当前位置:首页 >> 数学 >>

四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学(理)试题 Word版含解析


宜宾市 2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试



学(理工农医类)

【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学 思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色 .以支撑学科知识体系 的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数 学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能. 【题文】第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 【题文】 一、 选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分; 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.已知集合 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? x 2 ? x ? 10 ,则 A ? B ? (A)

?

?

?

?

?x 3 ? x ? 7?

(B)

?x 3 ? x ? 7?

(C)

?x 2 ? x ? 7?

(D)

?x 2 ? x ? 10?

【知识点】交集的运算.A1 【答案】 【解析】A 解析:因为 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? x 2 ? x ? 10 ,所以 A ? B ?

?

?

?

?

?x 3 ? x ? 7?,故选 A。
【思路点拨】直接利用交集的定义即可. 【题文】2.函数 y ? 1 ? sin( x ? (A) 关于 x 轴对称

?
2

) 的图象
(C) 关于原点对称 (D)关于直线 x ?

(B) 关于 y 轴对称

?
2

对称

【知识点】余弦函数的图象.C3 【答案】 【解析】B 解析:∵ 余弦函数 y = cos x 是偶函数, ∴函数 y ? 1 ? sin( x ?

?
2

) = 1 - cos x 是偶函数,故关于 y 轴对称,故选 B.

【思路点拨】根据余弦函数 y = cos x 是偶函数关于 y 轴对称可得答案.

(x ? 【题文】3.二项式
2

1 5 ) 的展开式中, x 的系数为 x
(C) 20 (D) 25

(A) 10 (B) 15 【知识点】二项式定理的应用.J3 【答案】 【解析】A

(x ? 解析:二项式
2

1 5 ) 的展开式的通项为 x

Tr +1 = C5r x2(

5- R)

? x- r

C5r x10- 3r ;

令 10﹣3r=1 解得 r=3,

-1-

(x ? ∴ 二项式
2

1 5 ) 的展开式中 x 的系数为 C53=10, x
1 5 ) 的展开式的通项,然后令 x 的指数为 1,求出 r,从而可 x

故选 A.

(x ? 【思路点拨】先求出二项式
2

求出 x 的系数. 【题文】4.给出下列三个命题: ①命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0
2 2

” ② “x ? 5或x ? ?1 是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充要条件.
2

③若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题. 其中正确 命题的个数为 .. (A) 0 (B) 1 【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案】 【解析】C
2

(C)

2

(D) 3

解析:若命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使
2

得 x ? x ? 1 ? 0 ,故① 正确;

“x ? 5或x ? ?1 ” “x ? 5或x ? ?1 ” “ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”? ,故 是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充要条件②
2 2

正确. 若 p ? q 为真命题,则 p,q 中至少存在一个真命题,若此时两个命题一真一假,则 p ? q 为 假命题,故③ 错误; 故正确的命题个数为:2 个,故选:C 【思路点拨】写出原命题的否定形式,可判断① ;根据充要条件的定义,可判断② ;根据充要 条件的定义,可判断③ . 【题文】5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16

-2-

【知识点】循环结构.L1 【答案】 【解析】C 解析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,
0 1 2 0 1 2

可知:该程序的作用是累加 S = 1 + 2 + 2 + 2 的值,∵ S = 1 + 2 + 2 + 2 = 8 , 故选 C. 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是累加 S = 1 + 2 + 2 + 2 的值,并输出.
0 1 2

? 2) 的抛物线的标准方程是 【题文】6.顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点 P( ?4,
(A) y 2 ? ? x (C) y ? ?8 x 或 x ? ? y
2
2

(B) x 2 ? ?8 y (D) y ? ? x 或 x ? ?8 y
2

2

【知识点】抛物线的标准方程.H7 【答案】 【解析】D

? 2) 可得, 4 = - 4m , 解析:设抛物线方程为 y 2 = mx ,代入点 P( ?4,
2

解得 m = - 1 ,则抛物线方程为 y ? ? x , 设抛物线方程为 x 2 = ny ,

? 2) 可得 16 = - 2n ,解得 n = - 8 , 代入点 P( ?4,
则抛物线方程为 x ? ?8 y ,
2

故抛物线方程为 y ? ? x 或 x ? ?8 y .
2

2

故选:D.

