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2014年高中数学 第一章 统计 最小二乘估计第一课时教案 北师大版必修3


最小二乘估计
教学目标:1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 教学重点:最小二乘法的思想 教学难点:线性回归方程系数公式的应用 教学过程 回顾: 上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系, 用了很多种方法来刻画这 种线性关系,但是这些方法都缺少数学思想依据。 问题 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些? 想法:保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小) 。 最小二乘法就是基于这种想法。 问题 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效? 设直线方程为 y=a+bx,样本点 A(xi,yi) 方法一、点到直线的距离公式
y

?x , y ?
i i

d?

bxi ? yi ? a b2 ? 1

y ? a ? bx

?x ,a ? bx ?
i i

方法二、

? y ? ?a ? bx ??
i i

0

2

x

显然方法二能有效地表示点 A 与直线 y=a+bx 的距离,而且比方法一更方便计算,所以 我们用它来表示二者之间的接近程度。 问题 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度? 例如有 5 个样本点,其坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x4,y4) , (x5,y5) 与直线 y=a+bx 的接近程度:

? y ? ?a ? bx ?? ? ? y
2 1 1

2

? ?a ? bx2 ?? ? ? y3 ? ?a ? bx3 ?? ? ? y 4 ? ?a ? bx4 ?? ? ? y5 ? ?a ? bx5 ??
2 2 2

2

从而我们可以推广到 n 个样本点: (x1,y1) , (x2,y2) ,…(xn,yn)与直线 y=a+bx 的 接近程度:

? y ? ?a ? bx ?? ? ? y
2 1 1

2

? ?a ? bx2 ?? ? ? ? ? y n ? ?a ? bxn ??
2

2

使得上式达到最小值的直线 y=a+bx 就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法 问题 4、怎样使 小值? 先来讨论 3 个样本点的情况 设有 3 个点(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) ,则由最小二乘法可知直线 y=a+bx 与这 3 个 点的接近程度由下面表达式刻画:

? y ? ?a ? bx ?? ? ? y
2 1 1

2

? ?a ? bx2 ?? ? ? ? ? y n ? ?a ? bxn ??
2

2

达到最

? y ? ?a ? bx ?? ? ? y ? ?a ? bx ?? ? ? y ? ?a ? bx ?? …………………①
2 2 2 1 1 2 2 3 3

整理成为关于 a 的一元二次函数 f ( a ),如下所示:

f ( a ) ? 3a 2 ? 2a?? y1 ? bx1 ? ? ? y2 ? bx2 ? ? ? y3 ? bx3 ?? ? ? y1 ? bx1 ? ? ? y2 ? bx2 ? ? ? y3 ? bx3 ?
2 2

2

? 3 a 2 ? 2a y ? b x ? ? y1 ? bx1 ? ? ? y 2 ? bx2 ? ? ? y3 ? bx3 ?
2 2

?

?

??

2

利用配方法可得

f ( a ) ? 3 a ? y ? bx
从而当 a 将a

? ?

?? ? ? y
2

? bx1 ? ? ? y2 ? bx2 ? ? ? y3 ? bx3 ? ? 3 y ? b x 1
2 2 2

?

?

2

? y ? b x 时,使得函数 f ( a )达到最小值。

? y ? b x 代入①式,整理成为关于 b 的一元二次函数 g ?b ?,

g( b ) ? x1 ? x ? x 2 ? x ? x 3 ? x b 2 ?
1 1 2 21

? ? ? ? ?? 2b??x ? x ?? y ? y ? ? ?x ? x ?? y ? y ? ? ?x ??y ? y? ? ?y ? y? ? ?y ? y? ?
2 2 2

??

3

? x y3 ? y ?

??

??

2

2

2

1

2

3

同样使用配方法可以得到,当

b?

?x

1

? x y1 ? y ? x 2 ? x y 2 ? y ? x3 ? x y3 ? y
2 2 2 1 2 3

??

? ? ?? ? ? ?? ?x ? x ? ? ?x ? x ? ? ?x ? x ?
2 2 2

?

?

x1 y1 ? x 2 y 2 ? x 3 y3 ? 3 xy x1 ? x 2 ? x 3 ? 3 x
2

时,使得函数 g

?b?达到最小值。

从而得到直线 y=a+bx 的系数 a,b,且称直线 y=a+bx 为这 3 个样本点的线性回归方程。 用同样的方法我们可以推导出 n 个点的线性回归方程的系数:

b?

x1 y1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n ? n xy x1 ? x 2 ? ? ? x n ? n x
2 2 2 2

?

? x y ? n xy
i ?1 n i i

n

? x ? nx
2 i ?1 i

2

a ? y ? bx
其中 x 由a

?

x1 ? x2 ? ? ? xn y ? y2 ? ? ? yn ,y? 1 n n

? y ? b x 我们知道线性回归直线 y=a+bx 一定过 x , y

?

?。

例题与练习 例 1 在上一节练习中,从散点图可以看出,某小卖部 6 天卖出热茶的杯数(y)与当天 气温(x)之间是线性相关的。数据如下表 气温(xi)/ C 26 杯数(yi)/杯 20
o

18 24

13 34

10 38

4 50

-1 64

(1)试用最小二乘法求出线性回归方程。 (2)如果某天的气温是-3 C,请预测可能会卖出热茶多少杯。 解: (1)先画出其散点图
70

o

杯数
60

50

40

30

20

10

气温
-20 20 40 60 80

-10

i

xi

yi

xi2

xiyi

1 2 3 4 5 6 合计 可以求得

26 18 13 10 4 -1 70

20 24 34 38 50 64 230

676 324 169 100 16 1 1286

520 432 442 380 200 -64 1910

b ? ?1.648 , a ? 57.557
y =57.557-1.648x

则线性回归方程为

(2)当某天的气温是-3 C 时,卖出热茶的杯数估计为:

o

57.557 ? 1.648? ?? 3? ? 62.501 ? 63
练习 1 已知 x,y 之间的一组数据如下表,则 y 与 x 的线性回归方程 y=a+bx 必经过点 ( D 2 5 ) 3 7

x y

0 1

1 3

(A) (2,2)

(B) (1.5,0)

(C) (1,2)

(D) (1.5,4)

练习 2 某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表: 商店名称 销售额(x)/千万元 利润额(y)/百万元 (1) 画出销售额和利润额的散点图; (2) 若销售额和利润额具有相关关系,计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程。 A 3 2 B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 5

解: (1)

10

8

y
6

4

2

0
-5 -2
(2)数据如下表:

x
5 10 15

i
1 2 3 4 5 合计

xi
3 5 6

-4

yi
2

x i2
9 25 36 49 81 200

xiyi
6 15 18 28 45 112

-6

3 3 4 5 17

7 -8 9 30 -10

可以求得 b=0.5,a=0.4

-12 线性回归方程为: y ? 0.4 ? 0.5 x
小结 1、 最小二乘法的思想 2、 线性回归方程的系数:

-14

-16

b?

x1 y1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n ? n xy x1 ? x 2 ? ? ? x n ? n x
2 2 2 2

?

? x y ? n xy
i ?1 n i i

n

? x ? nx
2 i ?1 i

2

a ? y ? bx

作业:P60 习题 1-8 第 1 题


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