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高一数学三角函数综合训练试卷及答案


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三角函数综合训练
一、 教材分析: 三角函数作为高中数学的重要内容,其变换手段丰富多彩,所涉及到的数学 想, 数学方法趣味横生在高考, 会考中都把考查学生驾驭数字思想方法的能力放在首 位。本章涉及的数学思想和方法主要有: (1)数形结合的思想。 (2)函数与方程的思 想。 (3)转化的思想。 (4)消之的思想。 (5)换元法。 (6)构造法等。 二、 基础训练题: 1.选择题 (1)角α 的终边与角β 的终边关于 y 轴对称,则β 为( A.-α B.л -α C.(2kл +1)л -α (k∈Z) (2)若 sinα tgα ≥0,k∈Z,则角α 的集合为( ) A.[2kл -

) D.kл -α (k∈Z)

л л ,2kл + ] 2

B.(2kл -

л л ,2kл + ) 2 2

C.(2kл -

л л ,2kл + )∪ ?2kл ?л 2 2

?

D.以上都不对

(3)已知集合 M= y y ? sin x ? cos x, x ? R MUN 等于( A .M ) B.N C.ф

?

?,N= ?y y ?л sin x cos x, x ? R ?则
D. y ? 2 ? y ? 2

?

?

(4)下列四个命题中的假命题是( ) A. 存在这样的α 和β 的值,使得 cos(α +β =cosα cosβ +sinα sinβ B. 不存在无数个α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C. 对于任意的α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D. 不存在这样的α 和β 的值,使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ (5)若 cos(A+B)cos(A-B)-sin(A+B)sin(A-B)= A.2 B.

1 2

C.-2

3 л ,A∈(0, ),则 tgA=( 5 2 1 D.2
) D.-2 )

)

(6)若 sinα +cosα = 2 ,则 tgα +ctgα =( A.1 B.2 C.-1

(7)已知α ,β 为锐角,且 tgα = A.

3 л 4

B.

2 л 3

1 3 ,sinβ = ,则α +β 等于( 7 5 л л C D. 4 3 2 C. 3 3 D. 4
)

(8)已知 sinα +sinβ =1,cosα +cosβ =0,那么 cos2α +cos2β 等于( A.1

)

3 B. 2

(9)当 0<x<л 时,则方程 cos (л cosx)=0 的解集为(

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A. ? ,

л ? ?л 5 ? ?6 6 ?

B. ? ,

л ? ?л 2 ? ?3 3 ?

C. ?

?л ? ? ?3 ?

D. ?

?2 л ? ? ?3 ?

(10)下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是( ) A.cos3<tg3<ctg3<sine B.sin3>cos3>tg3>ctg3 C.ctg3<tg3<cos3<sin3 D.sin3>tg3>cos3>ctg3 (11)已知

л 4 α <α <л <,sinα = ,则 cos 的值为( 2 5 2
B.-

)

A.

5 5 或2 5

5 5

C.

5 5

D.以上都不对

(12)在△ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 c=3,∠C=60°,a+b=5,则 等于( A. ) B.

A? B 2

5 12

5 6

C.

3 4

D.

2 3
)

(13)△ABC 中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为 3 ,则△ABC 外接圆的直径为( A. 3 3

B.

26 3 3

C.

2 39 3

D.

39 2

(14)在 Rt△ABC 中,C=90°,则 sinAcos2(45°A.有最大值

1 和最小值 0 4

C.即无最大值也无最小值

B A A )-sin cos 2 2 2 1 B.有最大值 但无最小值 4 1 D.有最大值 但无最小值 2
)

(15)函数 y=

5 ? cos2θ 在区间(0,л )上的最小值为( 2 sinθ
B.2 C.1

A.

3 2 2

D. )

5 2

(16)若 0≤x≤ A.1

л ,则 y= 7 sinx+3cosx 的最小值是( 2
B.2
2

C.

