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物理竞赛数学知识——微积分

第二讲 导数的应用

上讲回忆
如果你学完上一讲有隔岸观火、雾里看花的感觉,甚至有神魂颠倒、飘飘欲仙的感觉,请不要害 怕,不要彷徨,因为包括牛顿在内的大师们当年的感觉,和你们是一样一样的。也不要害怕掌握不熟, 对以后学习有什么影响,我们帮你把今后要用的东西给你准备好了:
( f (x) ? g(x)) ' ? f '(x) ? g '(x) ; ( f (x) ? g(x)) ' ? f '(x)g(x) ? f (x)g '(x) ;

( f (x))' ? g(x)

f

'(x)g(x) ? f (x)g '(x) ; g(x)2

f (g(x)) ' ?

f

'(g)g '(x) ;

(xn ) ' ? nxn?1 ; (sin x) ' ? cos x ; (cos x) ' ? ?sin x ; (ln x) ' ? 1 ; (ex ) ' ? ex x

本讲目标
在本讲讲详细介绍导数的各种应用。在练习中体会深化巩固求导的概念和运算。 洛比达法则:这是计算极限的一种常用方法,也可以用来比较小量的阶数. 函数求极值:掌握极值和最值的区别,体会能量取极值的意义。 多元函数极值和条件极值:这是导数与实际生活联系最紧密的领域。不仅物理问题,许多经济学 问题,生活问题都可以用这些方法解决。 小量展开:这是导数在物理竞赛中应用得最多的部分。小量展开体现的一种逐阶展开、通过 抓住主要矛盾来抽象物理本质的思想。在使用小量展开中注意体会小量阶数的比较与取舍的关 系。 讲义的风格与上将类似,一个类目的纯数学例题尽量只有一个,但复杂的提供自学例题课后复习 提高。
知识模块
第一部分 洛比达法则
知识点睛

有时候会遇到

0/0

型的极限式,即分子分母的极限分别为

0,例如 lim x?0

x2 ? x x3 ? 2x2

。当

x

?0

的时

候, x3 ?? x2 ?? x ,可见 x 的高阶量相对于低阶量可以忽略。对于多项式求导可以降低阶数,当阶

数降到 0 的时候,极限不再是 0,可以直接计算了。按照这条思路前人发明了洛比达法则:

lim u(x) ? lim u '(x) ;如果 limu(x) ? 0且limv(x) ? 0

x?a v(x) x?a v '(x)

x?a

x?a

我们不打算证明这个定理,只做如下说明:

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1 讲述高端的真正的物理学

如果 u(0) ? 0,u '(0) ? a ; v(0) ? 0, v '(0) ? b ,则 u(x) ? 0 ? ax ? a 。 v(x) 0 ? bx b

当然,如果分子分母的一阶导数是 0,可以继续使用洛比达法则,直到不再是 0/0 型为止。
例题精讲

【例1】 利用洛比达法则计算下列极限:

lim
x?0

1? x x

?1

;

lim
x?0

1?

cos x2

x



lim
x?0

ex

?1? x2

x



lim
x?0

tan

x ? sin x3

x



[解析] 1 , 1 , 1 , 1 2222

第二部分 函数的单调性和极值
知识点睛
如果函数在某点切线斜率为正,导数大于 0,则显然在这个点附近函数是增函数,反之如果函数 在某点切线斜率为负,导数小于 0,则在这个点附近函数是减函数。利用求导数的办法可以判定函数 的增减性。在画复杂函数图像的时候可以先画一个特殊点,然后判定函数的增减性,从而画出函数的 大致形状。

如果一个连续的可导函数在开区间 (a, b) 上有最大
y
值,则在函数取最大值 x0 那一点,一定型如下图,最大

值在一个“山包的顶上”。这一点的切线显然是 0,换句

x0
0

话说这一点的一阶导数为 0。如若不然,设 f '(x0 ) ? 0 ,
x
则 f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ;设 f '(x0 ) ? 0 ,则

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ,均与函数在 x0 那一点取最大值矛
y
盾。同理,如果一个连续的可导函数在开区间 (a, b) 上有

x0

x1

0

最小值,则函数取最大值 x0 那一点一阶导数为 0。注意,
如果给定的是闭区间,则还有另一种可能性:函数的最 x 大最小值在边界取到。这时候并不能得出结论:最大最
小值点的一阶导数为 0。 反过来,如果函数一阶导数为 0,并不意味着函数取
最大最小值。如图所示。虽然在 x0 点导数为 0,让函数

站在一个山头上,但是一山更比一山高, x1 的函数值更大。山头的点虽然不是最大值,但是也确实不
用于其他点。我们把一阶导数为 0 的点叫做函数的极值点。当两阶导数大于 0 的时候叫做极小值,两

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2 讲述高端的真正的物理学

阶导数小于 0 的时候叫极大值,两阶导数等于 0 的时候可能是极大值,可能是极小值,也可能什么都 不是。
总结一下:求函数极值点只需要令其一阶导数等于 0;闭区间求有界函数最大值,需要先找出所 有极值点,然后找出边界点,比较这些点函数值,最大的是最大值;开区间求有界函数最大值,需要 先找出所有极值点函数值,然后找出边界上的函数的极限值,比较这些值,如果边界极限最大,则开 区间内无最大值,否则是最大的那个极值点。
举一个物理中的例子。在保守力(例如重力、弹力等只和位置有关的力)的作用下,物体平衡的 位置就是势能取极值的位置。比如用一根劲度系数为 k 弹簧吊着一个质量为 m 的物体,用 x 代表弹簧 的伸长量。这样可以把系统的势能写成 x 的函数。假设在一个外力作用下物体缓慢的从 x 移动到了

x ? dx ,这段时间内外力(令 dx 方向为正方向)做的功是 dW ? F外dx 。由功能原理得到:势能变化

dE p

?

dW

?

