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广东省佛山市顺德区罗定邦中学高中数学《3.4基本不等式》学案(1) 新人教A版必修5


广东省佛山市顺德区罗定邦中学高中数学《3.4 基本不等式》学案(1) 新人教 A 版必修
【学习目标】 1. 理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件. 2. 能利用基本不等式求代数式的值. 【问题导学】 1. 当 a,b 是任意实数时, 有 a 2 ? b 2 ? 2ab, 当且仅当 a=b 时,等式成立. (公式中,a,b 的取值是任意的,a,b 代表实数) 2. 当 a,b 均为正数时,把 ab 叫作 a,b 的几何平均数,把 均数. 3. 基本不等式 当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数,即 ab ? 且仅当 a=b 时,等号成立. 两个不等式的适用范围不同. 【预习自测】 1. a ? b
2 2

a?b 叫作正数 a,b 的算术平 2

a?b ,当 2

与 2ab 的大小关系是(
2 2

) C. a ? b ? 2ab
2 2

A.

a 2 ? b 2 ? 2ab

B. a ? b ? 2ab

D. 不能确定.

2. a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0) 中等号成立的条件是( A.

) D. a ? b

a?b

B. a ? ?b

C. a ? b

3. 已知 a>0, 求 a ? 【我的疑问】

9 的最小值及此时 a 的值. a

合作探 究案
1

【课内探究】 例 1 已知 x, y ? R? ,且 x ? 4 y ? 1,求 xy 的最大值。 变式 1:已知 x, y ? R ? , xy=1,求 x+y 的最小值。

例2 已知函数

f ( x) ? x ?

2 ( x ? 0) ,求函数的最小值和此时 x 的取值. x
(2)求 h( x) ? x ?

变式 2:(1) g ( x) ? x ?

2 ( x ? 0) 的最值。 x

2 的值域 x

例 3 求 f ( x) ? x ?

2 ( x ? 1) 的最小值 x ?1

变式: (1) 求 f ( x) ?

x2 ? 2x ? 2 ( x ? ?1) 的最小值。 x ?1

2

总结提升 1. 在应用均值不等式求最值时,要把握 定理成立的三个条件,就是“ 一正,各项均为正;二定,积或和为定值;三相等,等号能否取得“若忽略了某个条件,就 可能会出错. 2. 对于公式 a ? b ? 2 ab, ab ? ( 也体现了 ab 和 a ? b 的转化关系. 【当堂检 测】 1. 下列结论正确的是( A. ) B.

a?b 2 ) 要弄清楚它们的使用条件和内在联系,两个公式 2

1 x ? ≥2 x 1 x

当x ? 0时, x ?

1 ≥2 x

C. 当 x≥2, x ? ≥2

D.当 0<x≤2, x ? ) C. 2

1 无最大值 x

2. x 2 ? y 2 ? 4, 则 xy 的最大值是( A.

1 2

B. 1

D.4

3. 已知 ab ? 1, a ? 0, b ? 0, 则 a ? b 的最小值为

课后练习案 1. (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把 18 写成两个正 数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?

2. 已知 m, n ? R, m ? n ? 100 , 则 mn 的最大值为(
2 2

)

A. 100

B. 50

C. 20

D.10
3

3. 已知正数 a,b 满足 ab=4,那么 2a+3b 的最小值为 ( A. 10 B. 12 C. 4 3

)

D. 4 6

4. 已知 a>3, 求

4 ? a 的最小值. a ?3

5. 已知 2a ? 3b ? 6 (a>0,b>0) ,求

2 3 ? 的最小值. a b

4



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