? 2) ,解方程,即可 【思路点拨】设抛物线方程分别为 y = mx ,或 x = ny ,代入点 P( ?4,
2 2

得到 m,n.进而得到抛物线方程. 【题文】7.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中小明必须站在正中间,并且小李、小张 两位同学要站在一起, 则不同的站法有 (A) 192 种 (B) 120 种 (C) 96 种 (D) 48 种

【知识点】排列、组合及简单计数问题.J2 J1 【答案】 【解析】A 解析:不妨令小李、小张在小明左侧,先排小李、小张两人,有 A22 种 站法,再取一人站左侧有 C41×A22 种站法,余下三人站右侧,有 A33 种站法 考虑到小李、小张在右侧的站法,故总的站法总数是 2×A22×C41×A22×A33=192 故选:A. 【思路点拨】由于小明必须站正中间,故先安排小明,两边一边三人,不妨令小李、小张在
-3-

小明左边,求出此种情况下的站法,再乘以 2 即可得到所有的站法总数,计数时要先安排小 李、小张两人,再安排小明左边的第三人,最后余下三人,在小明右侧是一个全排列. 【题文】 8.已知单位向量 m 和 n 的夹角为 60 ,记 a = n - m , b = 2 m , 则向量 a 与 b 的夹 角为 (A) 30
? ? (B) 60 ? (C) 120 ? (D) 150

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案】 【解析】C 则 m×n =1×1×cos60°= 则 a ?b
2

解析:由于单位向量 m 和 n 的夹角为 60 ,

1 , 2

2 m ?n m
2

(

2

)

骣 1 = 2? 琪 琪 1 = - 1, 2 桫

a = n + m - 2m?n 1, b = 2 ,
即有 cos < a, b >=

a ×b a ×b

=-

1 , 2

则由于 00 ? a, b > 1800 , 则向量 a 与 b 的夹角为 120 .故选 C. 【思路点拨】运用向量的数量积的定义,求得单位向量 m 和 n 的数量积,再求向量 a 与 b 的 数量积和模,运用向量的夹角公式计算即可得到夹角. 【题文】9.双曲线
?

x2 y2 ? ?( 1 a ? 0, b ? 0) 的左右焦点为 F1,F2 , P 是双曲线右支上一点, a2 b2
2 2 2

满足条件 PF2 ? F1F2 ,直线 PF1 与圆 x ? y ? a 相切,则双曲线的离心率为

(A)

5 4

(B) 3

(C)

2 3 3

(D)

5 3

【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】D 解析:设 PF1 与圆相切于点 M,因为 PF2 ? F1F2 ,所以△PF1 F2 为等

腰三角形,所以 F1M =

1 PF1 ,又因为在直角△F1MO 中,| F1M |2=| FO |2﹣a2=c2﹣a2,所以 1 4
② , c = a +b
2 2 2

F1M = a =

1 PF1 ① 又 PF 1 = PF 2 + 2a = 2c + 2a 4
-4-



由① ② ③ 解得

c 5 = .故选 D. a 3

【思路点拨】先设 PF1 与圆相切于点 M,利用 PF2 ? F1F2 ,及直线 PF1 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 相 切,可得几何量之间的关系,从而可求双曲线的离心率的值.

? 2x , x ? 0 【题文】 10.设函数 f ( x) ? ? , 若对任意给定的 t ? (1,??) , 都存在唯一的 x ? R , log x , x ? 0 ? 2
满足 f ( f ( x)) ? 2a 2t 2 ? at ,则正实数 ...a 的最小值是 (A) 2 (B)
1 2

(C)

1 4

(D)

1 8

【知识点】分段函数的应用.B9 【答案】 【解析】B 又∵f x = 2 , x 解析:根据 f x 的函数,我们易得出其值域为:R,

()

()

x

(

0) 时,值域为 ( 0,1] ; f ( x) =log2 x ( x>0) 时,其值域为 R,

∴ 可以看出 f x 的值域为 0,1 上有两个解, 要想 f ( f ( x)) ? 2a 2t 2 ? at ,在 t ? 1, 必有 f

()

( ]
2 2

(

) 上只有唯一的 x ?

