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四川省乐山市高中2013届高三数学第一次调查研究考试试题 文(含解析)新人教A版

四川省乐山市 2013 年高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 分) (5 (2013?乐山一模)已知全集 U={l,2,3, 4,5,6,7},A={2,4,5) 则?UA= , ( ) A.{1,3,5,6,7} B.{1,3,4,6,7} C.(1,4,5,6,7} D.{1,3,6,7} 考点: 补集及其运算 专题: 计算题. 分析: 根据补集的定义直接求解:?UA 是由所有属于集合 U 但不属于 A 的元素构成的集合. 解答: 解:根据补集的定义,?UA 是由所有属于集合 U 但不属于 A 的元素构成的集合,由已 知,有且仅有 l,3,6,7,符合元素的条件. ?UA={l,3,6,7} 故 D. 点评: 本题考查了补集的定义以及简单求解,属于简单题.

2. 分) (5 (2013?乐山一模)已知幂函数 y=f(x)的图象过(4,2)点,则 A. B. C. D.

=(



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域.. 专题: 函数的性质及应用. α 分析: 把幂函数 y=x 的图象经过的点(4,2)代入函数的解析式,求得 α 的值,即可得到 函数解析式,从而求得 f( )的值. 解答: 解:∵已知幂函数 y=x 的图象过点(4,2) , 则 4 =2,∴α = ,故函数的解析式为 y=f(x)=x
α α



∴f( )=

=



故选 B. 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,根据函数的解析式求函数的值,属于基 础题.

3. 分) (5 (2013?乐山一模)已知点 A(﹣1,0) 、B(1,3) ,向量 =(2k﹣1,2) ,若 则实数 k 的值为( A.﹣2 ) B.﹣1

⊥ ,

C.1

D.2

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系.. 专题: 常规题型;计算题.
1

分析: 先用 B 的坐标减去 A 即得

的坐标,再利用两个向量垂直,数量积等于 0 求出实

数 k 的值. 解答: 解:∵ =(2,3) ,向量 a=(2k﹣1,2) ,∵

⊥ ,∴

? =(2,3)?(2k﹣1,

2)=2(2k﹣1)+6=0, ∴k=﹣1, 故选 B. 点评: 本题考查利用两个向量的数量积判断 2 个向量垂直的方法,两个向量垂直,数量积等 于 0. 4. 分) (5 (2013?乐山一模)“a>1”是“函数 f(x)=a ﹣2(a>0 且 a≠1)在区间[1, 2]上存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.. 专题: 探究型. 分析: 先判断函数 f(x)在区间[1,2]上存在零点的条件,然后判断 a>l 与条件之间的关 系,判断是充分条件还是必要条件. x﹣1 解答: 解:要使函数 f(x)=a ﹣2(a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上存在零点,则有 f(1) f(2)≤0, 即﹣1×(a﹣2)≤0,解得 a≥2. 所以 a>1 推不出 a≥2,但 a≥2? a>1, x﹣1 所以“a>1”是“函数 f(x)=a ﹣2(a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上存在零点” 的必要不充分条件, 故选 B. 点评: 本题考查了充分条件和必要条件的判断.要求掌握判断充分条件和必要条件的方法: ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. 5. 分) (5 (2013?乐山一模)已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图 都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸 (单位: . cm) 可得这个几何体的体积是 ( )
x﹣1

2

A.

cm

3

B.

cm

3

C.

cm

3

D.

cm

3

考点: 由三视图求面积、体积.. 专题: 计算题. 分析: 三视图可知该几何体是由一个圆柱和半球组成的组成体, 圆柱的底面直径等于半球的 直径为 2,圆柱的高 h=1,代入圆柱的体积公式和半球的体积公式,即可得到答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得: 该几何体是由一个圆柱和半球组成的组成体 由图中所示的数据可得: 圆柱的底面直径等于半球的直径为 2 则半径 R=1 圆柱的高 h=1 2 2 3 ∴V 圆柱=π R h=π ×1 ×1=π cm V 半球= πR=
3

cm

3

故该几何体的体积 V=π +

=



故选 C. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状 是解题的关键. 6. 分) (5 (2013?乐山一模)已知锐角 θ 的终边上有一点 P(sin10°,1+sin80°) ,则锐 角 θ =( ) A.85° B.65° C.10° D.5° 考 任意角的三角函数的定义.. 点: 专 三角函数的求值. 题: 分 由任意角的正切函数的定义可得 tanθ = ,利用同角三角函数的基本关系、 析: 两角和的正切公式化简为 tan85°,由此求得锐角 θ 的值. 解 解:∵已知锐角 θ 的终边上有一点 P(sin10°,1+sin80°) ,由任意角的正切函数的 答: 定义可得 tanθ = = = =

=

=tan(45°+40°)=tan85°,

∴锐角 θ =85°, 故选 A. 点 本题主要考查任意角的正切函数的定义,同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式 评: 的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.
3

7. 分) (5 (2013?乐山一模)如图,在三角形 ABC 中,BE 是 AC 边上的中线,O 是 BE 边的中 点,若 = , = ,则 =( )

A.

