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一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题(一元二次函数零点分布问题) 引入:
? ?单调函数 ? ?存在?——有几个? 函数的零点(零点存在性定理) ? ?不单调函数 ? ?不存在?

1.确定函数的属性是第一位的: 2.研究一元二次函数 y

? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
? k2 ? k3 ? k4

?有零点 ? ? 0----零点的分布情况怎么样? ? ?无零点 ? ? 0

根据根的分布情况可以分为 2 类:下面以开口方向向上为例,且 k Ⅰ.根在不同区间内:此类问题只要考虑区间端点的函数值就行 (1) 一个根大于 k,另一根小于 k

1

f (k ) ? 0
(2) 一个根小于 k ,另一根在 (k
1
1

, k2 ) 内

? f (k1 ) ? 0 , ? f ( k ) ? 0 2 ?
(3)一个根大于 k ,另一根在 (k
2
1

, k2 ) 内

? f (k1 ) ? 0 , ? ? f (k2 ) ? 0
(4) 一个根小于 k ,一个根大于 k
1 2

? f (k1 ) ? 0 , ? f ( k ) ? 0 2 ?
(5) 一个根在 (k
1

, k2 ) 内,一个根在 (k2 , k3 ) 内

? f (k1 ) ? 0 ? ? f (k2 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 3 ?
(6) 一个根在 (k
1

, k2 ) 内,一个根在 (k3 , k4 ) 内

? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? 2 ? ? f ( k3 ) ? 0 ? ? f ( k4 ) ? 0

Ⅱ.根在相同区间内:此类问题只要考虑三个方面:区间端点的函数值,对称轴位置,根的个数 情况 (1) 两根都大于 k (2)两根都小于 k

?? ? 0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0
(3) 两根在 (k

?? ? 0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

1

, k2 ) 内

?? ? 0 ? b ? ? k2 ?k1 ? ? 2a ? ? f (k1 ) ? 0 ? ? ? f (k2 ) ? 0
Ⅲ.有一个根恰在 (k
1

, k2 ) 内

(1) 两个根,一个在

? k1 , k2 ? 外,一个在 (k1 , k2 ) 内
, k2 ) 内

f (k1 ) ? f (k2 ) ? 0
(2) 一个根是 k ,另一个根在 (k
1
1

? f (k1 ) ? 0 ? b ? ? k2 ?k1 ? ? 2 a ? ? ? f (k2 ) ? 0

(3) 一个根式 k ,另一个根在 (k
2

1

, k2 ) 内

? f (k2 ) ? 0 ? b ? ? k2 ?k1 ? ? 2 a ? ? ? f (k1 ) ? 0
Ⅳ.有一个正根,一个负根且正根(负根)的绝对值较大

? f (0) ? 0 ? ? b ? ?0 ? ? 2a

或?

? f (0) ? 0 ? b ? ?0 ? ? 2a

一元二次方程实根分布 1. 若二次函数

f ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? 5 在区间 ( 1 ,1) 上是增函数,则
2

f(2) 的取值范围是

[ 7 ,?? )
2.若?、? 是关于 x 的方程 x 2 的最小值为 8 则 (? ? 1)2 ? ( ? ? 1)2 ? (m ? 2) x ? 2m ? 1 ? 0 的两个实根,

3.若关于 x 的方程 x 2

? (m ? 2) x ? 2m ? 1 ? 0 只有一根在(0,1)内,则 m?

1 2 ( , ] 2 3

4.对于关于 x 的方程 x 2 (1)两个根都小于 1;

? (2m ? 1) x ? 4 ? 2m ? 0,求满足下列条件的 m 的取值范围:
(2)两个根都在(1,4)内

m?

3 2

8 ? ? m ? ?2.5 3
(4)一个根在(-4,0)内,一个根在(0,3)内

(3) 一个根大于 2,一个根小于 2

m ? ?3
(5)一个根小于 2,一个根大于 4

2 ? m ? 2.4
(6)在(0,2)内有根

m ? ?3
(7) 一个正根,一个负根且负根的绝对值较大 m>2

m ? 2或m ? ?3

5.已知函数 的取值范围

f ( x) ? mx 2 ? x ? 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数 m

1 m?? 4


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