R 满足,

( f ( x) ) >1 (因为 2a t
()

+ at > 0 ) ,

所以: f x >2,解得:x>4, 当 x>4 时,x 与 f(f(x) )存在一一对应的关系,

2a t + at >1 , t ? 1, ∴

2 2

(

) ,且 a>0,

所以有: (2at﹣1) (at+1)>0,

1 1 或者 t < - (舍去) , 2a a 1 1 ? 1 ,∴ a ? ,故选:B ∴ 2a 2
解得: t > 【思路点拨】此题的突破口在于如何才会存在唯一的 x 满足条件,结合 f x 的值域范围或者 图象,易知只有在 f x 的自变量与因变量存在一一对应的关系时,即只有当 f x >2 时, 才会存在一一对应. 【题文】第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11.已知 i 是虚数单位,则 2i ? ▲. 1? i 【知识点】复数的基本运算.L4

()

()

()

-5-

【答案】 【解析】1+i

解析:

2i (1 - i) 2i = = 1 + i ,故答案为1 + i . 1 + i (1 + i) (1 - i)

【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再进行化简即可。 【题文】12.函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 的图像在点 A(1,1) 处的切线方程为▲. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 【答案】 【解析】 3x - y - 2 = 0

1 解析: f ? x = 2 x + ;故 f ? 1 = 2 +1 = 3 ;

( )

x

()

故函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 的图象在点 A(1,1) 处的切线方程为:

y - 1 = 3( x - 1) ;即 3x - y - 2 = 0 ;故答案为: 3x - y - 2 = 0 .
1 【思路点拨】由题意求导 f ? x = 2 x + ,从而可知切线的斜率,从而写出切线方程.

( )

x

【题文】13.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 b sin A ? a cos B ,则 角 B 的大小为▲. 【知识点】正弦定理.C8 【答案】 【解析】

?
4

解析:在△ ABC 中, b sin A ? a cos B ,

利用正弦定理化简得: sin B sin A = sin A cos B ,

sin A ? ∵

0 ,∴ sin B = cos B ,即 tan B = 1 ,则 B=

?
4



故答案为:

?
4

【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简,根据 sinA 不为 0 求出 tanB 的值,即可确定出 B 的 度数. 【题文】 14.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P 是上底面 A1 B1C1 D1 的中心, 点 Q 在线段 PD 上运动,则异面直线 BQ 与 A1 D1 所成角 ? 最大时, cos ? ? ▲. 【知识点】异面直线所成的角 G9

【答案】 【解析】

6 6

解析:由题意可判断出 BC 在平面 BB1D1D 的射影为 BD,可知当在平面

BB1D1D 内越远离射影时面直线 BQ 与 A1D1 所成角 ? 越大,所以当 Q 与 P 点重合时,异面直
线 BQ 与 A1 D1 所 成 角 ? 最 大 , 不 妨 设 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 长 为 2 , 则

-6-

BC = 2, BP = 6, CP = 6 ,根据余弦定理 cosq =

6 4 +6 - 6 6 ,故答案为 。 = 6 2创 2 6 6

【思路点拨】由题意可判断出 BC 在平面 BB1D1D 的射影为 BD,可知当在平面 BB1D1D 内越远 离射影时面直线 BQ 与 A1 D1 所成角 ? 越大,所以当 Q 与 P 点重合时,异面直线 BQ 与 A1 D1 所 成角 ? 最大,再结合余弦定理即可。

?sin ? x, x ? ?0, 2? ? 【题文】15.对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 4 个结论: f ( x ? 2), x ? (2, ?? ) ? ?2
①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立;
* ② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N ) ,对于一切 x ? ?0, ?? ? 恒成立;

③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ④对任意 x ? 0 ,不等式 f x ? 则其中所有正确结论的序号是▲. 【知识点】分段函数的应用.B1

( )

k 恒成立. x

【答案】 【解析】①③④

?sin ? x, x ? ?0, 2? ? 解析: f ( x) ? ? 1 的图象如图所示: ? f ( x ? 2), x ? (2, ??) ?2

①f x 的最大值为 1,最小值为﹣1,∴ 任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成

()

立,正确; ② f(

1 1 1 1 1 )=2f( +2)=4f( +4)=8f( +6)≠8f( +8) ,故不正确; 2 2 2 2 2

③ 如图所示,函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ④ 对任意 x ? 0 ,不等式 f x ? 得④ 正确. 故答案为:① ③ ④ .