+

B.

+

C.

+

D.

+

考点: 向量加减混合运算及其几何意义.. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出. 解答: 解:∵在三角形 ABC 中,BE 是 AC 边上的中线,∴ ∵O 是 BE 边的中点,∴ ∴ = = , .



故选 D. 点评: 熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键.

8. 分) (5 (2013?乐山一模)已知不等式组

,表示的平面区域的面积为 4,点 P(x,

y)在所给平面区域内,则 z=2x+y 的最大值为( A.3 B.5 C.6 考点: 简单线性规划.. 专题: 计算题. 分析: 先画出满足约束条件

) D.7

的平面区域,利用平面区域的面积为 4 求出 a=2.然

后分析平面区域里各个角点,然后将其代入 2x+y 中,求出 2x+y 的最大值 解答: 解:满足约束条件 的平面区域如图

所以平面区域的面积 S= ?a?2a=4? a=2,

4

此时 A(2,2) ,B(2,﹣2) 由图得当 z=2x+y 过点 A(2,2)时,z=2x+y 取最大值 6. 故选 C.

点评: 本类题是解决线性规划问题,本类题常用的步骤有两种:一是:由约束条件画出可行 域,求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证,求出最优解.二 是:画出可行域,标明函数几何意义,确定最优解. 9. 分) (5 (2013?乐山一模)在数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2(n∈N ) 则 a10 为( , A.34 B.36 C.38 D.40 考点: 数列递推式.. 专题: 计算题. 分析: 先根据地推关系得到
*



,再由

可求出 a10 的值. 解答: 解:∵nan+1=(n+1)an+2∴

∴ =2[( )+( )+?+(1﹣ )]+2=

a10=38 故选 C. 点评: 本题主要考查数列的递推关系式,考查综合观察和转化能力.

10. 分) (5 (2013?乐山一模)函数 f(x)= =2,则 a 的所有可能值为( )

,满足 f(1)+f(a)

5

A. 1或

B.



C.1

D.

1 或﹣



考点: 运用诱导公式化简求值.. 专题: 计算题. 分析: 依题意,可求得 f(1) ,由 f(1)+f(a)=2 可得 f(a) ,利用 f(x) = 解答: 解:∵f(x)= ∴f(1)=e =1,又 f(1)+f(a)=2, ∴f(a)=1; 2 ∴当﹣1<a<0 时,f(a)=2sinπ a =1, ∴a = 或 a = , ∴a=﹣ 或 a=﹣
a﹣1 2 2 0

,即可求得 a 的所有可能值.





当 a≥0 时,e ∴a=1.

=1,

综上所述,a=﹣

或 a=﹣

或 a=1.

故选 D 点评: 本题考查函数解析式的应用,考查分析、运算能力,属于中档题. 11. 分) (5 (2013?乐山一模)函数 f(x)=﹣(cosx)1g|x|的部分图象是( A. B. C. D. )

考点: 函数的图象.. 专题: 计算题;函数的性质及应用. + 分析: 先利用函数 f(x)=﹣(cosx)1g|x|的奇偶性进行排除,再对 x→0 时的函数符号判 断即可. 解答: 解:∵f(x)=﹣(cosx)1g|x|, ∴f(﹣x)=﹣[cos(﹣x)]1g|﹣x|=﹣(cosx)1g|x|=f(x) (x≠0) , ∴函数 f(x)=﹣(cosx)1g|x|为偶函数,故其图象关于 y 轴对称,可排除 B,D; + 又当 x→0 时,cosx>0,1g|x|<0, + ∴当 x→0 时,f(x)=﹣(cosx)1g|x|>0,故可排除 C; 故选 A.
6

点评: 本题考查函数的图象,着重考查函数的奇偶性与单调性,属于基础题. 12. 分) (5 (2013?乐山一模)设 f(x)是一个三次函数,f′(x)为其导函数,如图所示 的是 y=x?f′(x)的图象的一部分,则 f(x)的极大值与极小值分别是( )

