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空间向量及其加减运算_图文

复习回顾:

? 在必修4中,我们已经学习了平面向量,你还知道下 列几个问题是怎么定义的吗? ? (1)什么叫向量? ? (2)什么是向量的长度(或模)? ? (3)什么叫零向量、单位向量、相反向量、相等向量? ? (4)向量的表示方法有哪些?

思考:
在空间中,上述问题又是如何定义的呢?

? 1.空间向量
定义 在空间,把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量 长度 向量的 大小 叫做向量的长度或 模 . 表示

几何 表示 法
表示 法

空间向量用

有向线段

字母 表示 法

用一个字母表示,如图,此向量的 起点是 A,终点是 B,可记作 a,也 可记作AB,其模记为|a|或|AB|.





? 2.几类特殊向量 ? (1)零向量: 长度为0 的向量叫做零向量,记为0. ? (2)单位向量: 模为1 的向量称为单位向量. ? (3)相等向量:方向 相同 且模 相等 的向量称为相等 向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向 量或相等向量. ? (4)相反向量:与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量, 称为a的相反向量,记为-a.

?3.空间向量的加减法与运算律
类似平面向量,定义空间向量的加、减法 运算(如图): 空间向 量的加 减法

→ → → OB=OA+AB= a+b ; → → → a-b CA=OA-OC= . 加法运 (1)交换律:a+b= b+a ; 算律 (2)结合律:(a+b)+c= (a+c)+b

.

1.如图所示, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=



→ → → a, AD=b,AA1=c,则D1B等于(
A.a+b-c C.a-b-c

)

B.a+b+c D.-a+b+c

→ → → → 解析: D1B=D1D+DA+AB=-c-b+a.
答案: C

? 2.在平面向量中,下列说法正确的是( ) ? A.如果两个向量的长度相等,那么这两个向量相等 ? B.如果两个向量平行,那么这两个向量的方向相同 ? C.如果两个向量平行并且它们的模相等,那么这两 个向量相等 ? D.同向且等长的有向线段表示同一向量 ? 解析: 根据两个向量相等的定义可知,选项D正 确. ? 答案: D

3.如图所示,a,b 是两个空间向量,且面 ABC∥面 → → A′B′C′ , AA′ = BB′ = CC′ , 则 AC 与 A′C′ 是 → ________向量, AB与B′A′是________向量.



答案:

相等

相反

4. 如图所示, 已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′, 化简下列表达式. → → → → → (1)AB+BB′-D′A′+D′D-BC; → → → → (2)AC′-AC+AD-AA′.
解析: → → → → → → (1)AB +BB′ -D′A′ +D′D -BC =AB +

→ → → → BB′+A′D′+D′D-BC → → → → → → =AB+(BB′+D′D)+(A′D′-BC)=AB. → → → → → → → (2) AC′ - AC + AD - AA′ =CC′ + A′D = DD′ + → → A′D=A′D′.

给出下列命题: ①两个空间向量相等, 则它们的起点相同, 终点也相同; ②若空间向量 a,b 满足|a|=|b|,则 a=b;

→ → ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有AC=A1C1;
④若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p,则 m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确的命题的个数是( )

? A.1

B.2

C.3

D.4

? [解题过程]
题号 正误 原因分析 当两向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等, 但两个向量相等不一定起点相同,终点相同 向量相等的定义,模相等,而且方向相同


② ③ ④ ⑤

×
× √ √ ×

→ → 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量AC与A1C1 → → 方向相同,模也相等,必有AC=A1C1
由向量平行(共线)的性质可知 空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同, 故不一定相等

答案:

C

1.下列说法中正确的是(

)

A.若|a|=|b|,则 a、b 的长度相同,方向相同或相反 B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律 → → → D.在四边形 ABCD 中,一定有AB+AD=AC

答案: B

如图所示,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,化简下列 向量表达式: → → (1)AA1-CB; → → → (2)AB1+B1C1+C1D1; 1 → 1 → 1→ (3)2 AD+2 AB-2A1A.

[ 解题过程] → AD1.

→ → → → → → (1)AA1 -CB =AA1 +BC =AA1 +A1D1 =

→ → → → (2)AB1+B1C1+C1D1=AD1. (3)设 M 是线段 AC1 的中点, 1 → 1→ 1 → 1 → 1→ 1 → 则 AD+ AB- A1A= AD+ AB+ AA1 2 2 2 2 2 2 1 → → → 1→ =2(AD+AB+AA1)=2AC1.

[题后感悟] 如何化简向量表达式? (1)化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角 形法则进行化简. (2)在化简过程中遇到减法时, 可灵活应用相反向量转化 成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可以相互转 化. → → → → (3)化简中常用的化简形式为AB+BC=AC,AB-AC = → CB.



2.已知空间四边形 ABCD,点 M、N 分别是边 AB、CD → → 的中点,化简AC+AD-AB.
解析: 如图所示,



因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点,

→ → → → → 所以AC+AD-AB=2AN-2AM
→ =2MN.

?

证明平行六面体的对角线交于一点,并 且在交点处相互平分.

? [ 规 范 作 答 ] 证 明 : 如 图 所 示 , 平 行 六 面 体 ABCD - A′B′C′D′,设点O是AC′的中点, 1 → → → 1 → → 则AO=2AC′=2(AB+AD+AA′).
设 P、M、N 分别是 BD′、CA′、DB′的中点. → → → → 1 → 则AP=AB+BP=AB+2BD′ → 1 → → → =AB+2(BA+BC+BB′) → 1 → → → =AB+2(-AB+AD+AA′) 1 → → → =2(AB+AD+AA′).

→ 1 → → → 同理可证:AM=2(AB+AD+AA′), 1 → → → AN=2(AB+AD+AA′). 由此可知 O,P,M,N 四点重合. 故平行六面体的对角线相交于一点,且在交点处互相平 分.



? [题后感悟]

利用向量解决立体几何中的问题的一般思路:

1.空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同 一平面内的两个向量.如图所示,已知空间向量 a,b,我们 可以在任意平面 α 内,以任意点 O 为起点,作向量OA=a, OB=b.





? 2.空间向量加法运算的理解 ? (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量.因此,求空间若干 向量之和时,可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量. ? (2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则这 些向量的和为0. ? (3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立.

?3.熟练应用三角形法则和平行四边形法则
? (1)利用三角形法则进行加法运算时,注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.进 行减法运算时,注意“共起点”,差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点. ? (2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算.注意:平 行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的 和与差. ? (3)三角形法则也可推广为多边形法则:即在空间中,把 有限个向量顺次首尾相连,则从第一个向量的起点指向最 后一个向量终点的向量即表示这有限个向量的和向量. ? [提醒] 致. 空间向量的概念与运算法则同平面向量完全一

作业:
P44: 1—7,9----11


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