( )

骣 k 9 恒成立,则实数 k 的取值范围是 琪 ,+ 琪 x 8 桫

,结合图象,可

-7-

?sin ? x, x ? ?0, 2 ? ? 【思路点拨】作出 f ( x) ? ? 1 的图象,利用图象可得结论. f ( x ? 2), x ? (2, ?? ) ? ?2
【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.不能答试卷上,请答在答题卡相应的方框内. 【题文】16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 ?x ? 2 sin ?x cos?x ? sin 2 ?x (? ? 0) ,且周期为 ? . (I)求 ? 的值; (II)当 x ?[ 0, ]时,求 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的值. 【知识点】 三角函数中的恒等变换应用; 三角函数的周期性及其求法; 正弦函数的图象.C3 C7 【答案】 【解析】 (I) w = 1 ;(II) x ?

? 2

?
8

, f ( x) 取得最大值为 2

解析: (I)∵ f ( x) ? cos 2?x ? sin 2?x ? = 2 sin( 2?x ? ∵ T ? ? 且? (II)

2(

2 2 cos2?x ? sin 2?x) .....(2 分) 2 2

?
4

) ..................................................................(4 分)

? 0,



2? ? ? , 则? ? 1......................................................................(6 分) 2?

由(1)知 f ( x) ?

2 sin( 2 x ?

?

∵0 ? x ? ∴?

?
2



?
4

? 2x ?

?
4

?

5? ................................................................................(7 分) 4

4

)

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 4
2 sin( 2 x ?

∴ ?1 ? ∴当 2 x ?

?
4

) ? 2 .......................................................................................(9 分)

?
4

?

?
2

时,即 x ?

?
8

, y 取得最大值为 2 ............................................(12 分)

-8-

【思路点拨】 (I)化简解析式可得 f x = 的值;(II)由已知先求得

()
?

?
4

? 2x ?

?
4

5? ? ,可求得 ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 ,从而可求 4 4

2 sin( 2?x ? ) ,由 T ? ? 且 ? 4

?

? 0 ,即可求 w

f ( x) 最大值及取得最大值时 x 的值.
【题文】17.(本题满分 12 分) 在 2014 年 11 月 4 日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上, 某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位:℃)有关,若日平均气温不超过 15 ℃, 则日销售量为 100 瓶;若日平均气温超过 15℃但不超过 20 ℃,则日销售量为 150 瓶;若日 平均气温超过 20 ℃,则日销售量为 200 瓶.据宜宾市气象部门预测,该地区在运动会期间每 一天日平均气温不超过 15 ℃,超过 15 ℃但不超过 20 ℃,超过 20 ℃这三种情况发生的概 率分别为 P1,P2,P3,又知 P1,P2 为方程 5x2-3x+a=0 的两根,且 P2=P3. (I)求 P1,P2,P3 的值; (II)记 ξ 表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位:瓶),求 ξ 的分布列及数学 期望. 【知识点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.K6 【答案】 【解析】 (I) P 1 =

1 2 2 , P2 = , P3 = ;(II)分布列见解析, Ex = 320 5 5 5

?P 1 ? P 2 ? P 3 ?1 ? 3 解析: (I)由已知得 ? ,解得: ?P 1 ? P 2 ? 5 ? ? 3 ? P2 ? P
P 1 ? 1 2 2 ,P ,P ............. (4分) 2 ? 3 ? 5 5 5

(II) ? 的可能取值为 200,250,300,350,400

........................... ( 5分)

P(? ? 200) ? P(? P(? P(? P(?

1 1 ? , 5 5 1 2 4 ? 250) ? 2 ? ? ? , 5 5 25 1 2 2 2 8 ? 300) ? 2 ? ? ? ? ? , 5 5 5 5 25 2 2 8 ? 350) ? 2 ? ? ? , 5 5 25 2 2 4 ? 400) ? ? ? .............................................................. ( 10分) 5 5 25

随机变量 ? 的分布列为

-9-

所求的数学期望为

E? ? 200 ?

