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2016-1-数模选修课-动态模型_图文

动态模型
北京理工大学 王宏洲

1、动态模型的适用范围
? 研究对象的特征,会随时间/空间的变化而变化,这种变化可以是连续 的,也可以是不连续的——微分/差分方程

比如,问题中涉及到: (1) 物体的运动、振动、受力形变 (2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化 (3) 物质、能量的扩散、传递 (4) 消费品在市场上的销售过程 (5) 信息的扩散与传播

2、微分方程模型的分析方法
比如,问题中涉及到:(1) 物体的运动、振动、受力形变;(2) 生物(动植 物、微生物)的数量变化或密度变化;(3) 物质、能量的扩散、传递;(4) 消费品在市场上的销售过程;(5) 信息的扩散与传播。 导弹的运动轨迹测算,运动目标的跟踪与拦截;高层建筑、桥梁的防震、 防强风设计;桥梁、微型手术器械的形变与控制,弹性杆受力形变 自然环境中植物的生长,两种或多种生物之间的相互依赖、促进,食物 链问题;动植物、微生物在环境中的扩散与增长;传染病的传播与控制 粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积,化学反应过 程的描述,热量在同种或不同物质间的传导
如果研究的是事物在一段时间内的变化情况,或者说在这个过程中发生了什 么————微分方程的求解和求数值解 如果研究的是事物未来的发展趋势,稳态情形,或者无法/无须获得精确的解— ———可以利用微分方程几何理论

3、建立微分方程模型的依据
随着时间/空间的变化,问题中的某些指标的变化速度或加 速度,与另外一些指标的数值或速度、加速度呈现比例关系, 或其他的简单函数关系,则可以据此建立微分方程模型。

x(t ? ?t ) ? x(t ) ? c ? ?t ? x(t ) x' ( t ) ? c ? x(t ) x?(t ) ? ? px(t ) ? qy(t ) y?(t ) ? px(t ) ? qy(t )
建立微分方程模型时,需要注意: (1) 守恒定律; (2) 欲得解析解,尽量简化方程; (3) 掌握微分方程几何理论,用于定性讨论; (4) 差分方程模型,可粗略转化为微分方程; (5) 微分方程方法更适合做定性讨论或精度要求不高情形。

4、案例-消费品在市场上的销售过程
新产品入市之后,如果对销量进行预测?或者说,如何描述 新产品占领市场的过程? 设需求量有一个上界,并记此上界为K, 记 t 时刻已销售出的产品数量为x(t),则 尚未使用的人数大致为K-x(t),则基于 阻滞增长模型,可以认为: 记比例系数为k:

dx ? x( K ? x) dt
dx ? kx( K ? x ) dt

研究机构预测某种商品近期的销量时,一般采用线性估计办 法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量,则可以 采用上面的形式。

在预测商品的销量时,连续性模型一般不便于使用, 采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。
dx( t ) x ? r (1 ? )x dt N

yk yk ?1 ? yk ? ry k (1 ? ) ? ?t , k ? 0,1,2,? N r y k ?1 ? ( r ? 1) y k (1 ? yk ) ( r ? 1) N

如果考虑更复杂一些的情形,比如部分早期用户更新 对销量的影响,可以采用时滞微分方程。

考虑早期用户更新的因素,可以采用时滞微分方程。
dx( t ) x ? r (1 ? )x dt N

y k ?1

yk ? y k ? ry k (1 ? ), k ? 0,1, 2, ? N

y k ?1

r ? ( r ? 1) y k (1 ? yk ) ( r ? 1) N

dx (t ) x(t ) ? r (1 ? ) x(t ) ? ?x(t ? ? ) dt N
k ?1 r yk ?1 ? (r ? 1) yk (1 ? yk ) ? ? ? j y j (r ? 1) N j ?0

搜集数据,计算方程中的参数,即可得到销量的递推 公式

求解时滞微分方程
dx( t ) ? x ( t ? 1) 求解需要初始条件! x(t ) ? sint , t ? [?1,0] dt

t ? [0,1], x( t ) ? ? x( s ? 1)ds ? ? si n( s ? 1)ds
0 0

t

t

1 ? t ? 2, x( t ) ? ? x( s ? 1)ds ? ? sin( s ? 1)ds ? ? x( s ? 1)ds
0 0 1

t

1

t

已知过去一段时间的情况,希望了解将来。

dx( t ) ? x ( t ? 1) 求解需要初始条件! x(t ) ? sint , t ? [0,1] dt
根据已知的数据,推算过去发生了什么。

5、微分方程定性分析方法简介
不求解,直接分析解的一些性态。
dx( t ) ? x 3 ( t ) ? 2 x( t ) ? x(t )( x 2 (t ) ? 2) dt
x