F外 dx

。重力与弹力的合力应当与保持平衡的外力相反,所以 F

?

?

dE dx

。这就是势能和

对应的力之间的一般公式。现在令 x 为竖直向上方向。于是有 E(x) ? 1 kx2 ? mgx ,显然有 2

F ? ? dE ? kx ? mg 。当 E 取极值时 F ? ? dE ? 0 ,正是所期待的力平衡方程。如果 E 是极大值,

dx

dx

则是不稳定平衡,如果 E 是极小值则是稳定平衡。

例题精讲
【例2】 判定下列函数在其定义域内是否有极值,求出极值并说明是否极大值、极小值。
y ? x2 ; y ? x2 ? 1 ; y ? x ? 2sin x ; y ? x3 , y ? 1? x2 x
【答案】 1 极小:x=0,y=0
2 极小: x ? 2?1/3 , y ? 3 ? 2?2/3 3 极小: x ? ? / 3? 2n? ,极大: x ? ?? / 3? 2n? 4 极值: x ? 0 ,不是极大也不是极小 4 极大: x ? 0, y ? 1

【例3】 求下列函数在各自区间上的最大值和最小值(自学)
y ? x2 ? 1 , x ? (??, ?1] [1, ?) ; y ? x2 ? ax4, x ? (??, ?), a ? R ; x
【答案】 1 极值点:极小: x ? 2?1/3 ,不在区间内。边界点 x ? 1, y ? 2; x ? ?1, y ? 0 ;由于函数连 续,有下界无上界,所以有最小值点,就在是边界取到: x ? ?1, y ? 0
2 极值点: 2x ? 4? x3 ? 0 , x ? 0; x ? ? ?1 / 2? (? ? 0) ? ? 0 时 x ? 0, y ? 0 为最小值
? ? 0时 x ? ? 1 / 2? 为最小值

【例4】 一个弹性绳套质量为 m ,劲度系数为 k ,原长为 L ,保持水平地套在顶角为 2? 的光滑圆锥

上。求平衡时候绳套距离顶点高度。已知弹簧的弹性势能为

Ep

?

1 2

kx2

,x

是弹簧的伸长量。

【解析】

mg

L

h ? 4? 2k tan2 ? ? 2? tan?

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3 讲述高端的真正的物理学

【例5】 两质量为 M 的小球用劲度系数为 k 的弹簧连接,平衡时弹簧压缩量为 x,计算弹簧的原长, 并在弹簧方向上讨论平衡的稳定性(例 6 过度题,主要例 6 的数学计算容易分散初学者注意 力)。

【解析】 GM 2 ? kx,所以 r2

GM 2 ?r
kx

【例6】 光滑的半径为 R 的圆环固定在竖直平面内。取一根原长为 R 的劲度系数为 k 的轻弹簧,从上 方顶点连到一个质量为 m,套在圆环上的小球上。问系统的平衡位置,并讨论是否为稳定平 衡。
【解析】 稳定

【例7】 两个星体质量为 M 固定在相距 L 的位置,求两星体中垂线上一点,质量为 m 物体受到引力
最大的一点位于什么位置。

【解析】 F ? 8GMm cos2 ? sin ? ? 8GMm(1 ? sin 2 ? ) sin ?

L2

L2

求导,知道在 tan? ? 2 有极大值。 2

第三部分 偏导数与条件极值
知识点睛
物理代表着一种思考与处理问题的方式:观察现象,提出一个模型解释问题;如果不同问题模型 有共同点,那么就可以总结出经验公式甚至定律或者原理。熟练掌握了这样建模解模的能力,不仅能 处理物理问题,各类实际生活相关的问题都能触类旁通。特别是到了当代,物理学在经济学中的影响 越来越大,摩根大通等大财团纷纷开始雇用具有物理背景的专业人士从事风险管理等工作。
日常生活中以至于经济学中,需要的函数经常关于几个变量的同时变化,例如矩形面积 S ? ab ,
这时候叫 S 是关于 ab 的二元函数 S (a, b) 。固定其中一个变量 b 为常数,则函数退化为一个一元函数:

F (a) ? S (a, b) |b?b0 。对着这个一元函数求导数,结果叫做 S (a, b) 对 a 的偏导数,记为

?S ?a

?

lim
?a?0

S(a

?

?a, b) ?a

?

S (a, b)

,有时候也简记为 ?a S

。同理定义

?S ?b

?

lim
?b?0

S (a, b

?

?b) ?b

?