1 4 8 8 4 ? 250 ? ? 300 ? ? 350 ? ? 400 ? ? 320(瓶)........... (.12分) 25 25 25 25 25

?P 1 ? P 2 ? P 3 ?1 ? 3 ? 【思路点拨】 (Ⅰ) 利用 P1, P2 为方程 5x2﹣3x+a=0 的两根, , 即可求 P 1, P 2, P 3 ?P 1 ? P 2 ? 5 ? ? 3 ? P2 ? P
的值; (Ⅱ )确定 ξ 的可能取值,求出相应的概率,即可求 ξ 的分布列及数学期望. 【题文】18.(本题满分 12 分) 如图,一简单几何体 ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O, G、H 分别是 AE、BC 的中点,AB 是 圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,且 DC ? 平面 ABC. (I)证明:GH//平面 ACD; (II)若 AC=BC=BE=2,求二面角 O-CE-B 的余弦值.

【知识点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.G4 G9 G11 【答案】 【解析】 (I)见解析;(II)

3 3

解析: (I)证明:连结 GO,OH ∵GO//AD,OH//AC.....................................................................................(2 分) ∴GO//平面 ACD,OH//平面 ACD,又 GO 交 HO 于 O......................................(.4 分) ∴平面 GOH//平面 ACD.........................................................................(5 分) ∴GH//平面 ACD........................................................................................(6 分) (II) 法一:以 CB 为 x 轴,CB 为 y 轴,CD 为 z 轴,建立如图所示的直角坐标系 则 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2) 平面 BCE 的法向量 m ? (0,1,0) ,设平面 OCE 的法向量 n ? ( x0 , y0 , z0 ) ............(8 分)

CE ? (2,0,2),CO ? (1,1,0)

- 10 -

∴?

? ? z0 ? ? x0 ? n ? CE ? 0 ?2 x0 ? 2 z0 ? 0 则? ,故 ? ?n ? CO ? 0 ? x0 ? y0 ? 0 ? y0 ? ? x0 ?

令 x0 ? ?1, n ? (?1,1,1) .........................................................................(10 分) ∵二面角 O-CE-B 是锐二面角,记为 ? ,则

cos? ? cos ? m, n ? ? ?

m?n m?n

?

1 3 ? ......................................(12 分) 3 1? 3

法二:过 H 作 HM ? CE 于 M,连结 OM ∵DC ? 平面 ABC ∴平面 BCDE ? 平面 ABC 又∵AB 是圆 O 的直径 ∴AC ? BC,而 AC//OH ∴OH ? BC ∴OH ? 平面 BCE.......................................................................(8 分) ∴OH ? CE ,又 HM ? CE 于 M ∴CE ? 平面 OHM ∴CE ? OM ∴ ?OMH 是二面角 O-CE-B 的平面角................................(10 分) 由 Rt?CMH ~ Rt?CBE, 且 CE= 2 2 . ∴

HM CH HM 1 ? ? ? BE CE 2 2 2

∴ HM ?

2 2

又 OH=

1 AC ? 1 2
2 2

? 2? 6 ? 在 Rt?OHM中,OH ? 1 ? ? ? 2 ? ? 2 . .........................(11 分) ? ?
2 HM 3 ? 2 ? ∴ cos ?OMH ? ......................................(12 分) OH 3 6 2
【思路点拨】 (Ⅰ)连结 GO,OH,证明 GO∥平面 ACD,OH∥平面 ACD,利用平面与平面 平行的判定定理证明平面 GOH∥平面 ACD.然后证明 GH∥平面 ACD. (Ⅱ)以 CB 为 x 轴, CB 为 y 轴,CD 为 z 轴,建立如图所示的直角坐标系,求出 C,B,A(,O,E 的坐标,平 面 BCE 的法向量 m ? (0,1,0) ,平面 OCE 的法向量 n ? ( x0 , y0 , z0 ) .二面角 O﹣CE﹣B 是锐 二面角,记为 θ,利用空间向量的数量积求解 cosθ 即可. 【题文】19. (本题满分 12 分)

(2 n ? 1, ) , 满足条件 a ? ?b , ? ? R 且 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,向量 a ? (Sn ,1) , b ?

? ? 0.
(I)求数列 ?a n ?的通项公式;

1 2

x (II)设函数 f ( x ) ? ( ) ,数列 ?bn ?满足条件 b1 ? 2 , f (bn ?1 ) ?

