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高中数学 2.1.1合情推理(2)导学案 理新人教版选修1-2

§2.1.1 合情推理(二)
学习目标 1. 结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P30~ P38,找出疑惑之处) 1.已知 ai ? 0 (i ? 1, 2, , n) ,考察下列式子: 1 1 1 1 1 1 (i ) a1 ? ? 1 ; (ii ) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; (iii ) (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) ? 9 . a1 a1 a2 a1 a2 a3 我们可以归纳出,对 a1 , a2 , 2. 猜想数列
, an 也成立的类似不等式为

. .

1 1 1 1 ,? , ,? , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9

的通项公式是

二、新课导学 ※ 学习探究 鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇;地球上有生命,火 星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星,有大气层,也有季节变更, 温度也适合生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 新知: 类比推理就是由两类对象具有 也具有这些特征的推理. 到 的推理. 和其中 , 推出另一类对象 简言之,类比推理是由

※ 典型例题 例 1 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. 类比 角度 运算 结果 运算律 实数的加法 实数的乘法

逆运算

单位元

变式:找出圆与球的相似之处,并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性 质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的 弦长相等,与圆心距离 不等的两弦不等,距圆 心较近的弦较长 以 点 ( x0 , y0 ) 为 圆 心, r 为半径的圆的方程 为 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2

例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

变式:用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 三角形 四面体 三角形的两边之和 大于第三边 三角形的中位线平 行且等于第三边的一半 三角形的面积为 1 S ? ( a ? b ? c )r ( r 为 2 三角形内切圆的半径) 新知: 和 都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进

行 , 然后提出 的推理, 我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所 获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠. ※ 动手试试 练 1. 如 图 , 若 射 线 OM , ON 上 分 别 存 在 点 M1 , M 2 与 点 N1 , N 2 , 则 三 角 形 面 积 之 比 S?OM1 N1 OM 1 ON1 .若不在同一平面内的射线 OP,OQ 上分别存在点 P ? ? 1, P 2 ,点 Q1 , Q2 和点 S?OM 2 N2 OM 2 ON 2
R1 , R2 ,则类似的结论是什么?

1 1 1 9 ? ? ? 成 立 ; 在 四 边 形 ABCD 中 , 不 等 式 A B C ? 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 25 成立;在五边形 ABCDE 中,不等式 ? ? ? ? ? 成立.猜想, ? ? ? ? A B C D 2? A B C D E 3? 在 n 边形 A1 A2 An 中,有怎样的不等式成立?
练 2. 在 ?ABC 中 , 不 等 式

三、总结提升 ※ 学习小结 1.类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去 推测另一类事物的性质得出一个命题(猜想). 3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定真,但合情推理常常帮我们猜 测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法. ※ 知识拓展 试一试下列题目: 1. 南京∶江苏 A. 石家庄∶河北 C. 泰州∶江苏 2. 成功∶失败 A. 勤奋∶成功 C. 艰苦∶简陋 3.面条∶食物

B. 渤海∶中国 D. 秦岭∶淮河 B. 懒惰∶失败 D. 简单∶复杂

苹果∶水果 菜肴∶萝卜

手指∶身体 食品∶巧克力

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列说法中正确的是( ). A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2. 下面使用类比推理正确的是( ). A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出 “ (a ? b)c ? ac ? bc ” C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“
n n n

a?b a b ? ? c c c
n n n

(c≠0) ”

(ab) ? a b ” 类推出“ (a ? b) ? a ? b D.“
3. 设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) ,
'

f2 ( x) ? f1' ( x), A. sin x C. cos x

, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,n∈N,则 f 2007 ( x) ? ( B.- sin x D.- cos x

).

4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆 若将此若干个圆按此规律继 续下去,得到一系列的圆,那么在前 2006 个圆中有 个黑圆. 5. 在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55……中的 x 的值是 . 课后作业 1. 在等差数列 {an } 中,若 a10 ? 0 ,则有
a1 ? a2 ? ? an ? a1 ? a2 ? ? a19?n (n ? 19, n ? N * ) 成立,类比上述性质,在等比数列 {bn } 中,

若 b9 ? 1 ,则存在怎样的等式?

2. 在各项为正的数列 ?an ? 中, 数列的前 n 项和 S n 满足 S n ? (2) 由(1)猜想数列 ?an ? 的通项公式; (3) 求 S n

1? 1 ? ? (1)求 a1 , a2 , a3 ; an ? ? ? 2? an ? ?


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