S (a, b)



对于二元函数可以形象的观察其几何意义:函数图象是在一个二维平面上画出的一个地形图。固定一

个变量 b ? b0 ,相当于用 b ? b0 这个面去截这个图形得到的曲线。
多元函数求极值的方法和一元函数很类似。把一个变量作为自变量,其它变量当常数,得到一个 一元函数,求导数。联立求解对所有变量的求导数得到的方程后解得的点叫做稳定点。可以证明,如 果极值点存在,则一定在稳定点上。
实际情况还可能对些自变量有限制条件,例如另矩形周长为常数 L ? 2a ? 2b ? C 。这种情况叫

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4 讲述高端的真正的物理学

做条件极值。条件极值的一般方法是拉格朗日乘值法:
需要求极值的目标函数是: G(x1, x2...xn )
限制条件 F1(x1, x2...xn ) ? 0
设一个参数 ? 然后构造新的目标函数 I ( x1, x2...xn , ?1, ?2..., ?s ) ? G(x1, x2...xn ) ? ?F (x1, x2...xn )
然后对新的目标函数求 x1, x2...xn 求偏导数,和限制条件一起联立得到的方程的解就是稳定点。
然后综合判断边界条件决定最值的位置。
如果限制条件有 s 个,类似的设 s 个参数 ?i ,造出新的目标函数
? I (x1, x2...xn , ?1, ?2..., ?s ) ? G(x1, x2...xn ) ? ?i Fi (x1, x2...xn ) ,再求偏导数即可。
i
例题精讲
【例8】 求下列多元函数的偏导数
F (x, y) ? xey ; F (x, y) ? cos(x2 ? y2 ) ; F (x, y) ? x y 【解析】1、 ?x F (x, y) ? ey ; ?yF(x, y) ? xey
2、 ?x F (x, y) ? ? sin(x2 ? y2 )?x (x2 ? y2 ) ? ?2 sin(x2 ? y2 )x ; ?x F (x, y) ? ?2 sin(x2 ? y2 ) y 3、 ?x F (x, y) ? yx y?1; ?yF(x, y) ? ln x ? xy
【例9】 求下列多元函数的稳定点
F (x, y) ? x2 ? xy ? y2 ? 2x ? y ? 2 ; F (x, y) ? cos(x2 ? y2 )
【解析】1、 ?xF (x, y) ? 2x ? y ? 2 ? 0 ; ?xF (x, y) ? x ? 2 y ?1 ? 0 ;
解得: x ? ?1; y ? 0 ,所以极值点为 (?1,0)
2、 ?x F (x, y) ? ? sin(x2 ? y2 ) ? 2x ? 0; ?yF(x, y) ? ?sin(x2 ? y2)? 2y ? 0;
联立得到 x2 ? y2 ? n? ; n ? N 。即到原点距离为 n? 的点都是稳定点。
【例10】 造一个有底无顶的圆柱形水桶,保持体积一定的时候表面积最小。问圆柱的高与底面半径的 比例应为多少。
【解析】解得: r ? h

【例11】 范德华气体。 考虑到分子间距较远时分子之间有吸引力,以及气体分子有体积,两个效应叠加,理想气体方程

pVmol

?

RT

被修改成为 ( p

?

a Vmol

2

)(Vmol

? b)

?

RT

,其中 a,b 是与气体性质有关的两个参数,此方程被称

为范德华方程。这个方程比理想气体状态方程更为接近真实气体。其等温线如图所示。可以发现当温

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度小于一定值Tc 的时候,等温线变得不再是单调函数。求出 Tc p

A

pc ,Vc

D B

CE F

Tc Vmol

【例12】 阿兹卡板的囚徒(选讲) 两个食死徒被抓了。奥罗门干的第一件事情就是隔离,让他们老死不再相见。他们俩面临着 是否招供和被判刑的问题。表格内的两个数分别表示 A、B 二人会被判刑的年数:(A 被判年 数,B 被判年数)。假设二者都足够理性,可以选择招或者不招。 为了迫使两人都招供,政府给出了如下左表的承诺。问二人会做什么选择。

B



不招



(8,8) (10,1)

A

不招

(10,1) (2,2)

[解析] /* 段子 纳什均衡 年轻的男性数学、物理工作者要做点成就出来,动力往往跟女人有关。纳什这家伙 也不例外。纳什很有才,二十多岁就当上了教授,但是还是单身。一天他和一群狐朋狗友一起去酒吧 喝酒,看见了一位漂亮 mm,于是大家都想搭讪。别人都在想怎样搭讪才能成功,此时纳什的天赋表 现出来了:他想,如果大家一拥而上一起搭讪,mm 必然愤怒,大家都失败;如果让一个人搭讪,其 他人帮腔,成功概率就会大得多,然后每次去酒吧大家轮流来,每人都有好处。由此出发他提出了著 名的纳什均衡理论,大体意思是说每人都以自己利益最大化为标准,最后团体必然会形成一个稳定的 策略。然后呢…然后纳什就疯了…直到几十年后他被授予了诺贝尔经济学奖才好一点。具体的情况推 荐大家看《美丽心灵》,不看人生不完整*/
考虑 A。他先假设从 B 招,那么招是 8 年,不招 10 年;假设 B 不招,招是 1 年,不招 2 年。可 见,不论 B 策略如何,A 一定选择不招。同理可以分析 B 也一定不招。所以最后二者一定会选择都招 供。虽然他们都选择不招会使得二者利益都上升。

[变化] 情况二

某法官为了摧残二人的心智,给出了右表的承诺。问二人会做什么选择?如果两人都以一定概率选择

招,问最后二者选的概率是什么?