1 2

1 , (n ? N ? ) f (?3 ? bn )

- 11 -

(i) 求数列 ?bn ?的通项公式;(ii)设 cn ? 【知识点】数列的求和.D4

bn ,求数列 ?cn ?的前 n 和 Tn . an
3n ? 5 2n

【答案】 【解析】 (I) an ? 2n ;(II) bn ? 3n ? 1 ; 解析: (Ⅰ)因为 a ? ?b 所以

Tn ? 5 -

1 S n ? 2 n ? 1, S n ? 2 n ?1 ? 2 . 2
.................(2 分)

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 ,满足上式 所以 an ? 2n (Ⅱ) (ⅰ)? f ( x) ? ( ) , f (bn ?1 ) ?
x

........................(4 分)

1 2

1 1 f (bn?1 ) ? f (?3 ? bn ) f (?3 ? bn )

1 1 1 1 ? bn?1 ? 3?bn ? ( )bn?1 ? 1 2 2 2 ( ) ?3?bn 2

?

bn?1 ? bn ? 3 bn?1 - bn ? 3 ,又? b1 ? f (?1) ? 2

? ?bn ?是以 2 为首项 3 为公差的等差数列 ? bn ? 3n ? 1
(ⅱ) ......................................(8 分)

cn ?

bn 3n ? 1 ? n an 2

2 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n 1 2 2 2 2 2 1 2 5 8 3n ? 4 3n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2 1 3 3 3 3 3n ? 1 - 得 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n - n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1 - n ?1 ) 1 3n ? 1 2 Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? n ?1 1 2 2 12 1 3 1 3n ? 1 Tn ? 1 ? (1 - n ?1 ) ? n ?1 2 2 2 2 Tn ?

- 12 -

Tn ? 2 ? ( 3 1-

1 3n ? 1 )? n n ?1 2 2 3 3n ? 1 Tn ? 2 ? 3 - n ?1 ? n 2 2 3n ? 5 Tn ? 5 - n 2

........................................(12 分)

【思路点拨】 (Ⅰ)由 a ? ?b 可得 Sn = 2n+1 - 2 ,然后利用 an = Sn - Sn- 1(n≥2)求得数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ) (ⅰ) 再由 f ( x) = ( ) , f (bn +1 ) =

1 2

x

1 , 得到 bn?1 ? bn ? 3 , 说明 ?bn ? f (- 3 - bn )

是以 2 为首项 3 为公差的等差数列.由等差数列的通项公式可得 bn; (ⅱ)把数列 ?a n ?、 ?bn ? 的通项公式代入 cn =

bn ,然后利用错位相减法求数列 ?cn ?的前 n 和 Tn . an

【题文】20. (本题满分 13 分) 已知点 P, Q 的坐标分别为 ( ?2, 0) , (2, 0) ,直线 PM , QM 相交于点 M ,且它们的斜率之 积是 ?

1 4

(I)求点 M 的轨迹方程; (II)过点 O 作两条互相垂直的射线,与点 M 的轨迹交于 A, B 两点.试判断点 O 到直线 AB 的 距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明理由. 【知识点】轨迹方程.H9

x2 ? y2 ? 1 (x ? ?2) 【答案】 【解析】 (I) 4

2 5 ;(II)为定值 5
............(4 分)

(x, y ) ,由题可得 解析: (Ⅰ)解: M

y y 1 . ?? x?2 x?2 4

x2 ? y2 ? 1 4
所以点 M 的轨迹方程为

x2 (x ? ?2) ? y2 ? 1 4

................(6 分 )

(Ⅱ)点 O 到直线 AB 的距离为定值 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , ① 当直线 AB 的斜率不存在时,则 ?AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA: y ? x

- 13 -

将 y ? x 代入

x2 2 5 ? y 2 ? 1 ,解得 x ? ? 5 4
2 5; 5
...................(8 分)

所以点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

② 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 与 联立消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m 2 ?4 ? 0

x2 ? y 2 ?( 1 x ? ?2) 4

x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 4 x x ? 1 2 1 ? 4k 2 , 1 ? 4k 2

...................(9 分)

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 所以 (1 ? k 2 )

4 m 2 ? 4 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 5m2 ? 4(1 ? k 2 ) ,...............(12 分 ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

m 1? k
2

?

2 5 5
......................(13 分 )

综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值

2 5 5

y y 1 . ?? M ( x , y ) 4, 【思路点拨】 (Ⅰ) 由题可得 x ? 2 x ? 2 即可求点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) (ⅰ)
分类讨论, 直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m , 代入椭圆方程, 消去 y,
2 2 利用 OA ? OB ,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,整理得 5m ? 4(1 ? k ) ,即可得出结论.