A.f(1)与 f(﹣1) B.f(﹣1)与 f(1) C.f(﹣2)与 f(2) D.f(2)与 f(﹣2) 考点: 函数的单调性与导数的关系;函数最值的应用.. 分析: x<0 时,f′(x)的符号与 x?f′(x)的符号相反;当 x>0 时,f′(x)的符号 当 与 x?f′(x)的符号相同,由 y=x?f′(x)的图象得 f′(x)的符号;判断出函数 的单调性得函数的极值. 解答: 解:由 y=x?f′(x)的图象知, x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0;x∈(﹣2,2)时,f′(x)≤0;x∈(2,+∞) 时,f′(x)>0 ∴当 x=﹣2 时,f(x)有极大值 f(﹣2) ;当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2) 故选项为 C 点评: 本题考查识图的能力;利用导数求函数的单调性和极值; .是高考常考内容,需重视. 二、填空墨:本大题共 4 小题;每小题 4 分.共 16 分.把答案填在题中横绞上. 2 13. 分) (4 (2013?乐山一模) 已知命题 p: “? x∈[1, 2], x ﹣a<0 成立”, 使 则¬p 是 2 ? x∈[1,2],x ≥a .



考点: 特称命题;命题的否定.. 专题: 阅读型. 分析: 本题中的命题是一个特称命题,其否定是全称命题,依据特称命题的否定书写形式写 出命题的否定即可 2 解答: 解:命题 p:“? x∈[1,2],使 x ﹣a<0 成立”, 2 其¬p 是:? x∈[1,2],x ≥a, 2 答案为: x∈[1,2],x ≥a :? 点评: 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则,全称命题 的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的变化. 14. 分) (4 (2013?乐山一模)复数 z 满足等式(2 一 i)?z=i,则复数 z 在复平面内对应的 点的坐标为 .

考点: 复数的代数表示法及其几何意义.. 专题: 计算题. 分析: 将所给的式子变形表示出复数 z,再分子分母同乘以 2+i 进行化简,整理出实部和虚 部,再写出复平面内对应的定的坐标.
7

解答: 解:由(2 一 i)?z=i 得,z=

=

= ,

=



则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 故答案为: .

点评: 本题考查了复数的除法运算和复数的几何意义, 对于除法运算需要分子分母同乘以分 母的共轭复数再进行化简. 15. 分) (4 (2013?乐山一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①f(1)=1;②当 0<x <1 时,f(x)>0;③对任意的实数 x、y 均有 f(x+y)﹣f(x﹣y)=2f(1﹣x)f(y) .则 f( )= .

考点: 抽象函数及其应用.. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用赋值法,x=y=0,x=y= ,即可求得结论. 解答: 解:令 x=y=0,则 f(0)﹣f(0)=2f(1)f(0) ,∴f(0)=0 令 x=y= ,则 f( )﹣f(0)=2f( )f( ) ∵当 0<x<l 时,f(x)>0,∴f( )>0 ∴f( )= 故答案为: 点评: 本题考查猜想函数,考查赋值法的运用,正确利用函数性质是关键.

16. 分) (4 (2013?乐山一模)已知 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是函数 f(x)=

的图象上的两点(可以重合) ,点 M 在直线 x= 上,且

.则 y1+y2 的值为 ﹣2 .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示.. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据题意设出 M 的坐标,结合条件代入

,利用向量相等求出 x1+x2 的值,再由

A 和 B 再函数 f (x) 的图象进行分类, 把两点的坐标代入对应的解析式进行化简求值. 解答: 解:∵点 M 在直线 x= 上,∴点 M 的坐标是( ,y) ,

8



,∴( ﹣x1,y﹣y1)=(x2﹣ ,y2﹣y) ,即



得 x1+x2=1,且 y1+y2=2y,

∵A(x1,y1) ,B(x2,y2)是函数 f(x)=

的图象上的两点(可以重

合) , ∴分两种情况求解: ①当 x1=x2= 时,y1+y2=﹣2; ②当 x1≠x2 时,y1+y2=f(x1)+f(x2) = + =

=

=

=

=﹣2,

综上得,y1+y2=﹣2, 故答案为:﹣2 点评: 本题考查了向量的坐标运算,向量相等的应用,以及分段函数求值等综合问题,考查 了分类讨论、整体思想,以及计算能力. 三、解答题:本大量共 6 小题.共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17. (12 分) (2013?乐山一模)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (x∈R,A>0,ω >0,|φ | < )的图象(部分)如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a=l,b+c=2,f(A)=1,求△ABC 的面积.

考点: 余弦定理;由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式.. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据函数的最大值得出 A=2,由函数的周期 T=4( ﹣

)=π 算出 ω =2,得

9

函数表达式为 f x) ( =2sin 2x+φ ) 最后根据当 x= ( . 从而得出函数 f(x)的解析式; (2)由(1)的函数解析式结合 f(A)=1 解出 A=

时函数取得最大值, 解出 φ =



,利用余弦定理结合题中数据算

出 bc=3(2﹣ ) ,再根据正弦定理的面积公式即可算出△ABC 的面积. 解答: (1)∵函数的最大值为 2,∴A=2 解: 又∵函数的周期 T=4( ∴ω = ∵f( ﹣ )=π ,

=2,得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ ) )=2 为函数的最大值,∴2× ,取 k=0 得 φ = ) +φ = +2π (k∈Z)

结合|φ |<

∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ (2)由(1)得 f(A)=2sin(2A+ ∵A∈(0,π ) ,∴2A+
2 2

)=1,

=
2

,得 A=
2

根据余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc(1+cos 即 1=2 ﹣2bc(1+cos
2

) ,

) ,解之得 bc= 3(2﹣

=3(2﹣ )×sin

) =

因此,△ABC 的面积 S= bcsinA=

点评: 本题给出三角函数的部分图象,求函数的表达式,并依此求三角形 ABC 的面积,着重 考查了三角函数的图象与性质、三角形的面积公式和余弦定理等知识,属于中档题. 18. (12 分) (2013?乐山一模)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB⊥BC, D 为 AC 的中点,A1A=AB=2,BC=3. (1)求证:AB1∥平面 BC1D; (2) 求四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积.

10

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证 AB1∥平面 BC1D,根据线面平行的判定定理可知只需证 AB1 与平面 BC1D 内一 直线平行, 连接 B1C, B1C 与 BC1 相交于点 O, 设 连接 OD, 根据中位线定理可知 OD∥AB1, OD? 平面 BC1D,AB1?平面 BC1D,满足定理所需条件; (2)根据面面垂直的判定定理可知平面 ABC⊥平面 AA1C1C,作 BE⊥AC,垂足为 E,则 BE⊥平面 AA1C1C,然后求出棱长,最后根据四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积 求出四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积即可. 解答: 解: (1)证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD, ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 的中点, ∴OD 为△AB1C 的中位线, ∴OD∥AB1. 分) (3 ∵OD? 平面 BC1D,AB1?平面 BC1D, ∴AB1∥平面 BC1D. 分) (6 (2)∵AA1⊥平面 ABC,AA1? 平面 AA1C1C, ∴平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC. 作 BE⊥AC,垂足为 E,则 BE⊥平面 AA1C1C, 分) (8 ∵AB=BB1=2,BC=3, 在 Rt△ABC 中, ∴四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积 = =3. , , (10 分) (12 分)

∴四棱锥 B﹣AA1C1D 的体积为 3. (14 分)

点评: 本题主要考查了线面平行的判定定理,以及棱锥的体积的度量,同时考查了空间想象

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能力,计算能力,以及转化与化归的思想,属于基础题. 19. (12 分) (2013?乐山一模)已知函数 (1)求 m 的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明. 考 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.. 点: 专 计算题;证明题. 题: 分 (1)由函数奇偶性的定义可知,f(﹣x)+f(x)=0,将 f(x)的解析式代入求解 m 析:即可. (2)先求出 f(x)的定义域,因为函数是奇函数,故只要先判断 f(x)在(0,1)内 的单调性即可,可由单调性的定义直接判断. 解 解: (1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)+f(x)=0; 答: 即 ,解得:m=1,其中 m=﹣1(舍) ; 经验证当 m=1 时, 确是奇 是奇函数.

函数. (2)先研究 f(x)在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2,则

, , 得 f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x)在(0,1)内单调递减; 由于 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以函数 f(x)在(﹣1,0)内单调递 减. 点 本题考查函数单调性的判断和证明及已知奇偶性求参数和奇偶性的应用问题, 属基本题 评:型的考查. 20. (12 分) (2013?乐山一模)济南高新区引进一高科技企业,投入资金 720 万元建设基本 设施,第一年各种运营费用 120 万元,以后每年增加 40 万元;每年企业销售收入 500 万元, 设 f(n)表示前 n 年的纯收入. (f(n)=前 n 年的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资额) (Ⅰ)从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后,该企业为开发新产品,有两种处理方案: ①年平均利润最大时,以 480 万元出售该企业; ②纯利润最大时,以 160 万元出售该企业; 问哪种方案最合算?