B

A



不招



(9,6) (8,2)

不招

(5,5) (7,5)

先解释期望。例如赌钱,50%可能输 10 块,50%概率可能赢 18 块,则赌一次收到钱的平均值则 是:

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50%? (?10) ? 50%?18 ? ?1,受益的平均值就叫做期望。

如果还是延续第一问的情景,限制两人只能招或者不招,结果发现他们可能取在右上的位置,也

可能在左下的位置。纠结了。

设主犯选择概率 p 招供,从犯选择概率 q 招供。这样最后各种情况发生概率如图:

A B



不招



pq (9,6)

(1? p)q (8,2)

不招

p(1? q)(5,5) (1? p)(1? q) (7,5)

最后 A 被判年限的期望值为: F( p) ? 9 pq ? 8(1? p)q ? 5 p(1? q) ? 7(1? p)(1? q)

最后 B 被判年限的期望值为: G(q) ? 6 pq ? 2(1? p)q ? 5 p(1? q) ? 5(1? p)(1? q)
由于 A 和 B 都足够理性,他们一定会选择函数的极值:
dF ( p) ? 9q ? 8q ? 5(1? q) ? 7(1? q) ? 3q ? 2 ? 0 dp

dG(q) ? 6 p ? 2(1? p) ? 5 p ? 5(1? p) ? 4 p ? 3 ? 0 dq
最后解得: p ? 2 , q ? 3 34
这个结果应当这么理解:两人都为自己考虑,而且知道对方也只为自己考虑,结果计算出每人都能够 计算出两人的概率。

【例13】 寡头模型(选讲)
假设有两个商家生产和销售同一种产品。产品的成本为 c ? 2 ,商家有足够的生产能力,他 们产量为 q1, q2 。总产量为 Q ? q1 ? q2 ,产品价格为 p ? 8 ? q 。定义商家的利润为:
M1 ? ( p ? c)q1 , M 2 ? ( p ? c)q2 。两商家都足理性,追求利益最大化。
情景一:两商家针对定价问题,签订了一个协议,并按照协议执行定价,问他们协议中的定价会 是怎样,各获得多少利润? 情景二:如果商家都是自私的,可以自由选择是否遵守协议,自由制订价格。问他们会选择如何 制订价格,利润为多少?这时候协议是否有效? 情景三:为了保证协议的有效性,协议规定,如果一方违反协议价格,一方遵守协议价格,那么 违反协议一方须向另一方缴纳违约金。为了保证商家都遵守协议,违约金应至少为多少?

/*段子: 这个模型当然是很粗糙的。经济学相比物理学而言就是很粗糙的!!物理学透之后再学经济 学就是小儿科!!但是做金融的拿的钱是做物理的拿的钱的 n 倍!!搞物理的说搞经济的连给搞物理的 擦皮鞋都不配!!搞经济的说只要我愿意,我可以让你连皮鞋都买不起!!所以某物理学家说:经济学 的存在的意义就是使得占星术看起来不那么扯淡…实际上好多本科学物理的后来都去搞金融了*/ [解析] 情景一 由于两商家地位对等,所以应当平分天下。二者总利润为
M ? (8 ? Q ? 2)Q

令 dM dQ

? 6 ? 2Q ? 0 得到 q1

? q2

? 1.5 ,两者利润为 M1 ? M 2

?M

/ 2 ? 4.5

情景二 两商家分别的收益为

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7 讲述高端的真正的物理学

M1 ? (8 ? q1 ? q2 ? 2)q1 ; M 2 ? (8 ? q1 ? q2 ? 2)q2 令 ?q1M1 ? (6 ? q1 ? q2 ) ? q1 ? 6 ? 2q1 ? q2 ? 0 ;
?q2 M 2 ?( 6 ?q1 ?q2 ) ?q2 ?6 ?q1 ?2 q2 ;?0 解得: q1 ? q2 ? 2 ,此时两者利润为 M1 ? M 2 ? 4 ,比原先都要低
类似于囚徒困境可以画出收益与策略的图表,可见最后产量一定会变成 2。

2

1

1.5

2

1.5

4.5, 4.5

5, 3.75

2

3.75, 5

4, 4

情景三 商家二遵守协议,产量为 1.5,设商家一产量调整为 q1



M1(q1)

?

(6

?1.5

?

p1)

p1

,令

dM1(q1) dq1

?

4.5

?

2

p

?

0 ,得

q1

?

2.25

利润为 q1 ? 5.0625 ,比遵守协议多 ?q ? 0.5625 ,可见违约金至少为 0.5625

[变化] 成本为 c,生产能力足够,价格由商家决定,而顾客根据价格是否购买。顾客购买量商家 1 产
品的量 q1 ? M / 2 ? p2 / 2 ? p1 , M ? c ,购买商家 2 产品的量 q2 ? M / 2 ? p1 / 2 ? p2 。商家的利润 定义为 Q ? q( p ? c) 。两商家都足理性,追求利益最大化。再问情景一、二、三
选讲 q1 ? M / 2 ? p2 / 2 ? p1 背后的模型:
假设每个人都对商品的价格有一个心理极限,只要价格低于这个极限就会购买,如果有两个 商品价格都小于心理极限,则会随机购买一个。再假设所有人的心理价格是从 0 到 M 均匀分布的

Q1( p1, p2 ) ? (M / 2 ? p2 / 2 ? p1)( p1 ? c)

Q2 ( p1, p2 )? (M / ?2 p1 /?2 p2 )p(2? c ) 令 ? p1Q1( p1, p2 ) ? (M / 2 ? p2 / 2 ? p1) ? ( p1 ? c) ? 0

令 ? p2Q2 ( p1, p2 ) ? (M / 2 ? p1 / 2 ? p2) ? ( p2 ? c) ? 0

解得:

p1

?

p2

?

c

?