【题文】21. (本题满分 14 分)

1? 上单调递增, 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,在 y 轴上的截距为 -5 ,在区间 ?0,
4 3 2

2 ?上单调递减,又当 x ? 0, x ? 2 时取得极小值. 在 ?1,
(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)能否找到函数 f ( x ) 垂直于 x 轴的对称轴,并证明你的结论; (Ⅲ)设使关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? 5 恰有三个不同实根的实数 ? 的取值范围为集合 A ,
2 2

且两个非零实根为 x1 , x2 ,试问:是否存在实数 m ,使得不等式 m ? tm ? 2 ? x1 ? x2
2

对任意 t ? ?? 3,3? , ? ? A 恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件.B11 B12
- 14 -

【答案】 【解析】 (I) f ( x) = x4 - 4 x3 + 4 x2 - 5 ;(II)见解析;(Ⅲ)不存在. 解析: (Ⅰ)易知 c 又 由 令 由

? ?5

………(1 分)

f ?( x) ? 4 x3 ? 3ax 2 ? 2bx

f ?(1) ? 0 ,得 3a ? 2b ? ?4.................................① …………(2 分) f ?( x) ? 0 ,得 x(4 x 2 ? 3ax ? 2b) ? 0 f ?(2) ? 0 ,得 3a ? b ? 8 ? 0.................................② …………(3 分)
4 3 2 ? f ( x) ? x ?4 x ?4x ?5

由①②得 b ? 4, a ? ?4 (Ⅱ)若

………(4 分)

, f ( x) 关于直线 x ? t 对称(显然 t ? 0 )

则取点 A(0, ?5) 关于直线对称的点 A?(2t , ?5) 必在 即

f ( x) 上,
…………(6 分)

f (2t ) ? ?5 ,得 t 2 (t 2 ? 2t ? 1) ? 0
?0

又t

?t ? 1
验证,满足

……………(7 分)

f (1 ? x) ? f (1 ? x)
) f (t ? x) ? f (t ? x) ,计算较繁琐;
4

……………(9 分)

(也可直接证明

(Ⅲ)由(1)知, x 即x 又x
4

? 4x3 ? 4x2 ? 5 ? ? 2 x2 ? 5 ,

? 4x3 ? 4x2 ? ? 2 x2

? 0 为其一根,得 x 2 ? 4 x ? (4 ? ? 2 ) ? 0

?? ? 16 ? 4(4 ? ? 2 ) ? 4? 2 ? 0 且 x1 x2 ? 4 ? ? 2 ? 0
故 A ? {? ? R | ?

? 0且? ? 2且? ? ?2}
,得 ( x1

…………(10 分)

又?

? x1 ? x2 ? 4 ? x1 x2 ? 4 ? ?
2

? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4? 2 ,
, ………(11 分)

? | x1 ? x2 |? 2 | ? | ,故 ?? ? A,2 | ? |? 0 且 2 | ? |? 4

? 对?t ? [?3,3], ? ? A, 使m 2 ? tm ? 2 ? 2 | ? | 恒成立 ’
- 15 -

即只需 ?t ?[?3,3], 设 g (t )

m2 ? tm ? 2 ? 0恒成立

……………………(12 分)

? mt ? m 2 ? 2, t ? [?3,3]

? g (3) ? 0 ?1 ? m ? 2 ?? ?? ? 无解 g ( ? 3) ? 0 ? 2 ? m ? ? 1 ? ?
即不存在满足题意的实数 m. ……………………(14 分) 【思路点拨】 (Ⅰ )利用函数在 y 轴上的截距为﹣5,可求得 c=﹣5.根据函数 f(x)在区间[0, 1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,可得 x=1 时取得极大值,当 x=0,x=2 时函数 f(x)取 得极小值.可知 x=0,x=1,x=2 为函数 f(x)的三个极值点, 从而 f'(x)=0 的三个根为 0,1,2,∴ 由此可求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ )若 , f ( x) 关于直线 x ? t 对称(显然 t ? 0 )

则取点 A(0, ?5) 关于直线对称的点 A?(2t , ?5) 必在 即

f ( x) 上,

f (2t ) ? ?5 ,得 t 2 (t 2 ? 2t ? 1) ? 0 ,从而可出对称轴 x=1.