2
2 3
t

x??(t ) ? 4 x?(t ) ? 2 x(t )
y

? x?(t ) ? y(t ) ? ? y?(t ) ? 2 x(t ) ? 4 y(t )

x

2x + 4y = 0

6、稳定性模型
? 希望知道时间充分长以后会如何,即研究事物最

终的发展趋势。
比如,前面提到的: (1) 物体的运动、振动、受力形变——极限是什么? (2) 生物(动植物、微生物)的量变或密度变化——稳定状态? (3) 物质、能量的扩散、传递——均衡状态是怎样的? (4) 消费品在市场上的销售过程——市场容量是多少? (5) 信息的扩散与传播——最大影响范围是什么? (1) 运动状态稳定下来之后 会是什么情形?长期受力的 结果是什么? (2) 对生态系统放任自流, 或者加以干涉,最终会导致 什么后果?

比如,前面提到的: (1) 物体的运动、振动、受力形变 (2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化 (3) 物质、能量的扩散、传递 (4) 消费品在市场上的销售过程 (5) 信息的扩散与传播 (3) 如果不断有物质或能量 的补充,那么最终物质和能 量的分布情况如何? (4) 商品不断销售,用户也 会报废旧品,最终稳定下来 的市场销量会是多少?

(5) 如果对信息的扩散与传播加以干涉,那么信息最后的分 布情况如何?

考虑各种因素的微分方程建模
北京理工大学 王宏洲

1、指数增长模型
基本假设 : 种群(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻 t 的种群数量

x(t ? ?t ) ? x(t ) ? r ? x(t ) ? ?t

dx ? rx , x(0) ? x0 dt

x(k ? 1) ? x(k ) ? rx(k )

x(t ) ? x0 e r t x(t ) ? x0 (e )
rt

? x0 (1 ? r )

t

随着时间增加,种群按指数规律无限增长

2、阻滞增长模型(Logistic模型)

dx ? rx , x(0) ? x0 dt

资源、环境等因素对种群增长有阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数

假设

r ( x) ? r ? sx (r, s ? 0)
r s? xm

r ~固有增长率(x很小时)

xm~人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)

r ( xm ) ? 0

x r ( x) ? r (1 ? ) xm

阻滞增长模型(Logistic模型)
dx ? rx dt
dx/dt

dx x ? r ( x) x ? rx(1 ? ) dt xm
x xm

xm/2

0

xm/2

xm x

x0

0

t

x (t ) ?

xm xm ? rt 1? ( ? 1)e x0

x(t)~S形曲线, x增加先快后慢

3、考虑外界突发干扰
突发的外界干扰,诸如战争、自然灾害、传染病等,对 种群规模影响很大。 虽有偶然性,但可以近似的看作有一定规律的脉冲性影 响。比如每隔若干年,江河泛滥、地震、干旱等。

x( t ) x ?( t ) ? A(1 ? ) ? x( t ), t ? t k 时; N ? ? x( t k ) ? (1 ? ? k ) ? x( t k ), t ? t k 时, k为 正 整 数 .

脉冲微分方程

3、考虑外界突发干扰
再比如人类监测发现田鼠、蝗虫多到一定数量时,会采 取大规模杀灭行动。

x( t ) x ?( t ) ? A(1 ? ) ? x( t ), x( t ) ? M时; N x( t ? ) ? (1 ? ? ) ? M , x( t ? ) ? M时.
N
10 9 8

M

7 6 5
4

3 2 1 0

t

4、考虑阶段性影响
不同年龄对人口增长的作用不同:0-17;18-40;41以上 将年龄分层考虑:

? 1 ? ? d 1 x1 ? kx1 ? bx 2 x ? 2 ? ? d 2 x 2 ? px 2 ? kx1 x ? 3 ? ? d 3 x 3 ? px 2 x
传染病问题中,人的状态变化:
健康人?病人(潜伏期)?病人(已发现)?移出者(免疫)

5、考虑时滞影响
计算机通常五年报废购买新机

dx x ? rx(1 ? ) dt xm

dx x ? rx (1 ? ) ? px( t ? ? ) dt xm

考虑到不到5年,也有损坏的设备;满5年的设备,也有继续 使用的
t dx x ? rx(1 ? ) ? ? p( s ) x( s )ds 0 dt xm

6、长期演进:稳定性态

时间充分长会如何?事物最终的发展趋势。 比如,商品的价格与其价值的变化关系;食肉动物 与草食性动物数量的变化规律;侵入人体的病菌与 白血球的数量变化关系;投入一粒石子的池塘水面 振幅变化规律。

dx x ? r ( x) x ? rx(1 ? ) dt xm

x xm

xm/2 x0

0

t

dx 2 ? ?x ? f (t , x) dt

? 是已知的常数时,可以分 析其几何性态;当 ? 变化时,
方程或方程组的几何性态会 发生怎样的变化?

x

t

事物发展的稳定与不稳定
事物的某些特征

时间

这些现象在现实中都有实用背景和研究价值

差分方程建模
北京理工大学 王宏洲

差分方程模型的实际背景
植物有固定的 繁殖周期 多数大型哺乳动物 有繁殖周期

每年多次繁殖的啮齿类动物,也 有一定的繁殖间隔

经济运行也具有一定的阶段性:农产品、股市

1、指数增长模型
实验室培养果蝇,不考虑自然灾害、疾病、资源突然 短缺等因素的影响。另外假设: ?第n个繁殖周期,果蝇的总量为x(n); ?每个繁殖周期,果蝇以一定的比例r产生下一代; ?每个繁殖周期,果蝇有一定的比例d死亡; ?不考虑果蝇的年龄结构、性别结构等。 相邻两个繁殖周期果蝇数量变化 x(n + 1) - x(n) = r x(n) – d x(n) 求解,得到: x(n) = x(0)? (1 + r – d)n
12000 10000

8000

6000 4000

2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

按照此模型来预测,果蝇的总量将快速增加,甚至趋于无穷!

种群个体数量增多之后,增速实际上会逐渐放缓,需要 对指数增长模型做改进。

2、果蝇资源受限模型
假设 ?果蝇的繁殖率r会随着总数x(n)增加而减少; ?果蝇的死亡率d会随着总数x(n)增加而增加; ?受生存资源限制,果蝇总数不会无限制增长; ?同样不考虑果蝇的年龄结构、性别结构等。 将r设为最简单的减函数r(x) = a – b x,将d设为最简单的增 函数d(x) = p + qx,其中a、b、p、q均为非负常数。
x(n + 1) = (1 + r – d)*x(n) x(n + 1) = [A – B x(n)]*x(n) 其中 A = 1 + a – p,B = b + q 当果蝇数量较少而资源充足时,即x(n)很小时,果蝇数量必 然是增加的,即 x(n+1) > x(n),此时A – B x(n) > 1;

x(n + 1) = [A – B x(n)]*x(n) 但是当果蝇数量x(n)太大时,比如x(n) > (A – 1)/B,此时A – B x(n) < 1,于是果蝇数量将出现回落。
(A – 1)/B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

根据参数选取的不同,通解的性态会有很大差异
1 0.9
1.2 1.4

1.4

1.2

0.8 0.7 0.6 0.5
0.6 1

1

0.8

0.8

0.6

0.4 0.3 0.2
0.2 0.4

0.4

0.2

0.1 0
0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

3、考虑年龄因素
假设果蝇的生存环境始终保持稳定,而且 ?第n个繁殖周期,果蝇的总量为x(n); ?果蝇需要k个繁殖周期才能进入成年期; ?每个繁殖周期,果蝇以一定的比例r产生下一代; ?每个繁殖周期,果蝇有一定的比例d死亡; ?不考虑果蝇的性别结构等。
从第n期到第n+1期新增个体数量, 应由第n-k个周期时的种群总量决定. x(n + 1) - x(n) = r (1 - d)k x(n - k) - d x(n).

4、考虑性别因素
假设果蝇的生存环境始终保持稳定,而且 ?第n个繁殖周期,果蝇的总量为x(n); ?果蝇中雌性的比例为s; ?每个繁殖周期,雌性果蝇以一定的比例r产生下一代; ?每个繁殖周期,果蝇有一定的比例d死亡.

从第n期到第n+1期新增个体数量,应由第n个周期时的雌性 果蝇的数量决定。 x(n + 1) - x(n) = s*r*x(n) - d x(n).

5、结合考虑成熟周期与性别因素
假设果蝇的生存环境始终保持稳定,而且 ?第n个繁殖周期,果蝇的总量为x(n); ?果蝇中雌性的比例为s; ?果蝇需要k个繁殖周期才能进入成年期; ?每个繁殖周期,雌性果蝇以一定的比例r产生下一代; ?每个繁殖周期,果蝇有一定的比例d死亡; ?不考虑果蝇的性别结构等。 成熟周期:x(n + 1) - x(n) = r (1 - d)k x(n - k) - d x(n). 性别结构:x(n + 1) - x(n) = s*r*x(n) - d x(n).

x(n + 1) - x(n) = s*r*(1 - d)k x(n - k) - d x(n).