7

D.0 )

л x (17)已知函数 f (x)=3sin 2 +1,使得 f (x+c)=f (x)成立 c 的最小正整数为(
A.1 B.2 C.4 ) D. 以上都不对

4 (18)若θ 是第四限的角,且 sinθ =- ,那么 2θ 是( 5
A.第一象限的角 B.第二象限的角

C.第三象限的角

D.第四象限的角

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(19)函数 y=

2 sin x cos2 x 的值是( 1 ? sin x
B.-4≤y≤

)

A.y≤

1 2

1 2

C.y≥-4

D.-4<y≤ )

1 2

(20)要得到 y=sin2x 的图象,只需将 y=cos(2x-

л 8 л л (21)函数 y=cos2(x+sin2(x+ )-1 是( 12 12
A.向右平移 B.向左平移 A.周期为 2л 的奇函数 C.周期为л 的奇函数 (22)设方程 cos2x+ 3 sin2x=α +1,d [0, ( ) A.[-3,1] 2.填空题: (1)已知θ =

л 8

л )的图象 ( 4 л C.向右平移 4
)

D.向左平移

л 4

B.周期为л 的偶函数 D.周期为 2л 的偶函数

л ]上有两个不同的实数角,则α 的取值范围是 2
D.[0,1]

B.[-л 1]

C.[0,1]

л θ 4 θ θ 4 θ ? 3tg tg = ,则 tg ? tg 5 3 3 3 3` л 13 л (2)计算 sin sin = . 10 10
(3)若 f (tgx)= sin x ,则 f (ctgx)= .

.

(4)已知α =arcsin (5)在△ABC 中,sin

6? 2 则 cos2α = 4

. . . .

A B C 1 sin sin = ,则△ABC 的形状为 2 2 2 8

(6)直角三角形的周长为定值 2l,则斜边的最小值是

л л 1 л (7)已知 sin( +α )sin( -α )= ,α ∈( ,л ),则 sin4α = 4 4 6 2 л (8)已知 x∈(0, ),则下面四式: 2
①sinx<x<tgx ③sin3x+cos3x<1 (9)

②sin(cosx)<cosx<cos(sinx) ④cos(sinx)<sin(cosx)<cosx 中正确命题的序号是 .

.

cos2 10? ? 3 sin 2 10? cos 20?

(10)[2sin50°+sin10°(+ 3 tg10°)] 1 ? cos 20? = 3.解答题 (1) 求函数 y=2cosθ sinθ -cosθ -sinθ (θ ∈[0,л ])的值域 (2) 已知 tgα =log3525,tgβ =log725,求 2sin(α -β )+sinα +sinβ 的值
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.

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(3) 改 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B 为锐角且 a>1,0<b<1,求 tgAr 的值 (4) 已知 0<α <л ,0<β <л ,tgα tgβ 是方程 x2+5x+6=0 的两根。 ①求α +β 的值; ②求 cos(α -β )的值. (5)在锐角△ABC∠A<∠B<∠C,且 B=60°,

(1 ? cos2 A)(1 ? cos2C) =

3 ?1 ,求证:a+ 2b ? 2c. 2
r 的 R

(6)在 Rt△ABCk ,C=90°,r、R 分别为三角形内切圆与外接圆的半径,求 最大值.

x? y 1 x? y ? ,求 sin 的值. 4 3 2 л 4 (8)若 x1、x2 是方程 x2-sin ?cos л =0 的两根,且α =arctgx1β =arctgx2,求α +β . 5 5
(7)设 sinx+siny=sinx?siny,tg (9)若常数α 满足 log л 值. (10)如图,在平面有点 A、B、P、Q,其中 AB ? APB 与△PQB 面积为 S、T,求 S2+T2 的取值范围.

α <1,求使函数 f (x)=sin(x+α )+cos(x-α )为偶函数的α 的 л

3 , AP ? PQ ? QB ? 1, 设△

第五单元

三角函数综合训练

1. 选择题 C C B B C B B C B D C BCBD CBCDA C D 2. 填空题 (1) 3 (2)

1 (3) cos x 4

(4)-

3 2

(5)正三角形 (6)2l( 2 -1)

(7)-

4 2 9

(8)①②③ (9)32 (10) 6
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3. 解答题 (1) 解:令 t=sinθ +cosθ 则∴2sinθ cosθ =t2-1 ∴y=t2-t-1=(t∴y∈[-

2 2

t≤1

1 2 5 )2 4

5 ,1] 4

(2)原式=2sinα cosβ +sinα sinβ -2cosα sinβ =cosα cosβ (2tgα +tgα tgβ -2tgβ ) =cosα cosβ (2tg3525+log3525?log725-2log725) =cosα cosβ [4log355+4log355?log75-4log75] =cosα cosβ [4log355(1+log75)-4log75] =cosα cosβ [4log355 ?log735-4log75] =cosα cosβ (4log75-4log75) =0 (3)解由 ?