1 (M 3

? c)

,利润 Q1

?

Q2

?

1 (M 3

? c)?

2 3

(M

? c)

1 2

?

1 (M 9

? c)2

情景二

由于两商家地位对等,所以协议中的价格一定是一样的,设为 p 。

则 Q1( p) ? Q2( p) ? (M / 2 ? p / 2)( p ? c)

令 Q1( p)

?

dQ1( p) dp

?

(M

/

2

?

p

/

2)

?(p

?

c)

/

2

?

0

得到

p

?

c

?

(M

? c)

/

2 ,利润 Q1

?

Q2

?

1 8

(M

?

c)2

情景三

如果商家 2 遵守协议价格,商家 1 的价格定义 p1

Q1

?

(M

/

2

?

(c

?

M? 2

c)

/

2

?

p1)(

p1

?

c)



dQ1 dp1

?

(M

/

2?

(c

?

M ?c) 2

/

2

?

p1)

? ( p1

? c)

?

0

,得到

3(M ? c) p1 ? c ? 8

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8 讲述高端的真正的物理学

Q1

?

9 64

(M

?

c)2 ,比按照协议获得利润多

?Q1

?

1 64

(M

?

c)2

,所以协议中违约金

至少为 1 (M ? c)2 64

巩固练习 3 某公司推出同一系列的两种产品 A, B ,单位产量成本为 cA ? 1, cB ? 1.2 ,产量为 nA , nB ,受到生产 条件限制,单位时间产量 nA ? nB ? 100 。设单位时间内销量分别为 sA , sB ,该品牌的声誉定义为 Q ? sA ? 5sB 。如果定价分别为 pA, pB ,销量预计为 sA ? 10? (1.5 ? pA ? Q / 100) , sB ? 2? (3 ? pB ? Q / 20) 。问产品应当如何定价。 【解析】 pA ? 1.25 ; pB ? 2.1
对应的声誉 Q ? 28.75;销量: sA ? 5.375 ; sA ? 4.675 ,利润 I ? 5.551

第四部分 小量展开
知识点睛
小量展开核心的想法是:多项式总是比一般函数简单的。如果能用多项式在代替原来复杂的函数, 那么问题处理起来会简单很多。这样做好处跳出具体繁复的方程,凸显物理图像。这么做的代价是我 们得到的是近似解。下面我们可以看到这样的误差是可以受到控制的,在一定条件下这样的误差是完 全可以忽略的。
如果某函数在一个区间内有左导数等于右导数(我们在物理里面见到的,看起来“正常”的函数 都满足这样的性质),这时候我们又叫原函数可导,或者可微。如果函数在 x 点可微,那么在 x 点附近, 函数图像几乎是一条直线。
f (x ? ?x) ? f (x) ? f '(x)?x ? O(?x2 )

其中 O(?x2 ) 代表 ?x 的二阶小量,也经常写为 O(2) 。n 阶小量的定义是:

lim
?x?0

O(?xn ) ?xn?1

?

0; 而

lim
?x?0

O(?xn ?xn

)

存在并不等于

0,也就是说当

x

?0

的时候,小量的阶数越

高,就越快的趋紧于 0。
显然,当取 ?x ? 0 极限的时候,高阶小量/低阶小量都是等于 0 的,计算高阶小量+低阶小量的
极限的时候,高阶小量一般可以忽略。

我们可以对导函数继续求导,只要导函数的导数存在。两次求导之后的结果叫做两阶导数,记做:

d df dx dx

?

d2 f dx2

?

f

''(x) ?

f (2) (x) ? lim ?x?0

f

'(x ? ?x) ? ?x

f

'(x)

这时候我们叫原函数两阶可导。类似的只要一个函数的 n-1 阶导数可导,则可以定义 n 阶导数,

记做

f (n) (x) ? lim f (n?1) (x ? ?x) ? f (n?1) (x)

?x?0

?x

我们不加证明的给出如下公式:如果某个函数 n 阶可导,则

f (x ? ?x) ? f (x) ? f '(x)?x ? 1 f ''(x)?x2 ? 1 f (3) (x)?x3 ? ... ? 1 f (n) (x)?xn ? O(n ?1) 这

2!

3!

n!