6、考虑突发因素
以田鼠为例,假设 ?第n年,鼠总量为x(n); ?每年鼠以一定的比例r产生下一代; ?每年鼠有一定的比例d死亡; ?城市每5年举行灭鼠运动杀灭90%, 草场鼠数量超过2万只时人为灭杀90%; ?不考虑鼠的年龄结构、性别结构等。 x(n + 1) - x(n) = r x(n) – d x(n) –T(n)· 0.9· x(n)
12000000

?1, n ? 5k , k ? 0,1,2,? T(n) = ? ?0, 其它

10000000

8000000 6000000

4000000

2000000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

如果采取监控,发现数量达到一定程度就采取杀灭措施,可 以建立如下差分方程模型: x(n + 1) - x(n) = r x(n) – d x(n) –S(x(n))· 0.9· x(n)

?1, x(n) ? 20000 S(x(n)) = ? ?0, x(n) ? 20000
30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

7、考虑年龄结构的种群
生物不同年龄层次的死亡率各有不同,而且产生下一代的 作用也不同。以一种五年生河虾为例,成年虾直接孵化出 幼虾,幼虾一年后即成年可以产卵,五龄虾产卵之后会迅 速死亡。

假设: ① 第n年幼虾、一龄、二龄、三龄、四龄、五龄虾的数量分别为A(n) ,B(n),C(n),D(n),E(n),F(n); ② 各年龄层存活到下一年龄层的比例分别为R1,R2,R3,R4,R5; ③ 每个一龄到五龄虾产生幼虾的个数为S1,S2,S3,S4,S5; ④ 不考虑果蝇的性别结构等。
A(n) = S1 B(n-1) + S2 C(n-1) + S3 D(n-1) + S4 E(n-1) + S5 F(n-1), B(n) = R1 A(n-1), C(n) = R2 B(n-1), D(n) = R3 C(n-1), E(n) = R4 D(n-1), F(n) = R5 E(n-1).

假设: ① 第n年幼虾、一龄、二龄、三龄、四龄、五龄虾的数量分别为A(n) ,B(n),C(n),D(n),E(n),F(n); ② 各年龄层存活到下一年龄层的比例分别为R1,R2,R3,R4,R5; ③ 每个一龄到五龄虾产生幼虾的个数为S1,S2,S3,S4,S5; ④ 不考虑果蝇的性别结构等。
A(n) = S1 B(n-1) + S2 C(n-1) + S3 D(n-1) + S4 E(n-1) + S5 F(n-1), B(n) = R1 A(n-1), C(n) = R2 B(n-1), D(n) = R3 C(n-1), E(n) = R4 D(n-1), F(n) = R5 E(n-1).
(A(n),B(n),C(n),D(n),E(n),F(n)) = XT(n),

?0 ? ? R1 ?0 M= ? ?0 ?0 ? ?0 ?

S1 0 R2 0 0 0

S2 0 0 R3 0 0

S3 0 0 0 R4 0

S4 0 0 0 0 R5

S5 ? ? 0? 0? ?, 0? 0? ? 0? ?

XT(n) = M XT(n-1) 多维的状态转移方程,又称为 Leslie模型

8、蛛网模型
商品的产量与价格之间存在 很明显的互动变化关系:
(1)供大于求
商品供应量偏多
(2)价格下跌

(3)生产者推出 新品或减产

(6)生产者增产

(5)价格上升

(4)供不应求

商品供应量偏少

以大蒜为例,主产地一年产出一季。假设 ?第n年,大蒜产量为x(n); y(n) = f (x(n)) ?第n年,大蒜价格为y(n); x(n+1) = g (y(n)) ?当年产量多少,决定了当年价格高低; ?当年价格高低,决定了次年农民种植的积极性(即产量)

模型中的函数 f 称为需求函数,由于产量越高则价格越低,产 量偏低时价格会上升,所以需求函数 f 应为单调递减函数; 函数 g 称为供给函数,如果当年价格偏高,会激励农民种植的 积极性,所以次年产量会提升,供给函数 g 应为单调递增函 数。 f (x) = a – b x,g(y) = - c + d y

以大蒜为例,主产地一年产出一季。假设 ?第n年,大蒜产量为x(n); ?第n年,大蒜价格为y(n);

y(n) = f (x(n)) x(n+1) = g (y(n))

y(n) = a – b x(n) x(n+1) = - c + d y(n)
4.4
4.3 4.2 4.1
(x(3), y(3)) (x(4), y(3)) (x(1), y(1))

(x(2), y(1))

大蒜价格 (元 /斤)

y

4 3.9
3.8 3.7
(x(3), y(2)) (x(4), y(4))

3.6 0.5 1

(x(2), y(2))

1.5 大蒜产量(千吨)

2
x


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