ? 6ax ? 3b,由 函 数f ( x)在x ? 1及x ? 2时 取 得 极 值,

则f

?(1)

?

0,

f

?(2)

?

0,即???264

? ?

6a ? 3b ? 0 12a ? 3b ? 0

,解

得a

?

?3, b

?

4.

经 检 验 符 合 题 意.

(2)由(1)可 知f ( x) ? 2x 3 ? 9x 2 ? 12x ? 8c,

则f ?( x) ? 6x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) 当x ? 1或x ? 2时, f ?( x) ? 0;当x ? (0,1)时, f ?( x) ? 0; 当x ? (1,2)时, f ?( x) ? 0;当x ? (2,3)时, f ?( x) ? 0; 即 当x ? 1时, f ( x)取 得 极 大 值f (1) ? 5 ? 8c. 故 有5 ? 8c ? 13,即c ? 1.

解题示例
示 例2已 知 函 数f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? a

(1)求f ( x)的 单 调 递 减 区 间;

(2)若f ( x)在 区 间[?2,2]上 的 最 大 值 是20,求f ( x)在 该 区 间 上 的 最 小.值

解(1)原 函 数 的 定 又 导 函 数f ?( x)

义? ?域3x为R2;?

6x

?

9,

令f

?(

x)

?

0, 则x

2

?

2x

?

3

?

0

解 得x ? ?1或x ? 3

故 函 数f ( x)的 单 调 递 减 区 间 为(??,?1), (3,??).
(2)? f (?2) ? a ? 2, f (2) ? a ? 22

? f (2) ? f (?2)

又? 在(?1,3)上f ?( x) ? 0,? f ( x)在[?1,2]上 单 调 递 增
由f ( x)在[?2,1]上 单 调 递 减,

则f (2)、f (?1)为 区 间 上 的 最 大 值 与 最 小 值;

即a ? 22 ? 20, 解 得a ? ?2,故f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 2
? f (?1) ? ?7,即函数f ( x)在区间[?2,2]上的最小值为? 7.

巩固强化
强 化1.已 知 函 数f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2在x ? 1处 有 极 值10, 试 求a、b的 值.
强 化2.已 知 函 数f ( x) ? x 3 ? 1 x 2 ? 2x ? 5. 2
(1)求 函 数f ( x)的 单 调 区 间; (2)若 当x ? [?1,2]时, f ( x) ? m恒 成 立,试 求m的 取 值 范 围.
强 化3.已 知 函 数f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x在x ? ?1处 取 得 极 值, 试 讨 论f (1)和f (?1)是 函 数f ( x)的 极 大 值 还 是 极 小 值 ?

示例3.今在边长为60cm的正方形铁皮的四角切
去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一 个无盖的方底箱子,求当箱底边长为多少时,箱子 容积最大?最大容积是多少?
x

60 x

x x

60

说明:
1、设出变量找出函数关系式;确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义;
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 , 则不需与端点比较, f ( x0 )即是所求的最大值或最 小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间).

示例4、要生产一批带盖的圆柱形铁桶, 要求每
个铁桶的容积为定值V,怎样设计桶的底面半径 才能使材料最省?此时高与底面半径比为多少?

评:①已知、未知量的设取;
与未知量的取代途径;
②注意字母不可无中生有, 强调出其意义;

R
h

边际成本
一般地,设C是成本,q是产量,成本与产量的函数关系式为
C比刻=划??C.Cq如(?果qC)(?,q0q当无? ?产限?qq量)趋?为近Cq(于q0时00)时,,产??量Cq无变限化趋对近成于本常的数影A响,可经用济增学量上
称A为边际成本. 它表明当产量为q0时,增加单位产量需付出 成本A(这是实际付出成本的一个近似值).

? 示例4 在经济学中, 生产x单位产品的成本称为成本函
数,记为C(x);出售x单位产品的收益称为收益函数,记为 R(x); R(x)- C(x)称为利润函数,记为P(x).
(1)设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,生产多少单位产 品时,边际成本C/ (x) 最低?
(2)设C(x)=50x+10000, 产品的单价p=100-0.01x,怎 样定价可使利润最大?

练习1已知某商品生产成本C与产量q的函数关
系式为C=100+4q , 价格p与产量q的函数关系式
为 p ? 25 ? 1 q,求产量q为何值时,利润L最大。 8
分析: 利润L等于收入R减去成本C,而收入R等 于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数 关系式,再用导数求最大利润.

课堂小结
1、实际应用问题的解题思路:
首先,通过审题,认识问题的背景,抽象出问题的实质. 其次,建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.
2、求最大(最小)值应用题的一般方法:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,把实际问题化为数 学问题,建立函数关系式,这是关键一步.
(2)确定函数定义域,并求出极值点. (3)比较各极值与定义域端点函数的大小,结合实际,确 定最值或最值点.

? Ex1已知生产某塑料管的利润函数为
P(n)=-n3+600n2+67500n-1200000,其中 n为工厂每月生产该塑料管的根数,利润 P(n)的单位为元。
(1)求边际利润函数P/(n);
(2)求使P/(n)=0的n值;
(3)解释(2)中的n值的实际意义。

? Ex3某产品制造过程中,次品数y依赖于日产量x, 其函数关系为y=x/(101-x) (x≤100);又该产品售 出一件可以盈利a元,但出一件次品就损失a/3元。 为获取最大利润,日产量应为多少?


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