个公式叫做泰勒公式,当 x ? 0 时又叫做麦克劳琳公式。这个公式的基本想法是:在某一个点附近,

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9 讲述高端的真正的物理学

我们可以用一个多项式来拟合原函数,多项式的系数由函数在那一点的导数决定。也就是说某一点的 各阶导数实质上包含了附近其它点函数值的信息。用 n 次多项式拟合原函数,这样做的误差是一个 n+1 阶小量。
例如,对 f (x) ? ex 在 x ? 0 点处做展开:
f (x) ? ex ; f '(x) ? ex ; f ''(x) ? ex... f (n) ? ex ;
x x3 x4 x5 f (x) ? 1? x ? ? ? ? ? ...
2 6 24 120
我们把1叫做 ex 的 0 阶近似,也叫 0 阶泰勒展开;1? x 叫做 1 阶;1? x ? x2 叫做二阶,以此类 2
推。下面给出 ex 与其 0-3 阶近似的对比图。可以形象地看见,随着近似阶数上升,泰勒展开逐步
逼近原函数。

也可以这么理解这个公式,函数某一点的高阶导数,包含了其附近函数值的信息。当函数的高阶 导数存在,并且在所需要逼近的区域内有“良好的定义”(比如连续、可导、有界),泰勒展开的结果 总是逼近原函数的。但是当考虑的区域越过函数的发散点时,泰勒展开就往往不成立了。例如函数
f (x) ? 1 ,在 x ? 0 点附近展开时,泰勒展开是成立的。但是考虑的区间扩大到 x ? (?2, 2) ,即越 1? x
过 x ?1这个奇点时,泰勒展开的结果就显得荒谬了。在 x ?1 的区域,随着展开阶数的增大,展开式
反而远离目标函数。

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10 讲述高端的真正的物理学

20 15 10 5 0
0.0 -5 -10 -15 -20

f(x)=1/(1-x)

0.5

1.0

5阶
4阶 3阶 2阶 1阶 0阶 1.5

当我们考虑物理问题的时候,实际过程往往是繁复而杂乱的。为了突现主要矛盾,抽象出明晰的

物理图象,近似是一定需要的。其中一种近似方法就是基于泰勒展开。先考虑主要的、简单的效应,

然后把剩余的部分作为小量,逐阶加入方程求解。这样的方法叫做微扰。例如在计算炮弹的轨迹的时

候,先不考虑空气阻力,这样解出来是抛物线。然后用最简单的形式表达空气阻力,得到所谓弹道曲

线,然后再把空气阻力的各种修正项加上,逐渐逼近真实结果。微扰论是 20 世纪上半叶之前处理复

杂体系最为有效的方法,几乎在物理学的每个分支中都有应用。然后随着物理学的继续发展,人们逐

渐意识并不是所有问题都可以用微扰处理的。情况很类似于上面的例子,当函数越过一个奇点,量的

积累引发质的变之后,泰勒展开就不再收敛了。例如湍流、斑图、强相互作用,乃至于生命都是不能

用微扰论处理的。于是人们发展了各种非微扰的办法处理这样的前沿学科。

泰勒展开在竞赛物理中的应用常常表现小量展开。在一个表达式中如果某个量 x 远小于 1,则把

整个表达式看作 x 的函数,在 x=0 处作泰勒展开,把表达式写成 0 阶+1 阶+2 阶+…的形式,然后根据

具体需要,保留一定的阶数。

实际计算中不会真的每次都求导数,下面的公式是方便的,需要熟练使用:

(1? x)n ? 1? nx ? n(n ?1) x2 ? O(3) 2

90%的题目是用这个公式展开到第一阶。一定要记住!!!

ex ? 1? x ? x2 ? O(3) 2

sin x ? x ? x3 ? O(5) ; cos x ? 1? x2 ? O(4)

6

2

?

如图考虑一个摆长为 l 的单摆的受力情况。物体受到的合外力大小为 mg sin? ,其水平方向分量

为 Fx ? ?mg sin? cos? ,竖直方向分量为 Fy ? ?mg sin? sin? 。当单摆的摆角足够小的时候,? ??1 ,
做泰勒展开得到:

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11 讲述高端的真正的物理学

Fx ? 0 ? mg? ? 0 ? O(3)

Fy ? 0 ? 0 ? mg? 2 ? O(3)
水平方向最低阶不为零的项是一阶小量,所以保留到一阶。类比偏离平衡位置的弹簧的作用力发 现二者具有相同的形式,所以二者具有相同的运动规律,都是简协振动。竖直方向的受力最低阶不为 零的项是二阶小量,所以相比较于水平方向的运动,竖直方向可以忽略。
再考虑这个体系的势能。与平衡位置相比,体系势能的变化为:

Ep ? mgl(1? cos? )

做泰勒展开得到:

Ep

?

0?0?

1 2

mgl? 2

? O(3)

最低阶不为零的项是二阶小量,所以我们下结论:考虑单摆的时候,能量需要计算到第二阶。事

实上,平衡位置附近做周期振荡的体系,能量通常都需要算到第二阶。注意:对于周期振荡的系统,

描述体系的变量(例如? )和其对时间的一阶导数(例如 d? ,通常用? 表示)是同阶的小量。所以 dt
体系的动能写出来:

Ek

?

1 2

mv2

?

1 2

ml 2? 2

也是二阶小量。

我们现在做的一个标量函数的小量展开,有时候我们需要对一些矢量或者几何图形里的量做小量

展开。其核心想法是一样的,留下最低阶不是 0 的小量,忽略高阶的。

例如在考虑半径为 r,角速度的匀速圆周运动的时候,计算一小段时间 ?t 内物体速度的变化。实际速

度变化的大小是 2v sin ?? ,方向与初始时刻的法向夹角为 ?? 。计算加速度的时候有 a ? lim ?v ,

2

2

?t?0 ?t

??