?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ②
a2 ?1 a2 ? b2

①2+②2 得 a2sin2B+b2cos2B=1

∴cos2B=

∴sin2B=

1? b2 a2 ? b2

∴tg2B=

1? b2 a2 ?1

∵B 为锐角 ∴tgB=

1 ? b2 a2 ?1

① a a 1 ? b2 得 tg A= tgB= b ② b a2 ?1
(4)解略: (1)α +β 的值为

5 л 4

( 2 ) cos (α +β )=

7 2 10
1 2

(5)解:∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=又由已知 2 sin 2 A ? 2 cos2 C =

3 ?1 2 3 ?1 4

∴cosAcosC=

3 ?1 4 3 2

sinAsinC=

∴cos(C-A)=

即 C-A=30°
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∴A=45°

B=60°

C=75°

∴a+ 2 b=2R(sin45°+ 2 sin60°)

=2?2R =2C (6)解:∵2R=AD+DB BD=rtg

2? 6 =2?2Rsin75° 4
A 2

AD=rtg

B 2

∴2R=r(tg

A B +tg ) 2 2

A B S? r 2 2 2 ∴ = = A B A B R S 2( ? ) tg ? tg 2 2 2 2 2 sin

A B A B cos( ? ) ? cos( ? ) 2 2 2 2 = 2 2
= 2 [cos(

A B 2 ? )] 2 2 2

≤ 2 (1 ? 故当 A=B 时

2 ) ? 2 ?1 2
r 有最大值 2 ? 1 R

(7)解:由 sinx+siny=sinxsiny 可得

2sin

x? y x? y 1 cos =- [cos(x+y)-cos(x-y)] 2 2 2 x? y x? y 1 =- [(1-2sin2 2 )-(2cos2 2 )-1] 2 x? y 2 x? y ? cos 2 =-1+sin 2 2

x? y x? y 2 ? cos ) =1 2 2 x? y x? y ? cos ∴sin =±1 2 2
∴(sin

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x? y 1 x? y ? 知 cos 再由 tg ? 4 3 2
∴sin

9 >1 舍去) 5 л 4 л (8)解:∵x1、x2 是方程 x-sin x1、x2 5 5 л sin x1 ? x 2 5 ∴tg(α +β )= ? 4 л 1 ? x1 x 2 1 ? cos 5 л sin 5 ? tg л = 4 л 10 1 ? cos 5 л 又由题意α 、β 中有一个在这间(- ,0)内 2 л л л ∴- <α +β < ∴α +β = 2 2 10
( (9)解:由 log л

x? y 1 ?? 2 5

x? y 4 ?4 x? y 5 1 ? tg 2 4 1 ? tg 2

α <1 知 л
α <1 即 1<α <л л
2

-1<logл

要使 f (x)为偶数,必须 f (-x)=f (x) 即 x∈R 恒成立 移项 和差化积得 2sinxcosα =-2sinxsinα 若对 x∈R 恒成立 必须:tgα =-1 ∴α =kл +

3 л 4

(k∈z)

于是 知 ∴α =

1<kл + k=0,1,2

3 л <л 4

2

3 л 7л 11 л , , 4 4 4
α ∈[0,

(10)解:设∠BAP=α

л ] 2

∠BQP=β ,在△PAB,△PBQ 中 由余弦定理 cosβ =cosα -1

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∴S2+T2=(

1 3 sinα )2+( sinβ )2 2 2 3 1 2 7 (cos)+ 2 8 2 3

=-

∴当 cosα =1 时,S2+T2 有最小值

2 3 ?3 4

当 cosα =

1 2 3

时,S2+T2 有最大值

7 8

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