12

考点: 数列的应用.. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据第一年各种运营费用 120 万元,以后每年增加 40 万元,可知每年的运营 费用是以 120 为首项,40 为公差的等差数列,利用 f(n)=前 n 年的总收入﹣前 n 年 的总支出﹣投资额,可确立函数的解析式,进而可建立不等式,从而可求从第几年开 始获取纯利润. (Ⅱ)①求出年平均利润,利用基本不等式,可求此方案获利最大值的时间;②f(n) 2 2 =﹣20n +400n﹣720=﹣20(n﹣10) +1280,利用配方法,求此方案获利最大值的时间, 比较即可得出结论. 解答: 解:由题意知每年的运营费用是以 120 为首项,40 为公差的等差数列.设纯利润与年 数的关系为 f(n) , 设 . ﹣﹣﹣

﹣﹣﹣(3 分) 2 (Ⅰ) 获取纯利润就是要求 f (n) >0, 故有﹣20n +400n﹣720>0, 解得 2<n<18. 又 * n∈N ,知从第三年开始获取纯利润.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (Ⅱ) ①年平均利润 , 当且仅当 n=6 时取等号. 故

此方案获利 6×160+480=1440(万元) ,此时 n=6.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣(7 分) 2 2 ②f(n)=﹣20n +400n﹣720=﹣20(n﹣10) +1280,当 n=10 时,f(n)max=1280. 故此方案共获利 1280+160=1440(万元) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 比较两种方案,在同等数额获利的基础上,第①种方案只需 6 年,第②种方案需要 10 年,故选择第①种方案.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 点评: 本题考查数列模型,考查基本不等式的运用,考查二次函数最值的研究,解题的关键 是建立数列模型,选择适当的方法求最值.

21. (12 分) (2013?乐山一模)已知数列{an}的前 n 项和 (1)求{an}的通项公式; * (2)若对于任意的 n∈N ,有 k?an≥4n+1 成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 数列与不等式的综合;数列的函数特性;等比数列的通项公式.. 专题: 综合题. 分析: * (1)由 ,n∈N ,知 a1=3, an+1=
*



.所以

,即 an+1=3an,由此能求出{an}的通项公式. ,因为 ,由此能求出实数 k 的取值

(2)对于任意的 n∈N ,有 k?an≥4n+1 成立,等价于 是单调减数列,所以 范围.

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解答: 解: (1)∵ ∴ 解得 a1=3. ∵ ∴ 两式相减,得 an+1= ,

,n∈N ,

*

,n∈N , . ,

*

∴an+1=3an, ∴{an}是首项为 3,公比为 3 的等比数列, n * 从而{an}的通项公式是 an=3 ,n∈N . * (2)由(1)知,对于任意的 n∈N ,有 k?an≥4n+1 成立, 等价于 等价于 对任意的 n∈N 成立, ,
*



=

=

<1,n∈N+,

∴ ∴

是单调减数列, , .

∴实数 k 的取值范围是

点评: 本题考查数列与不等式的综合,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐条件,合理 地进行等价转化. 22. (14 分) (2013?乐山一模)已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣mx. (I)当 m=1 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (II)求函数 f(x)的极值; 2 (III)若函数 f(x)在区间[0,e ﹣1]上恰有两个零点,求 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (I)确定函数 f(x)的定义域,求导函数,利用 f'(x)<0,可得 f(x)的单调递 减区间; (II)求导数,分类讨论,确定函数的单调性,从而可得函数 f(x)的极值; 2 (III)由(II)问可知,当 m≤0 时,在区间[0,e ﹣1]不可能恰有两个零点;当 m

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>0 时,利用 0 为 f(x)的一个零点,结合 f(x)在[0,e ﹣1]恰有两个零点,建立 不等式,即可求 m 的取值范围. 解答: (I)解:依题意,函数 f(x)的定义域为(﹣1,+∞) , 当 m=1 时,f(x)=ln(1+x)﹣x,∴ 由 f'(x)<0 得 ,即 ?(2 分) ,解得 x>0 或 x<﹣1, ?

2

又∵x>﹣1,∴x>0,∴f(x)的单调递减区间为(0,+∞) . (4 分) (II)求导数可得 , (x>﹣1)

(1)m≤0 时,f'(x)≥0 恒成立,∴f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值.? (6 分) (2)m>0 时,由于 上单调递减, 从而 . ?(9 分) ,所以 f(x)在 上单调递增,在

(III)由(II)问显然可知, 2 2 当 m≤0 时,f(x)在区间[0,e ﹣1]上为增函数,∴在区间[0,e ﹣1]不可能恰有两 个零点. ?(10 分) 当 m>0 时,由(II)问知 f(x)极大值= 又 f(0)=0,∴0 为 f(x)的一个零点. , ?(11 分)

∴若 f(x)在[0,e ﹣1]恰有两个零点,只需

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?(13 分)

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查函数的零点,考查分类讨 论的数学思想,属于中档题.

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