所以只需要把 ?v 计算到一阶小量即可。把 2v sin ?? 按 ?t 展开有, 2
2v sin ?? ? 0 ? ?2r?t ? O(2) 。由于 ?v 在法向投影需要乘以 cos ?? ,切向分量需要乘以 sin ?? , 2
所以法向分量是一个一阶小量,而切向是一个二阶小量。计算瞬时加速度取极限之后,法向加速度为
? 2r ,切向加速度为 0。
【例14】求 ex ,sin x, cos x, 1 在 x ? 0 点处无穷多阶的泰勒展开 1? x
【解析】、

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12 讲述高端的真正的物理学

【例15】已知函数 1? x, a2 ? x2 , 1 , 1? x , e(x?a)2 a ? x 1? 2x
(1)使用简化的公式或求导数的办法求在 x ? 0 处一阶泰勒展开 (2)求在 x ? 0 处二阶泰勒展开(自学) 【解析】1、 f (x) ? (1? x)1/2 ? 1? 1 x ? O(2)
2

2、、

f

(x)

?

(a2

?

x2 )1/2

?

a(1 ?

x2 a2

)1/ 2

?

a(1 ?

x2 2a2

? O(2)

?

a

?

x2 2a

? O(2)

3、、 f (x) ? 1 (1? x )?1 ? 1 (1? x ? O(2)) aa aa

4、 f (x) ? 1? x ? (1? x)(1? x ? O(2)) ? 1? 0 ? O(2) 1? x ? O(2)

5、使用简化的公式 f (x) ? e(x?a)2 ? ea2?2ax?x2 ? e e a2 2ax?O(2) ? ea2 (1? 2ax ? O(2)) ? ea2 ? 2aea2 x

【例16】相对论中一个物体静止时质量为 m0,当运动时质量变大为 m ?

m0 ,并且一个物体的 1? (v)2
c

总能量满足 E=mC2,现在定义一个物体的动能为总能量减去静止时的能量,推导一个物体在

低速时(v<<C)的动能近似公式。

【提示】爱因斯坦最引人注目的贡献之一在于给出了高速运动物体的总能:E ? m0c2 。这个式 1? v2 / c2

子显然那太复杂。质疑相对论的热情洋溢的,嘴皮发达头脑简单的民间科学家们就会问,你这不是和

经典的牛顿力学里面的动能公式矛盾了吗?如果我们令物体速度 v ?? c ,做了一个神奇的小量展开之

后,上面的式子就会变得趋于这样:

E

?

m0c2

?

1 2

mv2

?

...

回归到了牛顿力学。这是物理学进化的基

本要求:新的理论一定要在解释原理论能解释的所有事实基础上,能解释或者预言新的现象,并自然

得把原理论作为新理论在某些条件下的近似纳入新的理论。

【例17】 相对论的一个检测方法是:在遥远的宇宙中经常能观察到超星的爆发(为了图简单姑且理解 为爆炸吧,实际是膨胀,会持续一段时间,本题当作瞬间爆炸),现在分析一种简单的情景:

距离地球 100 万光年以外一超新星爆发时,两片超新星爆发时的碎片,分别向着地球与反向 地球以 v=300km/s 运动,它们发出的光在如果满足类似惯性原理相对于地球的速度是不一样 的,那么在地球上看到这两碎片的光的时间间隔会很长,而实际地球上观察的超新星爆发的

观察时间与爆发的持续时间是一样的,这说明所有方向上的超新星碎片发射的光相对地球的

速度是精确一致的。计算在非相对论情况下,地球上观察到超新星爆发持续时间。

【解析】 ?t ? l ? l ? 2vl ? 2000a c?v c?v C2

? r ?r.0
【例18】大气的折射率 n 与空气密度以及距离地心距离 r 关系式为: n ? 1 ? a?0e b
式中 a 为常数, ? 0 为地球表面的大气密度, r0 ? 6400 km, b ? 8772 m, 大气折射率随高度的增加
而递减,要让我们能向前看到自己的后脑勺(不考虑光能量在空气中的损耗)即:光线能沿着地球表

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13 讲述高端的真正的物理学

面的圆弧弯曲传播,地表的空气密度应是实际密度的多少倍?已知地表空气的实际折射率
n0 ? 1.0003
【提示】微绕一下,光程(或者时间不变)

【例19】在一个半径为 R 的固态星球表面上覆盖了一层高度为 h<<R 的海洋,密度为 ?0 。发现从海底

到海面的过程中,测得的重力加速度为 g,几乎没有发生变化。求 ?0 。外有引力常数为 G 。

[解析]

?0

?

g 2? RG

【例20】一个不倒翁,底面是一个半径为 r 的球面,配重质量为 m 位于距离下方顶点高度为 h<r 的地 方。忽略配重以外的质量。讲不倒翁放在粗糙水平桌面上。问当不倒翁偏离平衡位置的角度
为? (t) 时体系的动能和势能表达式,精确到? 和? 的二阶小量。

h

y

O O’

x

C

[解析] 以原来的圆心作为坐标原点,建立平面直角坐标系。计算新的质心位置。
由于纯滚动,所以新的球心坐标为 (? r, 0)

C 相对于 O’的位置为 (?(r ? h)sin?, ?(r ? h) cos? ) ,于是 C 的坐标为

(?r ? (r ? h)sin?, ?(r ? h) cos? )

计算势能: Ep ? mgCy ? ?mg(r ? h) cos? ,展开到二阶有:

Ep

?

?mg(r

?

h)

?

mg(r ? 2

h) ?

2

?

O(3)

计算动能:x 方向位移是一阶小量,y 方向位移是二阶小量。由于周期运动速度和位移是同阶小量,

动能需要精确到第二阶,所以只需要考虑 x 方向位移到第一阶即可。

vx ? ? r ? (r ? h) cos?? ? ? h ? O(2)

动能 Ek

?

1 2

mvx2

? O(4)

?

1 2

mh2? 2

? O(3)

类比简谐振动能量表达式可以得到这是一个简谐振动,可以计算周期。

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14 讲述高端的真正的物理学

巩固练习

1 利用洛比达法则计算下列极限:

lim ln(1? x) ; lim x20e1/x (选做)

x?0

x

x?0

1

[解析] lim ln(1? x) ? lim 1? x ? 1

x?0

x

x?0 1

lim x19e1/x
x?0

x19

?

lim
x?0

e?1/

x

? lim x?0

19x18

1 x2

e?1/ x

19x20

? lim x?0

e?1/ x

所以 lim x19e1/x x?0

x20

?

lim
x?0

e?1/

x

1

x19

?

19

lim
x?0

e?1/

x

1

x18

?

19

? 18

lim
x?0

e?1/

x

1

x

?

...

?

lim 19! x?0

e?1/

x

;

而 0 ? lim e1/x ? lim eu ? 0 ,所以 lim x20e1/x ? 0

x?0 1 / x u?0 u

x?0

2 山外表面满足 y ? ?x2 ,把一质量 m ,原长 l ,弹性系数为 k 的弹簧围成一个圈套在光滑的山顶。 求静止时 y 坐标。[新增]

3.从地面将一个球踢到离为 L ,高度为 h 的门柱上,用求导数的办法计算所需的最小速度。提示公式

( cos?2 ? ? 1 ? tan2 ? )

【解析】写出 v 0 关于 tan? 的导数即可。

4 1mol 理想气体经过如下过程从 A 到 B。此过程中体系先吸热再放热。问体系放热为多少?

已知摩尔热容量为 Cv

?

3 2

R。

p / p0

A

1 1

B
V / V0

你知道吗?
分析力学简介
从十八世纪开始,在力学发展史上又出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系,即分析力学。 这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。为了避
免未知理想约束力的出现,分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的

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15 讲述高端的真正的物理学

关系,导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程-拉格朗日第一类方程。分析力学的 另一种方法是从独立坐标出发,利用纯数学分析方法,将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理 与公式进行表达,克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。这种统一的方程即拉格朗日 第二类方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于 1788 年奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析 力学,称为拉格朗日力学。1834 年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式,将 动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理,从而建立了哈密顿力学。 对于一个动力学系统,尽 管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧,但它的数学推导过程相当繁 琐,因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难,并且容易出错。利用拉格朗日第一类方 程解决系统的动力学问题,与矢量动力学的一般方法一样,尽管建立方程比较容易,但其求解规模很 大。正是由于这个原因,在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越,而 被搁置一边。
随着近代计算技术的发展,解决具有程式化特征的数学问题,规模再大也能迎刃而解。故解决动 力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。可以这样说目前在解决复杂动力学问题成功的计 算机辅助分析软件中,均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。
1788 年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在 虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合,可得到动力学普遍方程,从而导出分析力学各种系统 的动力方程。
1760~1761 年,拉格朗日用这两个原理和理想约束结合,得到了动力学的普遍方程,几乎所有 的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。
1834 年,哈密顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程,称为正则方程。哈密顿体 系在多维空间中,可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。
从 1861 年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始,到 1899 年阿佩尔在《理性力学》 中提出阿佩尔方程为止,基本上已完成了线性非完整约束的理论。
20 世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究,对于运动的稳定性问题 作了广泛的研究。
分类
分析力学又分为拉格朗日力学和哈密顿力学。前者以拉格朗日量刻划 力学系统,运动方程称为拉格朗日方程,后者以哈密顿量刻划力学系统,运动方程为哈密顿正则 方程。分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系,它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体 组成的力学系统的理想模型,例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系,质点数可 由一到无穷。又如太阳系可看作自由质点系,星体间的相互作用是万有引力,研究太阳系中行星和卫 星运动的天体力学,同分析力学密切相关,在方法上互相促进;工程上的力学问题大多数是约束的质 点系,由于约束方程类型的不同,就形成了不同的力学系统。例如,完整系统、非完整系统、定常系 统、非定常系统等。 不同的系统所遵循的运动微分方程不同;研究大量粒子的系统需用统计力学;量子效应不能忽略的 过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。分析力学对于具有 约束的质点系的求解更为优越,因为有了约束方程,系统的自由度就可减少,运动微分方程组的阶数陆 之降低,更易于求解。
课后调查 代课教师:
通过今天学习,你觉得: 1. 本讲讲义内容设置: A. 太难太多,吃不透 B. 难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C. 稍易,较轻松 D. 太容易,来点给力的

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2. 本节课老师讲解你明白了: A .40%以下 B .40%到 80% C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了
3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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