( Ⅲ)

x4 ? 4x3 ? 4x2 ? 5 ? ? 2 x2 ? 5

恰 好 有 三 个 不 同 的 根 , 等 价 于

x4 ? 4x3 ? 4x2 ? ? 2 x2 恰 好 有 三 个 不 同 的 根 , 由 于 x ? 0 是 一 个 根 , 所 以 方 程
x 2 ? 4 x ? (4 ? ? 2 ) ? 0 应有两个非零的不相等的实数根,从而可求 λ 的取值范围.要使
m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意 t∈[﹣3,3],λ∈A 恒成立,可转化为 m2+tm+2≤0 对任意 t∈[﹣3,3] 恒成立,构造函数 g (t ) 实数 m 满足题意.

? mt ? m 2 ? 2, t ? [?3,3] ,只要 ? í

ì g (3) ? 0 ? ? g (- 3) 0

,从而可知不存在

- 16 -


相关文章:
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学(理)试题 Wo....doc
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学(理)试题 Word版含解析 - 宜
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word....doc
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案 - 2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学(理工农医类) 本试题卷分第Ⅰ卷 (选择题)...
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word....doc
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案 - 2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学(理工农医类) 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)...
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试卷 Word....doc
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试卷 Word版含答案 - 2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学(理工农医类) 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)...
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学文试题 Word....doc
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学试题 Word版含答案 - 2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学(文史类) 本试题卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和...
...四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 W....doc
2015宜宾一四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2015四川一诊,2015四川二诊 ...
...四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 W....doc
2015宜宾一四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学(理工农医类)...
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学文试题 Word....doc
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学试题 Word版含答案 - 2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学(文史类) 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第...
四川省宜宾市2015届高三上学期第一次诊断考试数学文试....doc
四川省宜宾市2015届高三上学期第一次诊断考试数学文试题(word版)_数学_高中教育_教育专区。四川省宜宾市 2015 届高三第一次诊断考试数学试题(word 版) 本试题...
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(文)试题W....doc
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断考试数学()试题Word含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。四川省绵阳市2015届高三第一次诊断考试数学()试题Word含...
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断试题 数学理 Word含答案.doc
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断试题 数学理 Word含答案 - 保密 ★
...四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学文试题 W....doc
2015宜宾一四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。2014 年秋期普通高中三年级第一次诊断测试 数 学(文史类) 本...
...四川省宜宾市2018届高三第一次诊断测试数学理试题Wo....doc
【高考模拟】四川省宜宾市2018届高三第一次诊断测试数学理试题Word版含答案 - 宜宾市高 2015 级(2018 届)高三第一次诊断测试题 理科数学 一、选择题:本题共 ...
四川省宜宾市2015届高三第二次诊断测试数学(理)试题(Wo....doc
四川省宜宾市2015届高三第次诊断测试数学(理)试题(Word版)_高中教育_教育专区。四川省宜宾市 2015 届高三第次诊断测试数学 (理) 试题(Word 版) 第Ⅰ卷(...
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断性考试数学(理)试题W....doc
四川省绵阳市2015届高三第一次诊断考试数学(理)试题Word含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。四川省绵阳市2015届高三第一次诊断考试数学(理)试题Word含...
四川省宜宾市2015届高三第二次诊断性测试 数学理 Word....doc
四川省宜宾市2015届高三第二次诊断性测试 数学理 Word版含答案 - 2015 年春期普通高中三年级第二次诊断考试 数 学(理工农医类) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)...
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学(理)试题.doc
故选 A. 令 103r=1 解得 r=3,∴二项式 x (x ? 【解析】二项式 2 【试源】四川省宜宾市 2015 届高三第一次诊断考试数学(理)试题 【结束】 【题...
【数学】四川省宜宾市2018届高三上学期半期数学(理科)....pdf
【数学】四川省宜宾市2018届高三上学期半期数学(理科)测试题含解析 - 宜宾市高 2015 级高三(上)半期测试题 数学(理工类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷...
四川省宜宾市2015届高三上学期第一次诊断考试数学文试....doc
四川省宜宾市2015届高三上学期第一次诊断考试数学文试题(word版)_数学_高中教育_教育专区。四川省宜宾市 2015 届高三第一次诊断考试数学试题(word 版)本试题卷...
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 扫描....doc
四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 扫描版无答案_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学...
更多相关标签: